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10. 已知 $a^{m}= 4$,$a^{n}= 3$,则 $a^{m + n}$ 的值为 (
A.7
B.9
C.12
D.13
C
)A.7
B.9
C.12
D.13
答案
C
解析
因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$a^{m + n}=a^m \cdot a^n$。已知$a^m = 4$，$a^n = 3$，则$a^{m + n}=4×3=12$。
11. (1) 若 $2^{a}\cdot 2^{b}= 8$,则 $a + b$ 的值为
(2) 已知 $3^{x}= 4$,则 $3^{x + 1}= $
3
；(2) 已知 $3^{x}= 4$,则 $3^{x + 1}= $
12
.答案
(1) 3
(2) 12
(2) 12
解析
(1) 根据同底数幂的乘法法则，有 $2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{a+b}$。
由于 $2^{a+b} = 8$，且 $8 = 2^{3}$，所以 $a + b = 3$。
(2) 根据同底数幂的乘法法则，可以将 $3^{x + 1}$ 分解为 $3^{x} \cdot 3^{1}$。
已知 $3^{x} = 4$，所以 $3^{x + 1} = 4 × 3 = 12$。
由于 $2^{a+b} = 8$，且 $8 = 2^{3}$，所以 $a + b = 3$。
(2) 根据同底数幂的乘法法则，可以将 $3^{x + 1}$ 分解为 $3^{x} \cdot 3^{1}$。
已知 $3^{x} = 4$，所以 $3^{x + 1} = 4 × 3 = 12$。
12. 计算：
(1) $x^{m + 1}\cdot (-x)\cdot x^{1 - m}$；
(2) $x^{3}\cdot x^{n - 1}-x^{4}\cdot x^{n - 2}+x^{n + 2}$.
(1) $x^{m + 1}\cdot (-x)\cdot x^{1 - m}$；
(2) $x^{3}\cdot x^{n - 1}-x^{4}\cdot x^{n - 2}+x^{n + 2}$.
答案
(1) 原式$=x^{m+1}\cdot(-1)\cdot x\cdot x^{1-m}=-x^{(m+1)+1+(1-m)}=-x^{3}$
(2) 原式$=x^{3+(n-1)}-x^{4+(n-2)}+x^{n+2}=x^{n+2}-x^{n+2}+x^{n+2}=x^{n+2}$
(2) 原式$=x^{3+(n-1)}-x^{4+(n-2)}+x^{n+2}=x^{n+2}-x^{n+2}+x^{n+2}=x^{n+2}$
13. 规定 $a*b = 2^{a}×2^{b}$,求：
(1) 求 $1*2$ 的值；
(2) 若 $2*(x + 1)= 32$,求 $x$ 的值.
(1) 求 $1*2$ 的值；
(2) 若 $2*(x + 1)= 32$,求 $x$ 的值.
答案
(1)
根据定义$a*b = 2^{a}×2^{b}$，对于$1*2$，将$a = 1$，$b = 2$代入可得：
$1*2=2^{1}×2^{2}=2×4 = 8$。
(2)
首先根据定义将$2*(x + 1)$转化：
$2*(x + 1)=2^{2}×2^{x + 1}$，
根据同底数幂乘法法则$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，则$2^{2}×2^{x + 1}=2^{2+(x + 1)}=2^{x + 3}$。
因为$2*(x + 1)=32$，而$32 = 2^{5}$，所以$2^{x + 3}=2^{5}$。
根据指数相等可得$x + 3 = 5$，解得$x = 2$。
综上，答案为(1)$8$；(2)$x = 2$。
根据定义$a*b = 2^{a}×2^{b}$，对于$1*2$，将$a = 1$，$b = 2$代入可得：
$1*2=2^{1}×2^{2}=2×4 = 8$。
(2)
首先根据定义将$2*(x + 1)$转化：
$2*(x + 1)=2^{2}×2^{x + 1}$，
根据同底数幂乘法法则$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，则$2^{2}×2^{x + 1}=2^{2+(x + 1)}=2^{x + 3}$。
因为$2*(x + 1)=32$，而$32 = 2^{5}$，所以$2^{x + 3}=2^{5}$。
根据指数相等可得$x + 3 = 5$，解得$x = 2$。
综上，答案为(1)$8$；(2)$x = 2$。
14. (1) 已知 $2^{x}= 3$,求 $2^{x + 3}$ 的值；
(2) 若 $4^{2a + 1}= 64$,求 $a$ 的值.
(2) 若 $4^{2a + 1}= 64$,求 $a$ 的值.
答案
(1)
已知 $2^{x} = 3$，
根据同底数幂的乘法法则，有
$2^{x + 3} = 2^{x} \cdot 2^{3}$
代入 $2^{x} = 3$，得
$2^{x + 3} = 3 × 8 = 24$
(2)
已知 $4^{2a + 1} = 64$，
将64转化为与4同底的幂形式，得 $64 = 4^{3}$，
所以 $4^{2a + 1} = 4^{3}$，
根据同底数幂相等的性质，得
$2a + 1 = 3$
解得 $a = 1$。
已知 $2^{x} = 3$，
根据同底数幂的乘法法则，有
$2^{x + 3} = 2^{x} \cdot 2^{3}$
代入 $2^{x} = 3$，得
$2^{x + 3} = 3 × 8 = 24$
(2)
已知 $4^{2a + 1} = 64$，
将64转化为与4同底的幂形式，得 $64 = 4^{3}$，
所以 $4^{2a + 1} = 4^{3}$，
根据同底数幂相等的性质，得
$2a + 1 = 3$
解得 $a = 1$。
15. 若 $a\oplus b = c$,则 $a^{c}= b$,例如 $2\oplus8 = 3$,则 $2^{3}= 8$.
(1) 根据上述规定,$4\oplus64=$
(2) 记 $2\oplus3 = a$,$2\oplus5 = b$,$2\oplus15 = c$,求 $a$,$b$,$c$ 之间的数量关系.
(1) 根据上述规定,$4\oplus64=$
3
；(2) 记 $2\oplus3 = a$,$2\oplus5 = b$,$2\oplus15 = c$,求 $a$,$b$,$c$ 之间的数量关系.
$c=a + b$
答案
(1)
设$4\oplus64 = x$，根据定义$a\oplus b = c$时$a^{c}=b$，则$4^{x}=64$。
因为$4^{3}=64$，所以$x = 3$，即$4\oplus64 = 3$。
(2)
根据定义，因为$2\oplus3 = a$，所以$2^{a}=3$；
因为$2\oplus5 = b$，所以$2^{b}=5$；
因为$2\oplus15 = c$，所以$2^{c}=15$。
由于$3×5 = 15$，则$2^{a}×2^{b}=2^{c}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^{a + b}=2^{c}$，所以$c=a + b$。
综上，答案为：(1)$3$；(2)$c=a + b$。
设$4\oplus64 = x$，根据定义$a\oplus b = c$时$a^{c}=b$，则$4^{x}=64$。
因为$4^{3}=64$，所以$x = 3$，即$4\oplus64 = 3$。
(2)
根据定义，因为$2\oplus3 = a$，所以$2^{a}=3$；
因为$2\oplus5 = b$，所以$2^{b}=5$；
因为$2\oplus15 = c$，所以$2^{c}=15$。
由于$3×5 = 15$，则$2^{a}×2^{b}=2^{c}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^{a + b}=2^{c}$，所以$c=a + b$。
综上，答案为：(1)$3$；(2)$c=a + b$。
