登录
例1 如图,已知⊙O的弦AB= 3,点C在⊙O上,且∠ACB= 60°,求⊙O的直径的长。
名师导引 在解决与直径有关的问题时,常常添加辅助线构造“直径所对的圆周角是直角”；同圆或等圆中,注意圆心角、圆周角、弧、弦之间的等量关系可以相互转化。
名师导引 在解决与直径有关的问题时,常常添加辅助线构造“直径所对的圆周角是直角”；同圆或等圆中,注意圆心角、圆周角、弧、弦之间的等量关系可以相互转化。
答案
答：连接OA、OC，过点O作OD⊥AB于点D。
因为OA = OC，∠ACB = 60°，所以∠AOB = 2∠ACB = 120°。
又因为OA = OB，OD⊥AB，所以∠AOD = ∠BOD = 60°，AD=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}。
在Rt△AOD中，OA=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}。
所以⊙O的直径为2OA = \sqrt{3}×2=\2\sqrt{3}（或$2\sqrt{3}$）。
因为OA = OC，∠ACB = 60°，所以∠AOB = 2∠ACB = 120°。
又因为OA = OB，OD⊥AB，所以∠AOD = ∠BOD = 60°，AD=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}。
在Rt△AOD中，OA=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}。
所以⊙O的直径为2OA = \sqrt{3}×2=\2\sqrt{3}（或$2\sqrt{3}$）。
变式训练(2023营口中考)如图,AD是⊙O的直径,弦BC交AD于点E,若∠BAD= 30°,则∠ACB= (
A.50°
B.40°
C.70°
D.60°
D
)A.50°
B.40°
C.70°
D.60°
答案
D
解析
连接$OB$。
由于$AD$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，有$\angle ABD = 90^{\circ}$。
已知$\angle BAD = 30^{\circ}$，由于三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
由于$\angle ACB$和$\angle ADB$都是弧$AB$所对的圆周角，根据圆周角定理，有$\angle ACB = \angle ADB = 60^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等）。
由于$AD$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，有$\angle ABD = 90^{\circ}$。
已知$\angle BAD = 30^{\circ}$，由于三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
由于$\angle ACB$和$\angle ADB$都是弧$AB$所对的圆周角，根据圆周角定理，有$\angle ACB = \angle ADB = 60^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等）。
例2 如图,已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于点D,交BC于点E,连接ED.若ED= EC,求证：AB= AC.
名师导引 注意“对角互补的四边形的一个外角等于它的内对角”的推理过程及其运用。
名师导引 注意“对角互补的四边形的一个外角等于它的内对角”的推理过程及其运用。
答案
证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴点A、B、D、E在⊙O上，即四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE + ∠B = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠ADE + ∠EDC = 180°（平角定义），
∴∠EDC = ∠B（同角的补角相等）。
∵ED = EC（已知），
∴∠EDC = ∠C（等边对等角）。
∴∠B = ∠C（等量代换）。
∴AB = AC（等角对等边）。
∵AB是⊙O的直径，
∴点A、B、D、E在⊙O上，即四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE + ∠B = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠ADE + ∠EDC = 180°（平角定义），
∴∠EDC = ∠B（同角的补角相等）。
∵ED = EC（已知），
∴∠EDC = ∠C（等边对等角）。
∴∠B = ∠C（等量代换）。
∴AB = AC（等角对等边）。
变式训练(2023赤峰中考)如图,⊙O内接四边形ABCD中,∠BCD= 105°,∠BOC= 2∠COD,则∠CBD= (
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
A
)A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
答案
A
解析
设∠COD=x，则∠BOC=2x。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=105°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=75°（圆内接四边形对角互补）。
∠BAD为圆周角，所对弧为劣弧BD，故劣弧BD所对圆心角∠BOD=2∠BAD=150°（圆周角定理）。
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=2x+x=3x，
∴3x=150°，解得x=50°，即∠COD=50°。
∠CBD为圆周角，所对弧为CD，弧CD所对圆心角为∠COD=50°，
∴∠CBD=1/2∠COD=25°（圆周角定理）。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=105°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=75°（圆内接四边形对角互补）。
∠BAD为圆周角，所对弧为劣弧BD，故劣弧BD所对圆心角∠BOD=2∠BAD=150°（圆周角定理）。
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=2x+x=3x，
∴3x=150°，解得x=50°，即∠COD=50°。
∠CBD为圆周角，所对弧为CD，弧CD所对圆心角为∠COD=50°，
∴∠CBD=1/2∠COD=25°（圆周角定理）。
1.(2024湖南中考)如图,AB,AC为⊙O的两条弦,连接OB,OC,若∠A= 45°,则∠BOC= (
A.60°
B.75°
C.90°
D.135°
C
)A.60°
B.75°
C.90°
D.135°
答案
C
解析
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
在本题中，$\angle A$ 是圆周角，$\angle BOC$ 是圆心角，且它们所对的是同一段弧$BC$，
已知 $\angle A = 45°$，所以：
$\angle BOC = 2 × \angle A = 2 × 45° = 90°$。
在本题中，$\angle A$ 是圆周角，$\angle BOC$ 是圆心角，且它们所对的是同一段弧$BC$，
已知 $\angle A = 45°$，所以：
$\angle BOC = 2 × \angle A = 2 × 45° = 90°$。
2.(2024甘肃中考)如图,点A,B,C在⊙O上,AC⊥OB,垂足为D,若∠A= 35°,则∠C= (
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
A
)A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
答案
A
解析
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，$\angle BOC$和$\angle A$所对的是同一段弧，且$\angle BOC$是圆心角，$\angle A$是圆周角，根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，
所以$\angle BOC = 2\angle A=2×35°=70°$，
因为$AC\perp OB$，
所以在$Rt\triangle ODC$中，$\angle C = 90° - \angle BOC= 90° - 70° = 20°$的余角，
即$\angle C=20°$。
所以$\angle BOC = 2\angle A=2×35°=70°$，
因为$AC\perp OB$，
所以在$Rt\triangle ODC$中，$\angle C = 90° - \angle BOC= 90° - 70° = 20°$的余角，
即$\angle C=20°$。
