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1. 下列方程是一元二次方程的是(
A.$x^{2}-\frac{1}{x}= 4$
B.$x^{2}+y - 3= 0$
C.$x^{3}-3x+8= 0$
D.$(x + 1)(x + 2)= 1$
D
)A.$x^{2}-\frac{1}{x}= 4$
B.$x^{2}+y - 3= 0$
C.$x^{3}-3x+8= 0$
D.$(x + 1)(x + 2)= 1$
答案
D
解析
一元二次方程应满足的条件是①方程中只有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
选项A：$x^{2}-\frac{1}{x}= 4$，因为方程中有$\frac{1}{x}$，不是整式方程，所以不是一元二次方程。
选项B：$x^{2}+y - 3= 0$，方程中含有两个未知数$x$和$y$，所以不是一元二次方程。
选项C：$x^{3}-3x+8= 0$，未知数的最高次数是3，所以不是一元二次方程。
选项D：$(x + 1)(x + 2)= 1$，展开可得$x^{2}+3x+2 = 1$，即$x^{2}+3x+1 = 0$，满足一元二次方程的条件。
选项A：$x^{2}-\frac{1}{x}= 4$，因为方程中有$\frac{1}{x}$，不是整式方程，所以不是一元二次方程。
选项B：$x^{2}+y - 3= 0$，方程中含有两个未知数$x$和$y$，所以不是一元二次方程。
选项C：$x^{3}-3x+8= 0$，未知数的最高次数是3，所以不是一元二次方程。
选项D：$(x + 1)(x + 2)= 1$，展开可得$x^{2}+3x+2 = 1$，即$x^{2}+3x+1 = 0$，满足一元二次方程的条件。
2. 若$(m - 3)x^{|m - 1|}-x - 5= 0是关于x$的一元二次方程,则$m$的值为(
A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$-1或3$
B
)A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$-1或3$
答案
B
解析
根据题意，方程 $(m - 3)x^{|m - 1|}-x - 5= 0$ 是一元二次方程，因此最高次项次数为2，且二次项系数不为0。
所以有：
$|m - 1| = 2$ ，确保方程次数为2。
$m - 3 \neq 0$，确保二次项系数不为0。
解 $|m - 1| = 2$，得到 $m - 1 = 2$ 或 $m - 1 = -2$，即 $m = 3$ 或 $m = -1$。
结合 $m - 3 \neq 0$，排除 $m = 3$，所以 $m = -1$。
所以有：
$|m - 1| = 2$ ，确保方程次数为2。
$m - 3 \neq 0$，确保二次项系数不为0。
解 $|m - 1| = 2$，得到 $m - 1 = 2$ 或 $m - 1 = -2$，即 $m = 3$ 或 $m = -1$。
结合 $m - 3 \neq 0$，排除 $m = 3$，所以 $m = -1$。
3. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-2x+m= 0的一个根为3$,则$m= $
-3
。答案
-3（这里按题目要求应填$m$的值，若题目是填空题形式，直接写-3 ）
解析
将$x=3$代入方程$x^{2}-2x+m=0$中，得$3^{2}-2×3 + m=0$，即$9 - 6+m = 0$，进一步计算可得$3 + m=0$，解得$m=-3$。
4. (2024 龙华二模)已知$m是一元二次方程x^{2}+2x - 3= 0$的一个根,则$2m^{2}+4m$的值为
6
。答案
6
解析
∵m是一元二次方程$x^{2}+2x - 3= 0$的一个根，∴$m^{2}+2m - 3= 0$，即$m^{2}+2m=3$。∴$2m^{2}+4m=2(m^{2}+2m)=2×3=6$。
5. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)$(x - 5)^{2}= 36$；
(2)$3y(y + 1)= 2(y + 1)$。
(1)$(x - 5)^{2}= 36$；
(2)$3y(y + 1)= 2(y + 1)$。
答案
(1)
首先将方程 $(x - 5)^{2}= 36$ 展开：
$x^{2} - 10x + 25 = 36$，
移项得到一元二次方程的一般形式：
$x^{2} - 10x - 11 = 0$，
从方程中可以明确看出：
二次项系数为 $1$，
一次项系数为 $-10$，
常数项为 $-11$。
(2)
首先将方程 $3y(y + 1)= 2(y + 1)$ 展开：
$3y^{2} + 3y = 2y + 2$，
移项得到一元二次方程的一般形式：
$3y^{2} + y - 2 = 0$，
从方程中可以明确看出：
二次项系数为 $3$，
一次项系数为 $1$，
常数项为 $-2$。
首先将方程 $(x - 5)^{2}= 36$ 展开：
$x^{2} - 10x + 25 = 36$，
移项得到一元二次方程的一般形式：
$x^{2} - 10x - 11 = 0$，
从方程中可以明确看出：
二次项系数为 $1$，
一次项系数为 $-10$，
常数项为 $-11$。
(2)
首先将方程 $3y(y + 1)= 2(y + 1)$ 展开：
$3y^{2} + 3y = 2y + 2$，
移项得到一元二次方程的一般形式：
$3y^{2} + y - 2 = 0$，
从方程中可以明确看出：
二次项系数为 $3$，
一次项系数为 $1$，
常数项为 $-2$。
6. (2024 池州月考)关于$x的方程(k^{2}-1)x^{2}+2(k - 1)x+2k+2= 0$,则：
(1)当$k$满足什么条件时,该方程是一元二次方程；
(2)当$k$满足什么条件时,该方程是一元一次方程。
(1)当$k$满足什么条件时,该方程是一元二次方程；
(2)当$k$满足什么条件时,该方程是一元一次方程。
答案
(1)要使方程$(k^{2} - 1)x^{2} + 2(k - 1)x + 2k + 2 = 0$为一元二次方程，需要满足二次项系数不为0，即：
$k^{2} - 1 \neq 0$，
解此不等式，得到：
$k \neq \pm 1$。
(2)要使方程$(k^{2} - 1)x^{2} + 2(k - 1)x + 2k + 2 = 0$为一元一次方程，需要满足二次项系数为0且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^{2} - 1 = 0, \\2(k - 1) \neq 0.\end{cases}$
首先解第一个方程 $k^{2} - 1 = 0$，得到 $k = \pm 1$。
然后考虑第二个方程 $2(k - 1) \neq 0$，得到 $k \neq 1$。
综合两个条件，得出 $k = -1$。
$k^{2} - 1 \neq 0$，
解此不等式，得到：
$k \neq \pm 1$。
(2)要使方程$(k^{2} - 1)x^{2} + 2(k - 1)x + 2k + 2 = 0$为一元一次方程，需要满足二次项系数为0且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^{2} - 1 = 0, \\2(k - 1) \neq 0.\end{cases}$
首先解第一个方程 $k^{2} - 1 = 0$，得到 $k = \pm 1$。
然后考虑第二个方程 $2(k - 1) \neq 0$，得到 $k \neq 1$。
综合两个条件，得出 $k = -1$。
7. (2025 龙口期中)若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+2= 0(a\neq0)有一根为x= 2025$,则一元二次方程$a(x - 1)^{2}+bx+2= b$必有一根为(
A.$2024$
B.$2025$
C.$2026$
D.$2027$
C
)A.$2024$
B.$2025$
C.$2026$
D.$2027$
答案
C
解析
因为关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+2=0(a\neq0)$有一根为$x=2025$，所以$a\cdot2025^{2}+b\cdot2025 + 2=0$。
将所求方程$a(x - 1)^{2}+bx+2 = b$整理：
左边移项得$a(x - 1)^{2}+bx+2 - b=0$，
合并含$b$的项：$bx - b = b(x - 1)$，
方程化为$a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+2=0$。
令$y = x - 1$，则方程变为$ay^{2}+by + 2=0$，与原方程形式相同。
因为原方程$ax^{2}+bx + 2=0$有根$x=2025$，所以$ay^{2}+by + 2=0$有根$y=2025$。
即$x - 1=2025$，解得$x=2026$。
将所求方程$a(x - 1)^{2}+bx+2 = b$整理：
左边移项得$a(x - 1)^{2}+bx+2 - b=0$，
合并含$b$的项：$bx - b = b(x - 1)$，
方程化为$a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+2=0$。
令$y = x - 1$，则方程变为$ay^{2}+by + 2=0$，与原方程形式相同。
因为原方程$ax^{2}+bx + 2=0$有根$x=2025$，所以$ay^{2}+by + 2=0$有根$y=2025$。
即$x - 1=2025$，解得$x=2026$。
8. (2023 东莞期中改)定义：如果关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)满足b= a + c$,那么我们称这个方程为“完美方程”。
(1)下列方程是“完美方程”的是______(填序号)：①$x^{2}-4x+3= 0$；②$2x^{2}+x+3= 0$；③$2x^{2}-x - 3= 0$。
(2)已知$3x^{2}+mx+n= 0是关于x$的“完美方程”,则$5 - 3m+3n$的值为______。
(1)
(2)
(1)下列方程是“完美方程”的是______(填序号)：①$x^{2}-4x+3= 0$；②$2x^{2}+x+3= 0$；③$2x^{2}-x - 3= 0$。
(2)已知$3x^{2}+mx+n= 0是关于x$的“完美方程”,则$5 - 3m+3n$的值为______。
(1)
③
(2)
-4
答案
(1)③
(2)-4
(2)-4
解析
(1)①③
(2)-4
详细解析：
(1)根据“完美方程”定义$b = a + c$：
①$x^{2}-4x + 3=0$中，$a = 1$，$b=-4$，$c = 3$。$a + c=1 + 3=4$，而$b=-4$，这里绝对值相等但符号相反，原解析有误，正确应为$a + c=4\neq b=-4$，所以①不是完美方程。
②$2x^{2}+x + 3=0$中，$a = 2$，$b = 1$，$c = 3$。$a + c=2 + 3=5\neq b = 1$，不是完美方程。
③$2x^{2}-x - 3=0$中，$a = 2$，$b=-1$，$c=-3$。$a + c=2+(-3)=-1=b$，是完美方程。
修正后(1)的答案为③
(2)因为$3x^{2}+mx + n=0$是“完美方程”，所以$m=3 + n$，即$m - n=3$。则$5-3m + 3n=5-3(m - n)=5-3×3=5 - 9=-4$。
最终修正
(2)-4
详细解析：
(1)根据“完美方程”定义$b = a + c$：
①$x^{2}-4x + 3=0$中，$a = 1$，$b=-4$，$c = 3$。$a + c=1 + 3=4$，而$b=-4$，这里绝对值相等但符号相反，原解析有误，正确应为$a + c=4\neq b=-4$，所以①不是完美方程。
②$2x^{2}+x + 3=0$中，$a = 2$，$b = 1$，$c = 3$。$a + c=2 + 3=5\neq b = 1$，不是完美方程。
③$2x^{2}-x - 3=0$中，$a = 2$，$b=-1$，$c=-3$。$a + c=2+(-3)=-1=b$，是完美方程。
修正后(1)的答案为③
(2)因为$3x^{2}+mx + n=0$是“完美方程”，所以$m=3 + n$，即$m - n=3$。则$5-3m + 3n=5-3(m - n)=5-3×3=5 - 9=-4$。
最终修正
