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6.【数学文化】如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”；水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”。正午，太阳光照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至时日影最长，$\frac{表高}{影长}≈\frac{1}{2}$；夏至时日影最短，$\frac{表高}{影长}≈3$。若圭面上冬至时与夏至时影子最远端的距离为4 m，求表高。
答案
6.解:设表高为$x\ \mathrm{m}$。
根据题意得$2x-\frac{1}{3}x=4$，
解得$x=2.4$。
故表高为2.4 m。
根据题意得$2x-\frac{1}{3}x=4$，
解得$x=2.4$。
故表高为2.4 m。
解析
【分析】
解题时首先明确所求量为表高，我们可以通过设未知数建立方程求解：第一步，根据冬至、夏至时给出的表高和影长的比例关系，分别用含表高的式子表示出两个节气的影长；第二步，冬至日影更长，两个影子最远端的距离就是冬至影长与夏至影长的差，结合差为4m的条件列方程，最后解方程即可得到表高。
【解析】
解：设表高为$x\ \mathrm{m}$。
由冬至时$\frac{表高}{影长}≈\frac{1}{2}$，可得冬至影长为$2x\ \mathrm{m}$；
由夏至时$\frac{表高}{影长}≈3$，可得夏至影长为$\frac{1}{3}x\ \mathrm{m}$。
根据两个节气影子最远端距离为4m，列方程：
$2x-\frac{1}{3}x=4$
合并同类项得$\frac{5}{3}x=4$
解得$x=2.4$
【答案】
表高为$\boxed{2.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 平行投影
2. 一元一次方程应用
3. 比例运算
【点评】
本题结合我国古代天文仪器圭表的背景出题，将传统文化与数学知识结合，既考查了对比例关系的转化能力，也考查了列方程解决实际问题的能力，能够让学生感受到数学在实际生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确所求量为表高，我们可以通过设未知数建立方程求解：第一步，根据冬至、夏至时给出的表高和影长的比例关系，分别用含表高的式子表示出两个节气的影长；第二步，冬至日影更长，两个影子最远端的距离就是冬至影长与夏至影长的差，结合差为4m的条件列方程，最后解方程即可得到表高。
【解析】
解：设表高为$x\ \mathrm{m}$。
由冬至时$\frac{表高}{影长}≈\frac{1}{2}$，可得冬至影长为$2x\ \mathrm{m}$；
由夏至时$\frac{表高}{影长}≈3$，可得夏至影长为$\frac{1}{3}x\ \mathrm{m}$。
根据两个节气影子最远端距离为4m，列方程：
$2x-\frac{1}{3}x=4$
合并同类项得$\frac{5}{3}x=4$
解得$x=2.4$
【答案】
表高为$\boxed{2.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 平行投影
2. 一元一次方程应用
3. 比例运算
【点评】
本题结合我国古代天文仪器圭表的背景出题，将传统文化与数学知识结合，既考查了对比例关系的转化能力，也考查了列方程解决实际问题的能力，能够让学生感受到数学在实际生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
7.【数学应用】太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业。图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中GF为太阳能电板，AE，CD均为钢架且垂直于地面DE，AB为水平钢架且垂直于CD。已知太阳能电板$GF=1.8\ \mathrm{m}$，测得电板上两个支撑点的距离$AC=1\ \mathrm{m}$，钢架连接点$BC=0.8\ \mathrm{m}$。若某一时刻的太阳光线垂直照射GF，求太阳能电板GF的影子EH的长。
答案
7.解:如图，过点E作$EM⊥ FH$于点M，则$∠ EMF=90°$。
∵$AE⊥ DE,CD⊥ DE,AB⊥ CD$，
∴$∠ AED=∠ BDE=∠ ABD=90°$，
∴四边形ABDE是矩形，
∴$∠ BAE=90°$，
∴$∠ 1+∠ 2=90°$。
∵在$\mathrm{Rt}△ AEG$中,$∠ AGE=90°$，
∴$∠ 1+∠ 3=90°$,$\therefore∠ 2=∠ 3$。
∵$GE⊥ GF,FH⊥ GF$，
∴$∠ AGE=∠ GFH=90°$。
∵$∠ EMF=90°$，
∴四边形GEMF是矩形，
∴$EM=GF=1.8\ \mathrm{m}$,$∠ GEM=90°$，
∴$∠ 3+∠ 4=90°$。
∵$∠ AED=90°$,$\therefore∠ 4+∠ 5=90°$，
∴$∠ 2=∠ 3=∠ 5$。
∵$∠ ABC=∠ EMH=90°$，
∴$△ ABC∽△ EMH$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{EM}{EH}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=1\ \mathrm{m}$,$BC=0.8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=0.6(\mathrm{m})$，
∴$\frac{0.6}{1}=\frac{1.8}{EH}$,解得$EH=3\ \mathrm{m}$。
故太阳能电板GF的影子EH的长为3 m。
解析
【分析】
要解决本题可按以下思路思考：1. 所求EH是太阳能电板的影子长，结合太阳光线垂直GF的条件，先作辅助线EM⊥FH构造直角三角形，再利用题中多处垂直的条件判定相关四边形为矩形，得到边的等量关系（如EM=GF=1.8m）；2. 利用“同角的余角相等”推导角的等量关系，证明△ABC和△EMH相似；3. 先在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长度，再借助相似三角形对应边成比例的性质列方程，即可求出EH的长度。
【解析】
如图，过点E作$EM⊥ FH$于点M，则$∠ EMF=90°$。
∵$AE⊥ DE,CD⊥ DE,AB⊥ CD$，
∴$∠ AED=∠ BDE=∠ ABD=90°$，
∴四边形ABDE是矩形，
∴$∠ BAE=90°$，
∴$∠ 1+∠ 2=90°$。
∵在$\mathrm{Rt}△ AEG$中,$∠ AGE=90°$，
∴$∠ 1+∠ 3=90°$,$\therefore∠ 2=∠ 3$。
∵$GE⊥ GF,FH⊥ GF$，
∴$∠ AGE=∠ GFH=90°$。
∵$∠ EMF=90°$，
∴四边形GEMF是矩形，
∴$EM=GF=1.8\ \mathrm{m}$,$∠ GEM=90°$，
∴$∠ 3+∠ 4=90°$。
∵$∠ AED=90°$,$\therefore∠ 4+∠ 5=90°$，
∴$∠ 2=∠ 3=∠ 5$。
∵$∠ ABC=∠ EMH=90°$，
∴$△ ABC∽△ EMH$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{EM}{EH}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=1\ \mathrm{m}$,$BC=0.8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=0.6(\mathrm{m})$，
∴$\frac{0.6}{1}=\frac{1.8}{EH}$,解得$EH=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
太阳能电板GF的影子EH的长为3 m。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题结合太阳能光伏发电的实际场景，将几何知识融入生活应用中，解题的关键是通过角的互余关系推导对应角相等，进而证明三角形相似，把实际所求的影子长度转化为相似三角形的边长计算问题，能较好地考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题可按以下思路思考：1. 所求EH是太阳能电板的影子长，结合太阳光线垂直GF的条件，先作辅助线EM⊥FH构造直角三角形，再利用题中多处垂直的条件判定相关四边形为矩形，得到边的等量关系（如EM=GF=1.8m）；2. 利用“同角的余角相等”推导角的等量关系，证明△ABC和△EMH相似；3. 先在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长度，再借助相似三角形对应边成比例的性质列方程，即可求出EH的长度。
【解析】
如图，过点E作$EM⊥ FH$于点M，则$∠ EMF=90°$。
∵$AE⊥ DE,CD⊥ DE,AB⊥ CD$，
∴$∠ AED=∠ BDE=∠ ABD=90°$，
∴四边形ABDE是矩形，
∴$∠ BAE=90°$，
∴$∠ 1+∠ 2=90°$。
∵在$\mathrm{Rt}△ AEG$中,$∠ AGE=90°$，
∴$∠ 1+∠ 3=90°$,$\therefore∠ 2=∠ 3$。
∵$GE⊥ GF,FH⊥ GF$，
∴$∠ AGE=∠ GFH=90°$。
∵$∠ EMF=90°$，
∴四边形GEMF是矩形，
∴$EM=GF=1.8\ \mathrm{m}$,$∠ GEM=90°$，
∴$∠ 3+∠ 4=90°$。
∵$∠ AED=90°$,$\therefore∠ 4+∠ 5=90°$，
∴$∠ 2=∠ 3=∠ 5$。
∵$∠ ABC=∠ EMH=90°$，
∴$△ ABC∽△ EMH$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{EM}{EH}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=1\ \mathrm{m}$,$BC=0.8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=0.6(\mathrm{m})$，
∴$\frac{0.6}{1}=\frac{1.8}{EH}$,解得$EH=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
太阳能电板GF的影子EH的长为3 m。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题结合太阳能光伏发电的实际场景，将几何知识融入生活应用中，解题的关键是通过角的互余关系推导对应角相等，进而证明三角形相似，把实际所求的影子长度转化为相似三角形的边长计算问题，能较好地考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
