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1. 先说说每题积的计数单位是什么，再计算。
$20×35=$
$18×400=$
$0.2×0.35=$
$1.8×0.4=$
$\frac{2}{7}×\frac{3}{5}=$
$\frac{2}{3}×\frac{3}{40}=$
$20×35=$
$18×400=$
$0.2×0.35=$
$1.8×0.4=$
$\frac{2}{7}×\frac{3}{5}=$
$\frac{2}{3}×\frac{3}{40}=$
答案
说一说略 700 7200 0.07 0.72 $\frac{6}{35}$ $\frac{1}{20}$
解析
【分析】
解题需分两步完成：第一步确定积的计数单位，规则为：①整数乘法的积为整数，计数单位是1，若积是整十、整百数也可选择十、百等作为计数单位；②小数乘法的积化简后是几位小数，计数单位就是对应的十分之一（0.1）、百分之一（0.01）等；③分数乘法的积化简为最简分数后，计数单位就是和分母对应的分数单位。第二步计算：整数乘法按法则计算，末尾有0的可先算非0部分再补对应个数的0；小数乘法先按整数乘法算出积，再看乘数总共有几位小数，就从积的右侧数出对应位数点小数点，末尾多余的0可化简；分数乘法用分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，能约分的先约分再计算更简便。
【解析】
1. $20×35$：积的计数单位是1（或百），计算时先算$2×35=70$，再在末尾补1个0，得$700$。
2. $18×400$：积的计数单位是1（或百），计算时先算$18×4=72$，再在末尾补2个0，得$7200$。
3. $0.2×0.35$：积化简后是两位小数，计数单位是0.01（或百分之一），先算$2×35=70$，两个乘数共3位小数，从右往左数3位点小数点得$0.070$，化简为$0.07$。
4. $1.8×0.4$：积是两位小数，计数单位是0.01（或百分之一），先算$18×4=72$，两个乘数共2位小数，点小数点得$0.72$。
5. $\frac{2}{7}×\frac{3}{5}$：积的计数单位是$\frac{1}{35}$，分子相乘得$2×3=6$，分母相乘得$7×5=35$，结果为$\frac{6}{35}$。
6. $\frac{2}{3}×\frac{3}{40}$：积的计数单位是$\frac{1}{20}$，先交叉约分：3和3约去，2和40约为1和20，计算得$\frac{1×1}{1×20}=\frac{1}{20}$。
【答案】
700；7200；0.07；0.72；$\frac{6}{35}$；$\frac{1}{20}$
【知识点】
整数乘法运算；小数乘法运算；分数乘法运算
【点评】
本题综合考查不同类型乘法的计算方法，结合计数单位的考查能加深对乘法运算本质的理解，有效夯实基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题需分两步完成：第一步确定积的计数单位，规则为：①整数乘法的积为整数，计数单位是1，若积是整十、整百数也可选择十、百等作为计数单位；②小数乘法的积化简后是几位小数，计数单位就是对应的十分之一（0.1）、百分之一（0.01）等；③分数乘法的积化简为最简分数后，计数单位就是和分母对应的分数单位。第二步计算：整数乘法按法则计算，末尾有0的可先算非0部分再补对应个数的0；小数乘法先按整数乘法算出积，再看乘数总共有几位小数，就从积的右侧数出对应位数点小数点，末尾多余的0可化简；分数乘法用分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，能约分的先约分再计算更简便。
【解析】
1. $20×35$：积的计数单位是1（或百），计算时先算$2×35=70$，再在末尾补1个0，得$700$。
2. $18×400$：积的计数单位是1（或百），计算时先算$18×4=72$，再在末尾补2个0，得$7200$。
3. $0.2×0.35$：积化简后是两位小数，计数单位是0.01（或百分之一），先算$2×35=70$，两个乘数共3位小数，从右往左数3位点小数点得$0.070$，化简为$0.07$。
4. $1.8×0.4$：积是两位小数，计数单位是0.01（或百分之一），先算$18×4=72$，两个乘数共2位小数，点小数点得$0.72$。
5. $\frac{2}{7}×\frac{3}{5}$：积的计数单位是$\frac{1}{35}$，分子相乘得$2×3=6$，分母相乘得$7×5=35$，结果为$\frac{6}{35}$。
6. $\frac{2}{3}×\frac{3}{40}$：积的计数单位是$\frac{1}{20}$，先交叉约分：3和3约去，2和40约为1和20，计算得$\frac{1×1}{1×20}=\frac{1}{20}$。
【答案】
700；7200；0.07；0.72；$\frac{6}{35}$；$\frac{1}{20}$
【知识点】
整数乘法运算；小数乘法运算；分数乘法运算
【点评】
本题综合考查不同类型乘法的计算方法，结合计数单位的考查能加深对乘法运算本质的理解，有效夯实基础运算能力。
【难度系数】
0.8
2. 一台彩色打印机正常工作时，平均每小时可以打印 40 张海报。
（1）这台彩色打印机工作 1.5 小时，一共可以打印(
（2）一台黑白打印机的工作速度是这台彩色打印机的$\frac{5}{8}$，这台黑白打印机平均每小时可以打印(
（3）一台大型工业印刷机的工作速度是这台彩色打印机的 12.5 倍，这台大型工业印刷机平均每小时可以打印(
（1）这台彩色打印机工作 1.5 小时，一共可以打印(
60
)张海报。（2）一台黑白打印机的工作速度是这台彩色打印机的$\frac{5}{8}$，这台黑白打印机平均每小时可以打印(
25
)张海报。（3）一台大型工业印刷机的工作速度是这台彩色打印机的 12.5 倍，这台大型工业印刷机平均每小时可以打印(
500
)张海报。答案
(1) 60 (2) 25 (3) 500
解析
【分析】
本题是乘法运算的实际应用类题目，解题思路如下：
1. 第（1）问：已知打印机的工作效率（每小时打印40张）和工作时间（1.5小时），根据“工作总量=工作效率×工作时间”的基本关系，直接列乘法算式计算即可。
2. 第（2）问：求黑白打印机的速度，已知其速度是彩色打印机的$\frac{5}{8}$，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，把彩色打印机的速度看作单位“1”，用彩色打印机的速度乘$\frac{5}{8}$即可。
3. 第（3）问：求大型工业印刷机的速度，已知其速度是彩色打印机的12.5倍，求一个数的几倍是多少用乘法计算，用彩色打印机的速度乘12.5即可。
【解析】
（1）根据工作总量计算公式：
$40×1.5=60$（张）
（2）求一个数的几分之几用乘法：
$40×\frac{5}{8}=25$（张）
（3）求一个数的几倍用乘法：
$40×12.5=500$（张）
【答案】
(1) 60 (2) 25 (3) 500
【知识点】
工程问题基本数量关系；分数乘法应用；倍数计算
【点评】
本题是基础的乘法应用题型，核心考察乘法在不同场景下的使用规则，只要理清题目中的数量关系，找准对应量，计算时注意分数、小数乘法的运算准确性，即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题是乘法运算的实际应用类题目，解题思路如下：
1. 第（1）问：已知打印机的工作效率（每小时打印40张）和工作时间（1.5小时），根据“工作总量=工作效率×工作时间”的基本关系，直接列乘法算式计算即可。
2. 第（2）问：求黑白打印机的速度，已知其速度是彩色打印机的$\frac{5}{8}$，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，把彩色打印机的速度看作单位“1”，用彩色打印机的速度乘$\frac{5}{8}$即可。
3. 第（3）问：求大型工业印刷机的速度，已知其速度是彩色打印机的12.5倍，求一个数的几倍是多少用乘法计算，用彩色打印机的速度乘12.5即可。
【解析】
（1）根据工作总量计算公式：
$40×1.5=60$（张）
（2）求一个数的几分之几用乘法：
$40×\frac{5}{8}=25$（张）
（3）求一个数的几倍用乘法：
$40×12.5=500$（张）
【答案】
(1) 60 (2) 25 (3) 500
【知识点】
工程问题基本数量关系；分数乘法应用；倍数计算
【点评】
本题是基础的乘法应用题型，核心考察乘法在不同场景下的使用规则，只要理清题目中的数量关系，找准对应量，计算时注意分数、小数乘法的运算准确性，即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
3. 在计算 $24 × 35$ 时，李健同学采用了如下的计算方法。从①到②主要运用了（
$24 × 35$
$=(20+4) × (30+5) \rightarrow ①$
$=(20+4) × 30 + (20+4) × 5 \rightarrow ②$
$=20 × 30 + 4 × 30 + 20 × 5 + 4 × 5$
$=600 + 120 + 100 + 20$
$=840$
乘法分配
）律。$24 × 35$
$=(20+4) × (30+5) \rightarrow ①$
$=(20+4) × 30 + (20+4) × 5 \rightarrow ②$
$=20 × 30 + 4 × 30 + 20 × 5 + 4 × 5$
$=600 + 120 + 100 + 20$
$=840$
答案
乘法分配
解析
【分析】
解题时先回忆学过的乘法运算律的特征：乘法交换律是交换两个乘数的位置，乘法结合律是三个乘数相乘时改变运算顺序，乘法分配律是两个数的和与一个数相乘时，可分别相乘再相加。接下来观察算式变形：把①中第一个括号的$(20+4)$看作一个整体，第二个括号是$(30+5)$，从①到②的变化是把$(20+4)$分别和30、5相乘，再把两个积相加，完全符合乘法分配律的特征，据此就能判断对应的运算律。
【解析】
乘法分配律的定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，结果不变，字母表示为$(a+b)×c=a×c+b×c$。
本题中将①式的$(20+4)$看作一个整体，与$(30+5)$相乘时，转化为$(20+4)$分别乘30、5，再把积相加得到②式，符合乘法分配律的形式。
【答案】
乘法分配
【知识点】
乘法分配律、运算律辨识
【点评】
本题是运算律辨识的基础题型，解题关键是熟练掌握各类运算律的结构特征，通过对比算式变形前后的形式就能快速判断，是巩固运算律概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆学过的乘法运算律的特征：乘法交换律是交换两个乘数的位置，乘法结合律是三个乘数相乘时改变运算顺序，乘法分配律是两个数的和与一个数相乘时，可分别相乘再相加。接下来观察算式变形：把①中第一个括号的$(20+4)$看作一个整体，第二个括号是$(30+5)$，从①到②的变化是把$(20+4)$分别和30、5相乘，再把两个积相加，完全符合乘法分配律的特征，据此就能判断对应的运算律。
【解析】
乘法分配律的定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，结果不变，字母表示为$(a+b)×c=a×c+b×c$。
本题中将①式的$(20+4)$看作一个整体，与$(30+5)$相乘时，转化为$(20+4)$分别乘30、5，再把积相加得到②式，符合乘法分配律的形式。
【答案】
乘法分配
【知识点】
乘法分配律、运算律辨识
【点评】
本题是运算律辨识的基础题型，解题关键是熟练掌握各类运算律的结构特征，通过对比算式变形前后的形式就能快速判断，是巩固运算律概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
素养提优
4. 选一选。
（1）下面能用$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$表示或解决问题的有（
A. ①③
B. ①④
C. ①③④
D. ②③④
（2）根据$135×46=6210$，可以推算出下面算式（
A. $13.5×4.6$
B. $1.35×0.46$
C. $4.6×1.35$
D. $\frac{135}{8}×\frac{46}{125}$
4. 选一选。
（1）下面能用$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$表示或解决问题的有（
C
）。A. ①③
B. ①④
C. ①③④
D. ②③④
（2）根据$135×46=6210$，可以推算出下面算式（
B
）的结果是0.621。A. $13.5×4.6$
B. $1.35×0.46$
C. $4.6×1.35$
D. $\frac{135}{8}×\frac{46}{125}$
答案
(1) C (2) B
解析
【分析】
第(1)题解题思路
判断每个情境是否符合$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$的意义：分数乘法的本质是求一个数的几分之几是多少，同时乘法交换律可知两个乘数交换位置积不变，逐个分析4个图示即可。
第(2)题解题思路
已知整数乘法的积，要得到结果0.621，根据积的变化规律：两个乘数分别缩小到原来的几分之一，积就缩小到原来的两个几分之一的乘积，或者直接计算各选项的结果对比即可。
【解析】
(1) 逐个分析4个情境：
① 把整个长方形看作单位“1”，浅绿色部分占整体的$\frac{3}{4}$，深绿色部分占浅绿色部分的$\frac{1}{4}$，求深绿色占整体的占比，列式为$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$，符合要求。
② 已知$\frac{1}{4}$小时走$\frac{3}{4}$千米，求1小时走的路程，根据“速度=路程÷时间”，列式为$\frac{3}{4}÷\frac{1}{4}$，不符合要求。
③ 把总长度$\frac{1}{4}\mathrm{m}$看作单位“1”，所求部分占总长度的$\frac{3}{4}$，求所求部分长度，列式为$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$，根据乘法交换律$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$，符合要求。
④ 把大长方形面积$\frac{3}{4}\mathrm{m}^2$看作单位“1”，阴影部分占它的$\frac{1}{4}$，求阴影部分面积，列式为$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$，符合要求。
综上①③④符合要求。
(2) 已知$135×46=6210$，逐一计算选项：
A. $13.5×4.6=62.1$，不符合；
B. $1.35×0.46=0.621$，符合；
C. $4.6×1.35=6.21$，不符合；
D. $\frac{135}{8}×\frac{46}{125}=\frac{6210}{1000}=6.21$，不符合。
【答案】
(1)C (2)B
【知识点】
分数乘法的意义，积的变化规律，乘法交换律
【点评】
题目侧重考查运算意义和运算规律的实际应用，需要结合具体情境梳理数量关系，辨析易混选项，熟练掌握基础运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
第(1)题解题思路
判断每个情境是否符合$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$的意义：分数乘法的本质是求一个数的几分之几是多少，同时乘法交换律可知两个乘数交换位置积不变，逐个分析4个图示即可。
第(2)题解题思路
已知整数乘法的积，要得到结果0.621，根据积的变化规律：两个乘数分别缩小到原来的几分之一，积就缩小到原来的两个几分之一的乘积，或者直接计算各选项的结果对比即可。
【解析】
(1) 逐个分析4个情境：
① 把整个长方形看作单位“1”，浅绿色部分占整体的$\frac{3}{4}$，深绿色部分占浅绿色部分的$\frac{1}{4}$，求深绿色占整体的占比，列式为$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$，符合要求。
② 已知$\frac{1}{4}$小时走$\frac{3}{4}$千米，求1小时走的路程，根据“速度=路程÷时间”，列式为$\frac{3}{4}÷\frac{1}{4}$，不符合要求。
③ 把总长度$\frac{1}{4}\mathrm{m}$看作单位“1”，所求部分占总长度的$\frac{3}{4}$，求所求部分长度，列式为$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$，根据乘法交换律$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$，符合要求。
④ 把大长方形面积$\frac{3}{4}\mathrm{m}^2$看作单位“1”，阴影部分占它的$\frac{1}{4}$，求阴影部分面积，列式为$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$，符合要求。
综上①③④符合要求。
(2) 已知$135×46=6210$，逐一计算选项：
A. $13.5×4.6=62.1$，不符合；
B. $1.35×0.46=0.621$，符合；
C. $4.6×1.35=6.21$，不符合；
D. $\frac{135}{8}×\frac{46}{125}=\frac{6210}{1000}=6.21$，不符合。
【答案】
(1)C (2)B
【知识点】
分数乘法的意义，积的变化规律，乘法交换律
【点评】
题目侧重考查运算意义和运算规律的实际应用，需要结合具体情境梳理数量关系，辨析易混选项，熟练掌握基础运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 学校新采购了一批图书，共计400本。其中科普类有12本，文学类占总数的$\frac{1}{4}$，艺术类的数量是文学类的1.2倍，剩下的是历史类。？（先提出一个用两步或两步以上计算解决的问题，再解答。）
答案
提出问题：历史类图书有多少本？
$400×\frac{1}{4}=100$（本）
$100×1.2=120$（本）
$400-12-100-120=168$（本）
答：历史类图书有168本。
$400×\frac{1}{4}=100$（本）
$100×1.2=120$（本）
$400-12-100-120=168$（本）
答：历史类图书有168本。
解析
【分析】
首先梳理题目给出的已知条件：图书总数量为400本，科普类有12本，文学类占总数的$\frac{1}{4}$，艺术类数量是文学类的1.2倍，剩余为历史类。我们可提出符合两步以上计算要求的问题，比如“历史类图书有多少本”。解题思路为：先根据总数量算出文学类的本数，再结合文学类数量算出艺术类的本数，最后用总本数依次减去科普类、文学类、艺术类的本数，即可得到历史类的本数，计算时要注意各数量的对应关系，避免混淆。
【解析】
提出问题：历史类图书有多少本？
1. 计算文学类图书数量：
$400×\frac{1}{4}=100$（本）
2. 计算艺术类图书数量：
$100×1.2=120$（本）
3. 计算历史类图书数量：
$400-12-100-120=168$（本）
答：历史类图书有168本。
【答案】
历史类图书有168本。
【知识点】
分数乘法应用，倍数计算，总量与分量的关系
【点评】
本题结合生活实际命题，既需要学生自主提出符合计算要求的问题，也需要学生梳理多个数量之间的关系分步求解，能有效锻炼学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目给出的已知条件：图书总数量为400本，科普类有12本，文学类占总数的$\frac{1}{4}$，艺术类数量是文学类的1.2倍，剩余为历史类。我们可提出符合两步以上计算要求的问题，比如“历史类图书有多少本”。解题思路为：先根据总数量算出文学类的本数，再结合文学类数量算出艺术类的本数，最后用总本数依次减去科普类、文学类、艺术类的本数，即可得到历史类的本数，计算时要注意各数量的对应关系，避免混淆。
【解析】
提出问题：历史类图书有多少本？
1. 计算文学类图书数量：
$400×\frac{1}{4}=100$（本）
2. 计算艺术类图书数量：
$100×1.2=120$（本）
3. 计算历史类图书数量：
$400-12-100-120=168$（本）
答：历史类图书有168本。
【答案】
历史类图书有168本。
【知识点】
分数乘法应用，倍数计算，总量与分量的关系
【点评】
本题结合生活实际命题，既需要学生自主提出符合计算要求的问题，也需要学生梳理多个数量之间的关系分步求解，能有效锻炼学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
