8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于点D，$∠ 1$与$∠ A$，$∠ 2$与$∠ B$有什么关系？用一个命题表达你所得到的结论.

解：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
在△ABC中，∠A + ∠B = 180° - ∠ACB = 90°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC = ∠BDC = 90°，
在△ACD中，∠A + ∠2 = 180° - ∠ADC = 90°，
∴ ∠1 = ∠A（同角的余角相等），
在△BCD中，∠B + ∠1 = 180° - ∠BDC = 90°，
∴ ∠2 = ∠B（同角的余角相等）。
得到的命题：直角三角形斜边上的高把直角分成的两个角，分别与原直角三角形的两个锐角相等。

【分析】
要解决本题，首先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。首先梳理图中的直角：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB可得△ACD、△BCD也都是直角三角形。我们先分别写出各个直角三角形中两个锐角的和，再利用“同角的余角相等”的性质，就能推导出∠1和∠A、∠2和∠B的关系，最后将推导得到的规律总结为规范的命题即可。
【解析】
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
在△ABC中，∠A + ∠B = 180° - ∠ACB = 90°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC = ∠BDC = 90°，
在△ACD中，∠A + ∠2 = 180° - ∠ADC = 90°，
∴ ∠1 = ∠A（同角的余角相等），
在△BCD中，∠B + ∠1 = 180° - ∠BDC = 90°，
∴ ∠2 = ∠B（同角的余角相等）。
得到的命题：直角三角形斜边上的高把直角分成的两个角，分别与原直角三角形的两个锐角相等。
【答案】
∠1=∠A，∠2=∠B；命题：直角三角形斜边上的高把直角分成的两个角，分别与原直角三角形的两个锐角相等。
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余
2.同角的余角相等
3.命题的表述
【点评】
本题属于基础几何推导题，侧重考察直角三角形性质和余角性质的应用，解题关键是先找出图中所有互余的角对，再通过等量代换推导角的相等关系，同时也锻炼了将规律归纳为规范命题的能力。
【难度系数】
0.7

9. 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一个反例说明.
（1）有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形；
（2）若$a ＞ b$，则$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$.

解：
（1）该命题是真命题。
（2）该命题是假命题。
反例：取$a=2$，$b=1$，满足$a＞b$，此时$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b}=1$，显然$\frac{1}{2}＜1$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，与命题结论矛盾。

【分析】
判断命题真假时，真命题需经过逻辑推理验证成立，假命题只需举出一个满足题设但不满足结论的反例即可。对于(1)，结合等腰三角形两底角相等的性质，分60°角是顶角和底角两种情况讨论，两种情况都能推出三角形三个内角均为60°，符合等边三角形的判定；对于(2)，可代入正数验证，当a、b均为正数时，越大的数倒数越小，很容易找到不符合结论的反例。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①若60°是等腰三角形的顶角，则两个底角的度数均为$(180°-60°)÷2=60°$，三角形三个内角都是60°，为等边三角形；
②若60°是等腰三角形的底角，则另一个底角也为60°，顶角的度数为$180°-60°×2=60°$，三角形三个内角都是60°，为等边三角形。
因此该命题是真命题。
（2）该命题是假命题。
反例：取$a=2$，$b=1$，满足$a＞b$，此时$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b}=1$，显然$\frac{1}{2}＜1$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，与命题结论矛盾，故为假命题。
【答案】
（1）该命题是真命题。
（2）该命题是假命题。
反例：取$a=2$，$b=1$，满足$a＞b$，此时$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b}=1$，显然$\frac{1}{2}＜1$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，与命题结论矛盾。
【知识点】
真假命题判断，等边三角形判定，不等式的性质
【点评】
本题核心考查命题真假的判断逻辑，真命题需要严谨推理证明，假命题仅需一个合理反例即可推翻；解题时第一题要注意对等腰三角形已知角的位置分类讨论，避免漏情况导致判断错误，第二题举反例时要确保数值完全符合题设条件。
【难度系数】
0.7