例1 观察下列图形及其对应的算式，根据你发现的规律计算$1+8+16+24+\dots+8n$（$n$是正整数）的结果为（）


A.$(2n+1)^2$
B.$1+8n$
C.$1+8(n-1)$
D.$4n^2+4n$
[点拨] 对于找规律的题目，先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。通过分析找到各部分的变化规律，然后用一个统一的式子表示出变化规律是解此类题目的难点。
图(1):$1+8=9=(2×1+1)^2$；
图(2):$1+8+16=25=(2×2+1)^2$；
图(3):$1+8+16+24=49=(3×2+1)^2$；
……
故图(n):$1+8+16+24+\dots+8n=(2n+1)^2$。
[答案] A

A

先计算前3组对应算式的结果：
1. n=1时，$1+8×1=9=(2×1+1)^2$
2. n=2时，$1+8+16=25=(2×2+1)^2$
3. n=3时，$1+8+16+24=49=(2×3+1)^2$
归纳规律可得：$1+8+16+24+\dots+8n=(2n+1)^2$。

例2 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形。设格点多边形的面积为$S$，该多边形各边上的格点个数和为$a$，内部的格点个数为$b$，则$S=a+b-1$（史称“皮克公式”）。小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究。正三角形网格中每个小正三角形的面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形。下图是该正三角形格点中的两个多边形，根据图中提供的信息填表：

多边形1 多边形2
| 格点多边形 | 格点多边形各边上格点的个数 | 格点多边形内部格点的个数 | 格点多边形的面积 |
| --- | --- | --- | --- |
| 多边形1 | 8 | 1 | |
| 多边形2 | 7 | 3 | |
| … | … | … | … |
| 一般格点多边形 | $a$ | $b$ | $S$ |

$S$与$a,b$之间的关系为$S=$（用含$a,b$的代数式表示）。
[点拨] 根据$8=8+2(1-1),11=7+2(3-1)$，得到$S=a+2(b-1)$。
[解] 填表如下：

| 格点多边形 | 格点多边形各边上格点的个数 | 格点多边形内部格点的个数 | 格点多边形的面积 |
| --- | --- | --- | --- |
| 多边形1 | 8 | 1 | 8 |
| 多边形2 | 7 | 3 | 11 |
| … | … | … | … |
| 一般格点多边形 | $a$ | $b$ | $S$ |
$S$与$a,b$之间的关系为$S=a+2(b-1)$。

解：
| 格点多边形 | 格点多边形各边上格点的个数 | 格点多边形内部格点的个数 | 格点多边形的面积 |
| --- | --- | --- | --- |
| 多边形1 | 8 | 1 | 8 |
| 多边形2 | 7 | 3 | 11 |
| … | … | … | … |
| 一般格点多边形 | $a$ | $b$ | $S$ |
将两组已知数据代入验证推导，可得$S$与$a,b$之间的关系为$S=a+2(b-1)$（或化简为$S=a+2b-2$）。