1. [2025·合肥包河区期末]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，若$AB=5$，$BC=3$，则$\sin A$的值为（）

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

1.C

【分析】
要解决本题，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。首先先确定直角三角形的斜边，再找到所求角∠A的对边，最后代入定义计算即可。由∠ACB=90°可知，AB是直角三角形的斜边，∠A的对边是不与点A相连的边BC，已知两条边的长度，直接代入公式就能求出sinA的值。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$
∴ 斜边为$AB=5$，$∠A$的对边为$BC=3$
根据锐角正弦的定义：$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}$
代入得：$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义，直角三角形的边角关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对锐角正弦定义的掌握，解题的关键是准确找到直角三角形中对应角的对边和斜边，避免混淆边角对应关系即可得分。
【难度系数】
0.9

变式训练
已知两边的长→已知两边的关系→已知正弦值求
边长
(1)[2025·合肥五十中西校期末]在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=3AC$，则$\sin A$的值为（）
A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
(2)在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$.若$BC=10$，$\sin B=\frac{12}{13}$，则$AC$的长是.

(1)A (2)24

【分析】
两道题均为直角三角形中与正弦相关的计算，解题核心思路为：①牢记正弦的定义：锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值；②结合已知条件，通过设参数的方法，利用勾股定理求出未知边的长度，再代入正弦定义计算即可。
第(1)题：已知斜边AB和直角边AC的数量关系，先设参数表示两条边的长度，用勾股定理求出∠A的对边BC的长度，再代入sinA的定义式计算。
第(2)题：已知∠B的正弦值和直角边BC的长度，先根据正弦定义设参数表示AC和AB的长度，再用勾股定理表示出BC的长度，结合已知BC的数值求出参数，进而得到AC的长。
【解析】
(1) 设$AC=x$，由$AB=3AC$得$AB=3x$，
$\because Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore$ 由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(3x)^2 - x^2}=\sqrt{8x^2}=2\sqrt{2}x$，
根据正弦的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}x}{3x}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，故选A。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$，
设$AC=12k$（$k＞0$），则$AB=13k$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(13k)^2 - (12k)^2}=\sqrt{25k^2}=5k$，
已知$BC=10$，$\therefore 5k=10$，解得$k=2$，
$\therefore AC=12k=12×2=24$。
【答案】
(1)A；(2)24
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 勾股定理
【点评】
这两道题是锐角三角函数的基础应用题，解题时需注意不要混淆锐角对应的对边和邻边，结合勾股定理求边长时参数的设定可以简化计算，整体计算量小，掌握基础定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$.若$△ ABC$的三边都放大2倍，则$\sin A$的值 （）

A.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
B.扩大到原来的2倍
C.不变
D.无法确定

2.C

【分析】
解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。接下来思考三边放大2倍的本质：是将原三角形按2:1的比例放大，得到的新三角形和原三角形相似，∠A的大小不发生改变；也可以直接计算边长放大后∠A的对边与斜边的比值，判断比值是否变化。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，根据正弦的定义可得：
$\sin A=\frac{BC}{AB}$
将△ABC的三边都放大2倍后，新三角形的对应边分别为$2BC$、$2AC$、$2AB$，此时$∠ A$的大小不变，新的对边为$2BC$，新的斜边为$2AB$，则：
$\sin A'=\frac{2BC}{2AB}=\frac{BC}{AB}=\sin A$
因此$\sin A$的值不变。
【答案】
C
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 相似三角形的性质
3. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的本质，三角函数值只与对应角的大小有关，与所在直角三角形的边长无关，只要角的度数不变，其对应的三角函数值就保持不变，解题时不要被边长缩放的表述误导。
【难度系数】
0.9

3. 如图,在$5×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,$△ ABC$的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么$\sin∠ ACB$的值为.

3.$\frac{4}{5}$

【分析】
要求$\sin∠ACB$的值，根据正弦的定义，需要把$∠ACB$放在直角三角形中，求出它的对边和斜边的长度，再计算比值。我们可以过点A作AH垂直BC于点H，构造出含$∠ACB$的直角三角形AHC，接下来分别计算直角边AH和斜边AC的长度即可求解。
【解析】
过点A作$AH⊥BC$，垂足为H。
∵每个小正方形的边长为1，
∴AH的长度为点A到BC的水平距离，即$AH=4$；
由勾股定理可得AC的长度：$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
在$Rt△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，根据正弦的定义：
$\sin∠ACB=\frac{∠ACB的对边}{斜边}=\frac{AH}{AC}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理
【点评】
本题是网格背景下的锐角三角函数计算题，解题核心是通过作高构造包含待求角的直角三角形，结合勾股定理计算线段长度后利用三角函数定义求解，是三角函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7

4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$BC=8$，$AC=15$，则$\cos B$的值为（）

A.$\dfrac{8}{15}$
B.$\dfrac{15}{8}$
C.$\dfrac{8}{17}$
D.$\dfrac{15}{17}$

4.C

【分析】本题是直角三角形中锐角余弦值的计算问题，解题思路清晰明了：首先回忆锐角余弦的定义，即锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值；其次已知直角三角形的两条直角边，需先通过勾股定理求出斜边长度，再找准∠B的邻边，代入定义即可算出结果。
【解析】解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理可得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$
根据余弦的定义，$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}$，其中$∠ B$的邻边为$BC$，
代入数值可得：$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17}$。
【答案】C
【知识点】勾股定理、余弦的定义
【点评】本题属于锐角三角函数的基础计算题，解题核心是准确记忆余弦的定义，正确区分对应角的邻边、对边和斜边，同时熟练掌握勾股定理的运用。
【难度系数】0.85

5. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，设$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则下列选项正确的是（）

A.$c=a\cos A$
B.$b=c\cos A$
C.$b=a\cos B$
D.$c=a\cos B$

5.B

【分析】
本题考查直角三角形中锐角余弦的应用，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值；其次分别确定∠A、∠B的邻边和斜边，写出两个角的余弦表达式，再变形为边的关系，和各选项逐一比对即可得到正确答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义：
对于锐角$∠ A$，它的邻边是$b$，斜边是$c$，因此$\cos A = \frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{b}{c}$，变形可得$b = c\cos A$，对应选项B正确。
对其余选项逐一验证：
A选项：由$\cos A=\frac{b}{c}$得$a\cos A=\frac{ab}{c}≠ c$，故A错误；
C选项：对于$∠ B$，它的邻边是$a$，斜边是$c$，因此$\cos B=\frac{a}{c}$，则$a\cos B=\frac{a^2}{c}≠ b$，故C错误；
D选项：由$\cos B=\frac{a}{c}$得$a\cos B=\frac{a^2}{c}≠ c$，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 余弦的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角余弦定义的理解与应用，熟练掌握直角三角形中各锐角的对边、邻边、斜边的对应关系是解题的关键，掌握定义即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$. 若$BC=4$，$\cos B=\dfrac{2}{3}$，则$AC=$.

6.$2\sqrt{5}$

【分析】
本题是直角三角形中已知锐角余弦值和直角边长，求另一直角边长的基础题。解题思路分为两步：第一步，根据锐角余弦的定义，锐角的余弦值等于该角邻边与斜边的比值，结合已知的∠B的余弦值和它的邻边BC的长度，先求出斜边AB的长度；第二步，利用勾股定理，代入已知的BC长度和求出的AB长度，计算得到AC的长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos B = \dfrac{∠ B\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{BC}{AB}$
将$BC=4$，$\cos B=\dfrac{2}{3}$代入上式：
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{AB}$
解得$AB = \dfrac{4×3}{2} = 6$
再根据勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，可得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
余弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，结合勾股定理计算即可，计算过程中注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.8

7. [2024·滁州来安期末]在$△ ABC$中，$∠ C=90°$.若$\tan A=2$，则$\cos A$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$

7.A

【分析】
本题是直角三角形中已知锐角的正切值求余弦值的基础题，解题思路如下：1. 首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，$\tan A$是角A的对边与邻边的比值，$\cos A$是角A的邻边与斜边的比值；2. 我们可以通过设参数的方式表示出两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度；3. 最后代入余弦的定义式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC}=2$
∴ 可设$AC = k$（$k＞0$），则$BC = 2k$
由勾股定理得斜边$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{k^2 + (2k)^2} = \sqrt{5k^2} = \sqrt{5}k$
根据余弦的定义，$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{k}{\sqrt{5}k} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义，余弦的定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，通过设参数表示边长的方法能快速建立各边之间的关系，结合勾股定理即可求出对应三角函数值，是三角函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8

8. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C = 90°$. 若$\sin A = \dfrac{7}{25}$，则$\cos A$的值是.

8.$\frac{24}{25}$

【分析】
本题是直角三角形中锐角余弦值的求解问题，解题思路如下：首先，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，可判断$∠ A$是锐角，因此其余弦值一定为正数；其次，回忆同角三角函数的基本关系：对于任意锐角$A$，都满足$\sin^2 A + \cos^2 A =1$，将已知的$\sin A$的值代入该公式，求解后取正的结果即可。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$
$\therefore$ $∠ A$是锐角，即$\cos A＞0$
根据同角三角函数的平方关系：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
将$\sin A = \dfrac{7}{25}$代入得：
$\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A} = \sqrt{1 - (\dfrac{7}{25})^2}$
$= \sqrt{1 - \dfrac{49}{625}} = \sqrt{\dfrac{576}{625}} = \dfrac{24}{25}$
【答案】
$\dfrac{24}{25}$
【知识点】
同角三角函数的平方关系；锐角三角函数的取值范围
【点评】
本题属于基础题，主要考查同角三角函数基本关系的应用，解题时需注意锐角的三角函数值均为正数，避免出现开方取负号的错误。
【难度系数】
0.9

9. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是高.如果$∠ A=α$,$AC=4$,那么$CD=$, $BD=$. (用含锐角$α$的三角函数表示)

9.$4\sin α$；$4\sin α \tan α$

【分析】
解题思路：首先确定所求线段CD所在的直角三角形，CD是Rt△ACD的直角边，已知Rt△ACD的斜边AC=4，锐角∠A=α，可直接用正弦的定义求出CD的长度；求BD时，先利用“同角的余角相等”推出∠BCD=∠A=α，再在Rt△BCD中利用正切的定义，结合已求出的CD长度即可得到BD的表达式。
【解析】
解：
∵CD是Rt△ABC的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°。
1. 求CD的长度：
在Rt△ACD中，∠A=α，AC=4，根据正弦的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{CD}{AC}$，
∴$CD=AC·\sinα=4\sinα$。
2. 求BD的长度：
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A=α（同角的余角相等）。
在Rt△BCD中，根据正切的定义：$\tan∠ BCD=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BD}{CD}$，
∴$BD=CD·\tanα$，将$CD=4\sinα$代入得：
$BD=4\sinα·\tanα$。
【答案】
$4\sinα$；$4\sinα \tanα$
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 正切的定义
3. 同角的余角相等
【点评】
本题考查锐角三角函数在直角三角形中的应用，解题的关键是找准所求线段对应的直角三角形，利用直角三角形内角的互余关系实现等角转换，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的基础。
【难度系数】
0.7

10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，试求锐角A的各个三角函数。

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$，
$\therefore \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

【分析】
要求锐角A的三角函数，首先要明确直角三角形中锐角三角函数的定义：正弦为角的对边与斜边的比值，余弦为角的邻边与斜边的比值，正切为角的对边与邻边的比值。本题已知Rt△ABC的两条直角边长度，因此第一步先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再确定∠A的对边为BC、邻边为AC，最后分别代入三个三角函数的定义式计算，将结果化简为最简形式即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\tan A=\frac{1}{2}$
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题关键是准确记忆三角函数定义，正确区分对应角的对边和邻边，计算时需注意将二次根式化简为最简形式，保证结果规范。
【难度系数】
0.8