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任务一
列反比例函数解析式解决生活中的实际问题
阅读材料，完成下列探究.
某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤，假设每副护腕的采购费用为x元，本次采购的护腕数量为y副，y与x之间的关系如下表所示.
探究1：本次采购的总预算为多少元？y与x之间满足怎样的函数关系？请写出y关于x的函数解析式.
探究2：求出表中a的值.
探究3：为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，则最多能采购多少副护腕？
列反比例函数解析式解决生活中的实际问题
阅读材料，完成下列探究.
某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤，假设每副护腕的采购费用为x元，本次采购的护腕数量为y副，y与x之间的关系如下表所示.
探究1：本次采购的总预算为多少元？y与x之间满足怎样的函数关系？请写出y关于x的函数解析式.
探究2：求出表中a的值.
探究3：为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，则最多能采购多少副护腕？
答案
探究1 解：根据题意，得本次采购的总预算为$5×32=160$(元).
y与x是反比例函数关系，y关于x的函数解析式为$y=\frac{160}{x}$.
探究2 解：根据题意，得$16=\frac{160}{a}$，解得$a=10$.
∴a的值为10.
探究3 解：
∵在反比例函数$y=\frac{160}{x}$中，$160＞0$，
∴当$x＞0$时，y随x的增大而减小.
又
∵$x≥6$，且y为正整数，
∴当$x=6$时，y取得最大值，最大值为$\frac{160}{6}=\frac{80}{3}≈26.7$.
∴最多能采购26副护腕.
y与x是反比例函数关系，y关于x的函数解析式为$y=\frac{160}{x}$.
探究2 解：根据题意，得$16=\frac{160}{a}$，解得$a=10$.
∴a的值为10.
探究3 解：
∵在反比例函数$y=\frac{160}{x}$中，$160＞0$，
∴当$x＞0$时，y随x的增大而减小.
又
∵$x≥6$，且y为正整数，
∴当$x=6$时，y取得最大值，最大值为$\frac{160}{6}=\frac{80}{3}≈26.7$.
∴最多能采购26副护腕.
解析
【分析】
解决本题需抓住总预算固定这一核心条件：首先探究1可通过已知的单价和对应采购量计算总预算，根据单价与数量乘积为定值判断为反比例函数，进而得到函数解析式；探究2将对应y值代入解析式即可解方程求出a；探究3先利用反比例函数的增减性，结合x的取值范围找到y取最大值的情况，再结合实际问题中y为正整数的要求，确定最终的最大采购量。
【解析】
探究1
根据表格中x=5、y=32的对应关系，总预算=单价×数量，因此总预算为：$5×32=160$（元）。
由于总预算固定，即$x· y=160$（定值），因此y与x满足反比例函数关系，整理可得y关于x的函数解析式为：$y=\frac{160}{x}\quad(x＞0)$。
探究2
当$y=16$时，代入$y=\frac{160}{x}$可得：
$16=\frac{160}{a}$
解得$a=\frac{160}{16}=10$。
探究3
在反比例函数$y=\frac{160}{x}$中，$k=160＞0$，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
已知$x≥6$，因此当x取最小值6时，y取得最大值：
$y=\frac{160}{6}=\frac{80}{3}\approx26.7$
由于护腕数量y必须为正整数，因此向下取整得y最大为26。
【答案】
探究1：总预算为160元，y与x是反比例函数关系，函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{160}{x}(x＞0)}$；
探究2：a的值为$\boldsymbol{10}$；
探究3：最多能采购$\boldsymbol{26}$副护腕。
【知识点】
反比例函数解析式，反比例函数性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合采购的生活场景考查反比例函数的相关应用，核心是抓住总预算不变的条件确定函数关系，求解最值时需要注意结合实际意义对结果取整，能有效锻炼学生用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
解决本题需抓住总预算固定这一核心条件：首先探究1可通过已知的单价和对应采购量计算总预算，根据单价与数量乘积为定值判断为反比例函数，进而得到函数解析式；探究2将对应y值代入解析式即可解方程求出a；探究3先利用反比例函数的增减性，结合x的取值范围找到y取最大值的情况，再结合实际问题中y为正整数的要求，确定最终的最大采购量。
【解析】
探究1
根据表格中x=5、y=32的对应关系，总预算=单价×数量，因此总预算为：$5×32=160$（元）。
由于总预算固定，即$x· y=160$（定值），因此y与x满足反比例函数关系，整理可得y关于x的函数解析式为：$y=\frac{160}{x}\quad(x＞0)$。
探究2
当$y=16$时，代入$y=\frac{160}{x}$可得：
$16=\frac{160}{a}$
解得$a=\frac{160}{16}=10$。
探究3
在反比例函数$y=\frac{160}{x}$中，$k=160＞0$，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
已知$x≥6$，因此当x取最小值6时，y取得最大值：
$y=\frac{160}{6}=\frac{80}{3}\approx26.7$
由于护腕数量y必须为正整数，因此向下取整得y最大为26。
【答案】
探究1：总预算为160元，y与x是反比例函数关系，函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{160}{x}(x＞0)}$；
探究2：a的值为$\boldsymbol{10}$；
探究3：最多能采购$\boldsymbol{26}$副护腕。
【知识点】
反比例函数解析式，反比例函数性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合采购的生活场景考查反比例函数的相关应用，核心是抓住总预算不变的条件确定函数关系，求解最值时需要注意结合实际意义对结果取整，能有效锻炼学生用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地.
(1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度v(单位：km/h)关于时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)若返回时司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120 km，最低车速不得低于每小时60 km，则返程时间t的取值范围是多少？
(1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度v(单位：km/h)关于时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)若返回时司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120 km，最低车速不得低于每小时60 km，则返程时间t的取值范围是多少？
答案
(1)$v=\frac{480}{t}$
(2)$4≤t≤8$
(2)$4≤t≤8$
解析
【分析】
解题思路如下：(1)解决本题首先要明确往返甲乙两地的路程不变，先根据去程的速度和时间计算出甲乙两地的总路程，再结合“路程=速度×时间”的等量关系，变形即可得到速度v关于时间t的函数解析式；(2)已知返程速度的取值范围，将v=480/t代入速度的不等关系中，结合t为正数的实际意义解不等式，即可得到返程时间t的取值范围。
【解析】
(1) 先计算甲乙两地的路程：
由路程=速度×时间，得$s = 80 × 6 = 480 \mathrm{ km}$
返程时路程不变，故有$v · t = 480$，变形得：
$v = \frac{480}{t} \quad (t＞0)$
(2) 由题意可知返程速度满足$60 ≤ v ≤ 120$，将$v=\frac{480}{t}$代入不等式得：
$60 ≤ \frac{480}{t} ≤ 120$
$\because$ 时间$t＞0$，不等式两边同时乘$t$不等号方向不变，得：
$60t ≤ 480 ≤ 120t$
分别解两个不等式：
① $60t ≤ 480$，解得$t ≤ 8$
② $480 ≤ 120t$，解得$t ≥ 4$
综上，返程时间t的取值范围为$4 ≤ t ≤ 8$
【答案】
(1)$v=\frac{480}{t}$
(2)$4≤t≤8$
【知识点】
反比例函数的实际应用，行程问题公式，不等式求解
【点评】
本题结合生活中的行程场景考查反比例函数的应用，核心是抓住路程不变这一隐含条件建立函数关系，求解时间范围时要注意结合实际意义保证自变量取值合理，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：(1)解决本题首先要明确往返甲乙两地的路程不变，先根据去程的速度和时间计算出甲乙两地的总路程，再结合“路程=速度×时间”的等量关系，变形即可得到速度v关于时间t的函数解析式；(2)已知返程速度的取值范围，将v=480/t代入速度的不等关系中，结合t为正数的实际意义解不等式，即可得到返程时间t的取值范围。
【解析】
(1) 先计算甲乙两地的路程：
由路程=速度×时间，得$s = 80 × 6 = 480 \mathrm{ km}$
返程时路程不变，故有$v · t = 480$，变形得：
$v = \frac{480}{t} \quad (t＞0)$
(2) 由题意可知返程速度满足$60 ≤ v ≤ 120$，将$v=\frac{480}{t}$代入不等式得：
$60 ≤ \frac{480}{t} ≤ 120$
$\because$ 时间$t＞0$，不等式两边同时乘$t$不等号方向不变，得：
$60t ≤ 480 ≤ 120t$
分别解两个不等式：
① $60t ≤ 480$，解得$t ≤ 8$
② $480 ≤ 120t$，解得$t ≥ 4$
综上，返程时间t的取值范围为$4 ≤ t ≤ 8$
【答案】
(1)$v=\frac{480}{t}$
(2)$4≤t≤8$
【知识点】
反比例函数的实际应用，行程问题公式，不等式求解
【点评】
本题结合生活中的行程场景考查反比例函数的应用，核心是抓住路程不变这一隐含条件建立函数关系，求解时间范围时要注意结合实际意义保证自变量取值合理，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
例 随着5G技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化.如表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值：
(1)该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长λ关于频率f的函数解析式.
(2)当$f=50$时，求此电磁波的波长λ.
(1)该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长λ关于频率f的函数解析式.
(2)当$f=50$时，求此电磁波的波长λ.
答案
(1)解：
∵电磁波的波长λ与频率f的乘积为定值，
∴波长λ与频率f是反比例函数关系.
设$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$. 把$f=10$，$λ=30$代入，得$30=\frac{k}{10}$，解得$k=300$.
∴$λ=\frac{300}{f}$.
(2)解：当$f=50$时，$λ=\frac{300}{50}=6$.
答：当$f=50$时，此电磁波的波长λ为6 m.
∵电磁波的波长λ与频率f的乘积为定值，
∴波长λ与频率f是反比例函数关系.
设$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$. 把$f=10$，$λ=30$代入，得$30=\frac{k}{10}$，解得$k=300$.
∴$λ=\frac{300}{f}$.
(2)解：当$f=50$时，$λ=\frac{300}{50}=6$.
答：当$f=50$时，此电磁波的波长λ为6 m.
解析
【分析】
解决本题首先思考函数关系的判断方法：对于两个变量，若它们的乘积为非零定值，则满足反比例函数关系。首先计算表格中每组频率f和波长λ的乘积，发现乘积均为300，可判断二者为反比例函数关系；接下来用待定系数法，设反比例函数解析式为$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$，代入一组对应值求出k，即可得到λ关于f的函数解析式。第二问只需将$f=50$代入已求出的函数解析式，计算即可得到对应的波长λ。
【解析】
(1) 观察表格数据，计算每组f与λ的乘积：
$5×60=300$，$10×30=300$，$15×20=300$，$20×15=300$，$25×12=300$，$30×10=300$，
可见波长λ与频率f的乘积为定值，因此二者满足反比例函数关系。
设波长λ关于频率f的函数解析式为$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$，将$f=10$，$λ=30$代入解析式得：
$30=\frac{k}{10}$，解得$k=300$，
因此函数解析式为$λ=\frac{300}{f}$（$f＞0$），代入其余组数据验证均成立。
(2) 当$f=50$时，将其代入解析式$λ=\frac{300}{f}$得：
$λ=\frac{300}{50}=6$（m）。
【答案】
(1) 波长λ与频率f满足反比例函数关系，函数解析式为$\boldsymbol{λ=\frac{300}{f}}$；
(2) 当$f=50$时，此电磁波的波长λ为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 反比例函数的判定
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题结合电磁波的实际应用场景考查反比例函数的相关知识，解题关键是抓住“两个变量乘积为定值”这一反比例函数的核心特征判断函数关系，再通过待定系数法求出解析式后代入计算即可，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先思考函数关系的判断方法：对于两个变量，若它们的乘积为非零定值，则满足反比例函数关系。首先计算表格中每组频率f和波长λ的乘积，发现乘积均为300，可判断二者为反比例函数关系；接下来用待定系数法，设反比例函数解析式为$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$，代入一组对应值求出k，即可得到λ关于f的函数解析式。第二问只需将$f=50$代入已求出的函数解析式，计算即可得到对应的波长λ。
【解析】
(1) 观察表格数据，计算每组f与λ的乘积：
$5×60=300$，$10×30=300$，$15×20=300$，$20×15=300$，$25×12=300$，$30×10=300$，
可见波长λ与频率f的乘积为定值，因此二者满足反比例函数关系。
设波长λ关于频率f的函数解析式为$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$，将$f=10$，$λ=30$代入解析式得：
$30=\frac{k}{10}$，解得$k=300$，
因此函数解析式为$λ=\frac{300}{f}$（$f＞0$），代入其余组数据验证均成立。
(2) 当$f=50$时，将其代入解析式$λ=\frac{300}{f}$得：
$λ=\frac{300}{50}=6$（m）。
【答案】
(1) 波长λ与频率f满足反比例函数关系，函数解析式为$\boldsymbol{λ=\frac{300}{f}}$；
(2) 当$f=50$时，此电磁波的波长λ为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 反比例函数的判定
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题结合电磁波的实际应用场景考查反比例函数的相关知识，解题关键是抓住“两个变量乘积为定值”这一反比例函数的核心特征判断函数关系，再通过待定系数法求出解析式后代入计算即可，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
