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探究1：计算下列各式。
①$(m+6)(m-6)=$
②$(t-5)^2=$
③$3x(x-1)=$
④$m(a+b+c)=$
⑤$a(a+1)(a-1)=$
探究2：根据上面的算式填空，说一说你的发现。
①$m^2 -36=($
②$t^2 -10t +25=($
③$3x^2 -3x=($
④$ma + mb + mc=($
⑤$a^3 -a=($
探究3：探究1中由整式乘积的形式得到多项式的运算是
探究2中由多项式得到整式乘积形式的变形是
新知生成：把一个多项式化成几个整式
①$(m+6)(m-6)=$
$m^2-36$
；②$(t-5)^2=$
$t^2-10t+25$
；③$3x(x-1)=$
$3x^2-3x$
；④$m(a+b+c)=$
ma+mb+mc
；⑤$a(a+1)(a-1)=$
$a^3-a$
。探究2：根据上面的算式填空，说一说你的发现。
①$m^2 -36=($
m+6
$)($m-6
$)$；②$t^2 -10t +25=($
t-5
$)^2$；③$3x^2 -3x=($
3x
$)($x-1
$)$；④$ma + mb + mc=($
m
$)($a+b+c
$)$；⑤$a^3 -a=($
a
$)($a+1
$)($a-1
$)$。探究3：探究1中由整式乘积的形式得到多项式的运算是
整式乘法
；探究2中由多项式得到整式乘积形式的变形是
因式分解
。新知生成：把一个多项式化成几个整式
乘积
的形式，这种变形叫作因式分解，因式分解也可称为分解因式。答案
探究1
① m²−36
② t²−10t+25
③ 3x²−3x
④ ma+mb+mc
⑤ a³−a
探究2
① m+6 m−6
② t−5
③ 3x x−1
④ m a+b+c
⑤ a a+1 a−1
探究3
整式乘法 因式分解
新知生成
乘积
① m²−36
② t²−10t+25
③ 3x²−3x
④ ma+mb+mc
⑤ a³−a
探究2
① m+6 m−6
② t−5
③ 3x x−1
④ m a+b+c
⑤ a a+1 a−1
探究3
整式乘法 因式分解
新知生成
乘积
解析
【分析】
本题围绕整式乘法与因式分解的互逆关系设置三层探究，解题思路如下：首先完成探究1的整式乘法运算，分别运用单项式乘多项式法则、平方差公式、完全平方公式计算得到多项式结果；再对照探究1的结果完成探究2的逆向变形，将多项式还原为整式乘积的形式；最后通过对比两类变形的特点，总结整式乘法、因式分解的概念，归纳因式分解的定义。解题时要注意乘法公式的正确运用，以及两类变形的方向差异。
【解析】
探究1（整式乘法运算）
① 运用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将$a=m、b=6$代入，得$(m+6)(m-6)=m^2-6^2=m^2-36$；
② 运用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a=t、b=5$代入，得$(t-5)^2=t^2-2× t×5+5^2=t^2-10t+25$；
③ 运用单项式乘多项式法则$a(b+c)=ab+ac$，得$3x(x-1)=3x· x - 3x·1=3x^2-3x$；
④ 运用单项式乘多项式的分配律，得$m(a+b+c)=ma+mb+mc$；
⑤ 先运用平方差公式计算$(a+1)(a-1)=a^2-1$，再乘$a$得$a(a^2-1)=a^3-a$。
探究2（逆向变形）
对照探究1的运算结果，将多项式还原为整式乘积形式：
① $m^2-36$是平方差形式，逆用平方差公式得$m^2-36=(m+6)(m-6)$；
② $t^2-10t+25$是完全平方式，逆用完全平方差公式得$t^2-10t+25=(t-5)^2$；
③ 提取公因式$3x$，得$3x^2-3x=3x(x-1)$；
④ 提取公因式$m$，得$ma+mb+mc=m(a+b+c)$；
⑤ 先提取公因式$a$得$a(a^2-1)$，再逆用平方差公式分解$a^2-1$，得$a^3-a=a(a+1)(a-1)$。
探究3与新知生成
探究1的变形方向是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法运算；探究2的变形方向是从多项式得到整式乘积，属于因式分解；根据定义，因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
【答案】
探究1：①$m^2-36$；②$t^2-10t+25$；③$3x^2-3x$；④$ma+mb+mc$；⑤$a^3-a$
探究2：①$m+6$，$m-6$；②$t-5$；③$3x$，$x-1$；④$m$，$a+b+c$；⑤$a$，$a+1$，$a-1$
探究3：整式乘法；因式分解
新知生成：乘积
【知识点】
整式乘法，因式分解，乘法公式
【点评】
本题通过正向运算、逆向变形的对比设计，直观展现了整式乘法与因式分解的互逆关系，能够帮助学习者快速理解因式分解的核心概念，为后续学习因式分解的具体方法做好铺垫。
【难度系数】
0.9
本题围绕整式乘法与因式分解的互逆关系设置三层探究，解题思路如下：首先完成探究1的整式乘法运算，分别运用单项式乘多项式法则、平方差公式、完全平方公式计算得到多项式结果；再对照探究1的结果完成探究2的逆向变形，将多项式还原为整式乘积的形式；最后通过对比两类变形的特点，总结整式乘法、因式分解的概念，归纳因式分解的定义。解题时要注意乘法公式的正确运用，以及两类变形的方向差异。
【解析】
探究1（整式乘法运算）
① 运用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将$a=m、b=6$代入，得$(m+6)(m-6)=m^2-6^2=m^2-36$；
② 运用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a=t、b=5$代入，得$(t-5)^2=t^2-2× t×5+5^2=t^2-10t+25$；
③ 运用单项式乘多项式法则$a(b+c)=ab+ac$，得$3x(x-1)=3x· x - 3x·1=3x^2-3x$；
④ 运用单项式乘多项式的分配律，得$m(a+b+c)=ma+mb+mc$；
⑤ 先运用平方差公式计算$(a+1)(a-1)=a^2-1$，再乘$a$得$a(a^2-1)=a^3-a$。
探究2（逆向变形）
对照探究1的运算结果，将多项式还原为整式乘积形式：
① $m^2-36$是平方差形式，逆用平方差公式得$m^2-36=(m+6)(m-6)$；
② $t^2-10t+25$是完全平方式，逆用完全平方差公式得$t^2-10t+25=(t-5)^2$；
③ 提取公因式$3x$，得$3x^2-3x=3x(x-1)$；
④ 提取公因式$m$，得$ma+mb+mc=m(a+b+c)$；
⑤ 先提取公因式$a$得$a(a^2-1)$，再逆用平方差公式分解$a^2-1$，得$a^3-a=a(a+1)(a-1)$。
探究3与新知生成
探究1的变形方向是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法运算；探究2的变形方向是从多项式得到整式乘积，属于因式分解；根据定义，因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
【答案】
探究1：①$m^2-36$；②$t^2-10t+25$；③$3x^2-3x$；④$ma+mb+mc$；⑤$a^3-a$
探究2：①$m+6$，$m-6$；②$t-5$；③$3x$，$x-1$；④$m$，$a+b+c$；⑤$a$，$a+1$，$a-1$
探究3：整式乘法；因式分解
新知生成：乘积
【知识点】
整式乘法，因式分解，乘法公式
【点评】
本题通过正向运算、逆向变形的对比设计，直观展现了整式乘法与因式分解的互逆关系，能够帮助学习者快速理解因式分解的核心概念，为后续学习因式分解的具体方法做好铺垫。
【难度系数】
0.9
1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（
A.$ a(x - y) = ax - ay $
B.$ x^2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1 $
C.$ (x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3 $
D.$ x^3 - x = x(x + 1)(x - 1) $
D
）A.$ a(x - y) = ax - ay $
B.$ x^2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1 $
C.$ (x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3 $
D.$ x^3 - x = x(x + 1)(x - 1) $
答案
1. D
解析
【分析】
解题首先要明确因式分解的核心判定标准：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是若干个整式的乘积形式；③变形前后等式恒等。接下来带着这三个标准逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
逐一分析选项：
选项A：$ a(x - y) = ax - ay $是将整式的积转化为多项式，属于整式乘法运算，不是因式分解，排除；
选项B：$ x^2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1 $的右侧是加法形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的结果要求，排除；
选项C：$ (x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3 $同样是整式乘法运算，不是因式分解，排除；
选项D：$ x^3 - x = x(x + 1)(x - 1) $的左侧是多项式，右侧是三个整式的乘积，且变形恒等，完全符合因式分解的定义。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对因式分解定义的理解，解题关键是牢记因式分解的形式特征，区分开互逆的因式分解和整式乘法运算，掌握概念即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确因式分解的核心判定标准：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是若干个整式的乘积形式；③变形前后等式恒等。接下来带着这三个标准逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
逐一分析选项：
选项A：$ a(x - y) = ax - ay $是将整式的积转化为多项式，属于整式乘法运算，不是因式分解，排除；
选项B：$ x^2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1 $的右侧是加法形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的结果要求，排除；
选项C：$ (x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3 $同样是整式乘法运算，不是因式分解，排除；
选项D：$ x^3 - x = x(x + 1)(x - 1) $的左侧是多项式，右侧是三个整式的乘积，且变形恒等，完全符合因式分解的定义。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对因式分解定义的理解，解题关键是牢记因式分解的形式特征，区分开互逆的因式分解和整式乘法运算，掌握概念即可快速得分。
【难度系数】
0.85
2. 判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解。
(1)$a^2 - 9b^2 = (a + 3b)(a - 3b)$；
(2)$3y(x + 2y) = 3xy + 6y^2$；
(3)$(3a - 1)^2 = 9a^2 - 6a + 1$；
(4)$4y^2 + 12y + 9 = (2y + 3)^2$；
(5)$x^2 + x = x^2(1 + \frac{1}{x})$；
(6)$x^2 - y^2 + 4y - 4 = (x - y)(x + y) + 4(y - 1)$。
归纳总结
(1)因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，二者不能混淆。因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算。
(2)整式乘法与因式分解是两个互逆的恒等变形，整式乘法是把整式“积化和差”，而因式分解是把多项式“和差化积”，正因为因式分解是整式乘法的逆变形，所以常用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。
即时测评
(1)$a^2 - 9b^2 = (a + 3b)(a - 3b)$；
(2)$3y(x + 2y) = 3xy + 6y^2$；
(3)$(3a - 1)^2 = 9a^2 - 6a + 1$；
(4)$4y^2 + 12y + 9 = (2y + 3)^2$；
(5)$x^2 + x = x^2(1 + \frac{1}{x})$；
(6)$x^2 - y^2 + 4y - 4 = (x - y)(x + y) + 4(y - 1)$。
归纳总结
(1)因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，二者不能混淆。因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算。
(2)整式乘法与因式分解是两个互逆的恒等变形，整式乘法是把整式“积化和差”，而因式分解是把多项式“和差化积”，正因为因式分解是整式乘法的逆变形，所以常用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。
即时测评
答案
解：(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解。
解析
【分析】
解题时首先要明确整式乘法和因式分解的核心判定特征：1. 整式乘法是“积化和差”，即等号左边是几个整式相乘的积的形式，右边是多项式（和/差）的形式；2. 因式分解是“和差化积”，即等号左边是多项式（和/差）的形式，右边是几个整式相乘的积的形式，且因式分解要求结果必须全为整式、最终为纯乘积形式。接下来逐个对照6个式子的左右两边形式，就能完成判断。
【解析】
首先明确判定标准：
① 整式乘法：变形前为整式的积，变形后为多项式（和/差形式），即“积化和差”；
② 因式分解：变形前为多项式（和/差形式），变形后为几个整式的积，即“和差化积”，且结果均为整式、最终为纯乘积形式。
逐个分析各式：
(1) 左边是多项式$a^2-9b^2$（和差形式），右边是两个整式$(a+3b)$、$(a-3b)$的乘积，符合因式分解特征，属于因式分解；
(2) 左边是整式$3y$与$(x+2y)$的乘积，右边是多项式$3xy+6y^2$（和差形式），符合整式乘法特征，属于整式乘法；
(3) 左边是$(3a-1)^2$，即两个$(3a-1)$的乘积（积的形式），右边是多项式$9a^2-6a+1$（和差形式），符合整式乘法特征，属于整式乘法；
(4) 左边是多项式$4y^2+12y+9$（和差形式），右边是$(2y+3)^2$，即两个整式$(2y+3)$的乘积，符合因式分解特征，属于因式分解；
(5) 右边含有分式$\frac{1}{x}$，不满足因式分解的整式要求，既不是整式乘法也不是因式分解；
(6) 右边最终为和的形式，不是纯乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解。
综上可得结论。
【答案】
(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解。
【知识点】
因式分解的判定，整式乘法的判定，因式分解与整式乘法的关系
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题核心是准确把握两种整式变形的形式特征，牢记“整式乘法积化和差，因式分解和差化积”的规律，同时注意因式分解的结果要求，掌握概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确整式乘法和因式分解的核心判定特征：1. 整式乘法是“积化和差”，即等号左边是几个整式相乘的积的形式，右边是多项式（和/差）的形式；2. 因式分解是“和差化积”，即等号左边是多项式（和/差）的形式，右边是几个整式相乘的积的形式，且因式分解要求结果必须全为整式、最终为纯乘积形式。接下来逐个对照6个式子的左右两边形式，就能完成判断。
【解析】
首先明确判定标准：
① 整式乘法：变形前为整式的积，变形后为多项式（和/差形式），即“积化和差”；
② 因式分解：变形前为多项式（和/差形式），变形后为几个整式的积，即“和差化积”，且结果均为整式、最终为纯乘积形式。
逐个分析各式：
(1) 左边是多项式$a^2-9b^2$（和差形式），右边是两个整式$(a+3b)$、$(a-3b)$的乘积，符合因式分解特征，属于因式分解；
(2) 左边是整式$3y$与$(x+2y)$的乘积，右边是多项式$3xy+6y^2$（和差形式），符合整式乘法特征，属于整式乘法；
(3) 左边是$(3a-1)^2$，即两个$(3a-1)$的乘积（积的形式），右边是多项式$9a^2-6a+1$（和差形式），符合整式乘法特征，属于整式乘法；
(4) 左边是多项式$4y^2+12y+9$（和差形式），右边是$(2y+3)^2$，即两个整式$(2y+3)$的乘积，符合因式分解特征，属于因式分解；
(5) 右边含有分式$\frac{1}{x}$，不满足因式分解的整式要求，既不是整式乘法也不是因式分解；
(6) 右边最终为和的形式，不是纯乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解。
综上可得结论。
【答案】
(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解。
【知识点】
因式分解的判定，整式乘法的判定，因式分解与整式乘法的关系
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题核心是准确把握两种整式变形的形式特征，牢记“整式乘法积化和差，因式分解和差化积”的规律，同时注意因式分解的结果要求，掌握概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
