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3. 现有甲、乙两家水果店经销同一包装、品质完全相同的猕猴桃，销售价格如下表：
某客户计划在甲、乙两家水果店中任意选择一家购买猕猴桃.
(1)请分别写出该客户在甲、乙水果店购买猕猴桃的总费用 $ y $（元）与 $ x $（箱）之间的关系式.
(2)若该客户计划用500元购买猕猴桃，则该客户应选择在哪一家购买，可使购买的猕猴桃更多？
某客户计划在甲、乙两家水果店中任意选择一家购买猕猴桃.
(1)请分别写出该客户在甲、乙水果店购买猕猴桃的总费用 $ y $（元）与 $ x $（箱）之间的关系式.
(2)若该客户计划用500元购买猕猴桃，则该客户应选择在哪一家购买，可使购买的猕猴桃更多？
答案
3.(1)甲水果店:不超过 10 箱,即当 $0≤ x≤ 10$ 时,$y=30x$;超过 10 箱,即当 $x＞10$ 时,$y=30×10+25(x-10)=25x+50$,
$\therefore y=\begin{cases}30x(0≤ x≤ 10),\\25x+50(x＞10).\end{cases}$ 乙水果店:$\because$ 销售价格为 26 元/箱,
$\therefore y=26x$. (2)当在甲水果店购买时,$\because 30×10=300$(元),$500＞300$,$\therefore$ 购买的水果超过了 10 箱. 令 $y=500$,则 $25x+50=500$,解得 $x=18$,$\therefore$ 用 500 元在甲水果店最多购买 18 箱猕猴桃;当在乙水果店购买时,令 $y=500$,则 $26x=500$,解得 $x=19\dfrac{3}{13}$.$\therefore$ 用 500 元在乙水果店最多购买 19 箱猕猴桃. $\because 19＞18$,$\therefore$ 该客户应选择在乙水果店购买,可使购买的猕猴桃更多.
$\therefore y=\begin{cases}30x(0≤ x≤ 10),\\25x+50(x＞10).\end{cases}$ 乙水果店:$\because$ 销售价格为 26 元/箱,
$\therefore y=26x$. (2)当在甲水果店购买时,$\because 30×10=300$(元),$500＞300$,$\therefore$ 购买的水果超过了 10 箱. 令 $y=500$,则 $25x+50=500$,解得 $x=18$,$\therefore$ 用 500 元在甲水果店最多购买 18 箱猕猴桃;当在乙水果店购买时,令 $y=500$,则 $26x=500$,解得 $x=19\dfrac{3}{13}$.$\therefore$ 用 500 元在乙水果店最多购买 19 箱猕猴桃. $\because 19＞18$,$\therefore$ 该客户应选择在乙水果店购买,可使购买的猕猴桃更多.
解析
【分析】
(1) 对于甲店，收费规则是分段计价：当购买箱数不超过10箱时，单价为30元/箱，总费用直接用单价乘数量计算；当购买箱数超过10箱时，前10箱按30元/箱收费，超出10箱的部分按25元/箱收费，分两段即可写出总费用y与x的函数关系式。对于乙店，单价统一为26元/箱，总费用直接为单价乘数量，直接写出关系式即可。
(2) 要判断500元在哪家购买的猕猴桃更多，首先计算在甲店购买10箱的费用，判断500元对应的甲店计费区间，再将y=500分别代入两家店的函数关系式，求解对应的x值，注意箱数为正整数，需向下取整，最后比较两个x的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 甲水果店：
当$0≤ x≤10$时，单价为30元/箱，因此$y=30x$；
当$x＞10$时，前10箱费用为$30×10=300$元，超出10箱的部分费用为$25(x-10)$元，因此总费用$y=30×10+25(x-10)=25x+50$。
综上，甲店的费用关系式为$y=\begin{cases}30x&(0≤ x≤ 10)\\25x+50&(x＞10)\end{cases}$。
乙水果店：单价统一为26元/箱，因此总费用$y=26x$。
(2) 若在甲水果店购买：
首先计算购买10箱的费用为$30×10=300$元，$500＞300$，因此购买箱数超过10箱，代入$x＞10$时的解析式，令$y=500$，得：
$25x+50=500$
解得$x=18$，即500元在甲店最多可买18箱。
若在乙水果店购买：
令$y=500$，得$26x=500$，解得$x=19\dfrac{3}{13}$，箱数为整数，因此最多可买19箱。
因为$19＞18$，所以选择乙水果店购买能得到更多猕猴桃。
【答案】
(1) 甲：$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤ 10)\\25x+50(x＞10)\end{cases}$；乙：$y=26x$
(2) 选择在乙水果店购买，可使购买的猕猴桃更多。
【知识点】
分段函数，一次函数应用，方案最优选择
【点评】
本题结合生活中的购物优惠场景命题，重点考查分段函数的列式与实际应用，解题时需先明确不同区间的计费规则，代入数值前要先判断对应区间，同时实际问题的结果要符合现实意义，如本题的箱数需要取正整数。
【难度系数】
0.7
(1) 对于甲店，收费规则是分段计价：当购买箱数不超过10箱时，单价为30元/箱，总费用直接用单价乘数量计算；当购买箱数超过10箱时，前10箱按30元/箱收费，超出10箱的部分按25元/箱收费，分两段即可写出总费用y与x的函数关系式。对于乙店，单价统一为26元/箱，总费用直接为单价乘数量，直接写出关系式即可。
(2) 要判断500元在哪家购买的猕猴桃更多，首先计算在甲店购买10箱的费用，判断500元对应的甲店计费区间，再将y=500分别代入两家店的函数关系式，求解对应的x值，注意箱数为正整数，需向下取整，最后比较两个x的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 甲水果店：
当$0≤ x≤10$时，单价为30元/箱，因此$y=30x$；
当$x＞10$时，前10箱费用为$30×10=300$元，超出10箱的部分费用为$25(x-10)$元，因此总费用$y=30×10+25(x-10)=25x+50$。
综上，甲店的费用关系式为$y=\begin{cases}30x&(0≤ x≤ 10)\\25x+50&(x＞10)\end{cases}$。
乙水果店：单价统一为26元/箱，因此总费用$y=26x$。
(2) 若在甲水果店购买：
首先计算购买10箱的费用为$30×10=300$元，$500＞300$，因此购买箱数超过10箱，代入$x＞10$时的解析式，令$y=500$，得：
$25x+50=500$
解得$x=18$，即500元在甲店最多可买18箱。
若在乙水果店购买：
令$y=500$，得$26x=500$，解得$x=19\dfrac{3}{13}$，箱数为整数，因此最多可买19箱。
因为$19＞18$，所以选择乙水果店购买能得到更多猕猴桃。
【答案】
(1) 甲：$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤ 10)\\25x+50(x＞10)\end{cases}$；乙：$y=26x$
(2) 选择在乙水果店购买，可使购买的猕猴桃更多。
【知识点】
分段函数，一次函数应用，方案最优选择
【点评】
本题结合生活中的购物优惠场景命题，重点考查分段函数的列式与实际应用，解题时需先明确不同区间的计费规则，代入数值前要先判断对应区间，同时实际问题的结果要符合现实意义，如本题的箱数需要取正整数。
【难度系数】
0.7
4. 北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表:(以户为单位)
根据表中所给的数据回答以下问题:
(1)设某户这个冬季用气量为$x\ \mathrm{m}^3(1\ 500＜ x≤2\ 500)$，缴纳燃气费用为$y$元，求$y$与$x$之间的关系式.
(2)某户用气量为$2\ 000\ \mathrm{m}^3$，求此户需缴纳的燃气费用.
(3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为5 895元，求该户用了多少立方米的燃气.
根据表中所给的数据回答以下问题:
(1)设某户这个冬季用气量为$x\ \mathrm{m}^3(1\ 500＜ x≤2\ 500)$，缴纳燃气费用为$y$元，求$y$与$x$之间的关系式.
(2)某户用气量为$2\ 000\ \mathrm{m}^3$，求此户需缴纳的燃气费用.
(3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为5 895元，求该户用了多少立方米的燃气.
答案
4.(1)当 $1\ 500＜x≤ 2\ 500$ 时,$y=1\ 500×2.67+3.15×(x-1\ 500)=3.15x-720$. (2)当 $x=2\ 000$ 时,$y=3.15×2\ 000-720=5\ 580$. $\therefore$ 此户需缴纳的燃气费用为 5 580 元. (3)设该户用$x\ \mathrm{m}^3$的燃气. 当用气量为 $1\ 500\ \mathrm{m}^3$ 时,费用为 $1\ 500×2.67=4\ 005$(元)$＜5\ 895$元,当用气量为 $2\ 500\ \mathrm{m}^3$ 时,费用为 $3.15×2\ 500-720=7\ 155$(元)$＞5\ 895$元. $\therefore$ 该用户燃气用量属于第二阶梯. $\therefore 3.15x-720=5\ 895$,解得 $x=2\ 100$. $\therefore$ 该户用了$2\ 100\ \mathrm{m}^3$的燃气.
解析
【分析】
第(1)问：已知用气量$x$在$1500＜x≤2500$区间，属于第二阶梯收费，费用由两部分组成：第一阶梯$1500\mathrm{m}^3$的费用，加上超出$1500\mathrm{m}^3$部分按第二阶梯单价计算的费用，将两部分费用求和后化简即可得到$y$与$x$的关系式。
第(2)问：$2000\mathrm{m}^3$刚好在$1500＜x≤2500$区间内，直接将$x=2000$代入第(1)问求出的关系式计算即可得到应缴费用。
第(3)问：已知总费用求用气量，首先要判断费用对应的阶梯：先分别计算用气量为$1500\mathrm{m}^3$、$2500\mathrm{m}^3$时的总费用，对比给出的5895元确定所属阶梯，再代入对应阶梯的费用关系式列方程求解即可。
【解析】
(1) 当$1500＜x≤2500$时，费用为第一阶梯总费用加超出第一阶梯部分的费用：
$\begin{aligned}y&=1500×2.67 + 3.15×(x-1500)\\&=4005 + 3.15x - 4725\\&=3.15x -720\end{aligned}$
(2) 当$x=2000$时，代入$y=3.15x-720$得：
$y=3.15×2000 -720=5580$
即此户需缴纳燃气费用5580元。
(3) 首先判断费用所属阶梯：
当用气量为$1500\mathrm{m}^3$时，费用为$1500×2.67=4005$元，$4005＜5895$；
当用气量为$2500\mathrm{m}^3$时，代入(1)的关系式得$y=3.15×2500 -720=7155$元，$7155＞5895$；
因此该用户用气量属于第二阶梯，令$y=5895$，列方程：
$3.15x -720=5895$
解得$x=2100$
即该户用了$2100\mathrm{m}^3$的燃气。
【答案】
(1) $y=3.15x-720\ (1500＜x≤2500)$
(2) 5580元
(3) $2100\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段计费问题，一次函数应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的阶梯燃气收费场景，考查对分段计费规则的理解，解题时需要先明确用量所属的收费区间，再根据对应规则列式计算或列方程求解，注意先判断区间再计算，避免直接用单一单价计算出错。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知用气量$x$在$1500＜x≤2500$区间，属于第二阶梯收费，费用由两部分组成：第一阶梯$1500\mathrm{m}^3$的费用，加上超出$1500\mathrm{m}^3$部分按第二阶梯单价计算的费用，将两部分费用求和后化简即可得到$y$与$x$的关系式。
第(2)问：$2000\mathrm{m}^3$刚好在$1500＜x≤2500$区间内，直接将$x=2000$代入第(1)问求出的关系式计算即可得到应缴费用。
第(3)问：已知总费用求用气量，首先要判断费用对应的阶梯：先分别计算用气量为$1500\mathrm{m}^3$、$2500\mathrm{m}^3$时的总费用，对比给出的5895元确定所属阶梯，再代入对应阶梯的费用关系式列方程求解即可。
【解析】
(1) 当$1500＜x≤2500$时，费用为第一阶梯总费用加超出第一阶梯部分的费用：
$\begin{aligned}y&=1500×2.67 + 3.15×(x-1500)\\&=4005 + 3.15x - 4725\\&=3.15x -720\end{aligned}$
(2) 当$x=2000$时，代入$y=3.15x-720$得：
$y=3.15×2000 -720=5580$
即此户需缴纳燃气费用5580元。
(3) 首先判断费用所属阶梯：
当用气量为$1500\mathrm{m}^3$时，费用为$1500×2.67=4005$元，$4005＜5895$；
当用气量为$2500\mathrm{m}^3$时，代入(1)的关系式得$y=3.15×2500 -720=7155$元，$7155＞5895$；
因此该用户用气量属于第二阶梯，令$y=5895$，列方程：
$3.15x -720=5895$
解得$x=2100$
即该户用了$2100\mathrm{m}^3$的燃气。
【答案】
(1) $y=3.15x-720\ (1500＜x≤2500)$
(2) 5580元
(3) $2100\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段计费问题，一次函数应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的阶梯燃气收费场景，考查对分段计费规则的理解，解题时需要先明确用量所属的收费区间，再根据对应规则列式计算或列方程求解，注意先判断区间再计算，避免直接用单一单价计算出错。
【难度系数】
0.7
