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6. 若a的算术平方根是$\sqrt{115}$，b的立方根是5，比较a与b的大小关系。
答案
a 是 115,b 是 125,$a＜b$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确算术平方根和立方根的定义：①若一个非负数的算术平方根为$y$，则这个数等于$y$的平方；②若一个数的立方根为$y$，则这个数等于$y$的立方。我们可以先依据两个定义分别计算出$a$、$b$的具体数值，再直接比较两个正整数的大小即可得到结论。
【解析】
解：根据算术平方根的定义计算$a$的值：
∵$a$的算术平方根是$\sqrt{115}$
∴$a=(\sqrt{115})^2=115$
根据立方根的定义计算$b$的值：
∵$b$的立方根是5
∴$b=5^3=5×5×5=125$
比较大小：
∵$115＜125$
∴$a＜b$
【答案】
$a=115$，$b=125$，$a＜b$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对算术平方根、立方根概念的理解和应用，只要熟练掌握相关定义的运算规则，就能快速求出$a$、$b$的值完成比较，计算难度低。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需明确算术平方根和立方根的定义：①若一个非负数的算术平方根为$y$，则这个数等于$y$的平方；②若一个数的立方根为$y$，则这个数等于$y$的立方。我们可以先依据两个定义分别计算出$a$、$b$的具体数值，再直接比较两个正整数的大小即可得到结论。
【解析】
解：根据算术平方根的定义计算$a$的值：
∵$a$的算术平方根是$\sqrt{115}$
∴$a=(\sqrt{115})^2=115$
根据立方根的定义计算$b$的值：
∵$b$的立方根是5
∴$b=5^3=5×5×5=125$
比较大小：
∵$115＜125$
∴$a＜b$
【答案】
$a=115$，$b=125$，$a＜b$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对算术平方根、立方根概念的理解和应用，只要熟练掌握相关定义的运算规则，就能快速求出$a$、$b$的值完成比较，计算难度低。
【难度系数】
0.9
7. 现有如下三个数：$\sqrt{5}$，2，-2，请用这三个数列一个算式，要求包含两种不同的运算，并且计算结果是有理数。
答案
$\sqrt{5}×[2+(-2)]=0;(\sqrt{5})^2+(-2)=3;(\sqrt{5})^2-(-2)=7;[2+(-2)]÷\sqrt{5}=0$ 等。
解析
【分析】
解题时首先观察三个数的特点：$\sqrt{5}$是无理数，2和-2互为相反数。要得到有理数结果，有两个核心思考方向：一是利用2和-2相加得0的特点，再用0和$\sqrt{5}$做乘除运算，0乘除任何非0数结果都是0（有理数），可以抵消无理数的影响；二是先对$\sqrt{5}$做平方运算，$(\sqrt{5})^2=5$是有理数，再和2、-2做加减运算得到有理数。构造算式时注意要包含两种不同运算，且用到题干给出的三个数即可。
【解析】
示例1：构造0消去无理数：
列算式$\sqrt{5}×[2+(-2)]$，先算括号内的加法：$2+(-2)=0$，再算乘法：$\sqrt{5}×0=0$，0是有理数，包含加法、乘法两种不同运算，符合要求。
示例2：将无理数转化为有理数：
列算式$(\sqrt{5})^2+(-2)$，先算乘方：$(\sqrt{5})^2=5$，再算加法：$5+(-2)=3$，3是有理数，包含乘方、加法两种不同运算，符合要求。
除此之外$(\sqrt{5})^2-(-2)=7$、$[2+(-2)]÷\sqrt{5}=0$等也都满足要求。
【答案】
$\sqrt{5}×[2+(-2)]=0;(\sqrt{5})^2+(-2)=3;(\sqrt{5})^2-(-2)=7;[2+(-2)]÷\sqrt{5}=0$ 等
【知识点】
实数的运算，有理数的概念，二次根式的性质
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，核心考查实数运算规则的掌握和对无理数运算特性的理解，能有效锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察三个数的特点：$\sqrt{5}$是无理数，2和-2互为相反数。要得到有理数结果，有两个核心思考方向：一是利用2和-2相加得0的特点，再用0和$\sqrt{5}$做乘除运算，0乘除任何非0数结果都是0（有理数），可以抵消无理数的影响；二是先对$\sqrt{5}$做平方运算，$(\sqrt{5})^2=5$是有理数，再和2、-2做加减运算得到有理数。构造算式时注意要包含两种不同运算，且用到题干给出的三个数即可。
【解析】
示例1：构造0消去无理数：
列算式$\sqrt{5}×[2+(-2)]$，先算括号内的加法：$2+(-2)=0$，再算乘法：$\sqrt{5}×0=0$，0是有理数，包含加法、乘法两种不同运算，符合要求。
示例2：将无理数转化为有理数：
列算式$(\sqrt{5})^2+(-2)$，先算乘方：$(\sqrt{5})^2=5$，再算加法：$5+(-2)=3$，3是有理数，包含乘方、加法两种不同运算，符合要求。
除此之外$(\sqrt{5})^2-(-2)=7$、$[2+(-2)]÷\sqrt{5}=0$等也都满足要求。
【答案】
$\sqrt{5}×[2+(-2)]=0;(\sqrt{5})^2+(-2)=3;(\sqrt{5})^2-(-2)=7;[2+(-2)]÷\sqrt{5}=0$ 等
【知识点】
实数的运算，有理数的概念，二次根式的性质
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，核心考查实数运算规则的掌握和对无理数运算特性的理解，能有效锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
8. 一条长为18 cm，宽为1.5 cm的长方形纸带可以裁剪出多少张面积为2 cm²的正方形纸片？要得到30张面积为2 cm²的正方形纸片，需要多少条这样的长方形纸带？
答案
$18÷\sqrt{2}≈12.7$,去尾法得可以裁剪 12 张面积为 2 cm² 的正方形纸片;$30÷12=2.5$,进一法得需 3 条长方形纸带。
解析
【分析】
解题时首先要明确：裁剪正方形不能拼接，所以不能直接用长方形纸带的面积除以正方形的面积计算数量，要先结合正方形的面积求出边长，再判断纸带的宽是否能容纳正方形，再沿长度方向计算可裁剪的数量，注意裁剪问题中剩余材料不够做1个时要用去尾法取整；求需要多少条纸带时，剩余不足1条的部分也需要1条完整的纸带，要用进一法取整。
第一步：先根据正方形面积公式，求出面积为2cm²的正方形的边长；
第二步：对比正方形边长和纸带的宽度，确定宽度方向可摆放的正方形排数；
第三步：用长方形的长除以正方形边长，用去尾法取整得到单条纸带可裁剪的正方形数量；
第四步：用需要的总张数除以单条可裁的数量，用进一法取整得到需要的纸带条数。
【解析】
1. 求面积为2cm²的正方形的边长：
设正方形的边长为$ a \, \mathrm{cm} $，由正方形面积公式$ S=a^2 $可得$ a^2=2 $，因为边长为正数，所以$ a=\sqrt{2}\approx1.414 \, \mathrm{cm} $。
2. 判断宽度方向摆放数量：
因为$ \sqrt{2}\approx1.414 ＜ 1.5 $，所以纸带的宽度刚好可以摆放1排正方形。
3. 计算单条纸带可裁剪数量：
长度方向可摆放的数量为$ 18÷\sqrt{2}\approx12.7 $，由于不足1个的部分无法裁剪出完整正方形，采用去尾法取整，得1条纸带可裁剪12张正方形纸片。
4. 计算需要的纸带条数：
要得到30张正方形，$ 30÷12=2.5 $，2条纸带仅能裁剪出$ 12×2=24 $张，无法满足需求，因此采用进一法取整，得需要3条纸带。
【答案】
$18÷\sqrt{2}≈12.7$,去尾法得可以裁剪 12 张面积为 2 cm² 的正方形纸片;$30÷12=2.5$,进一法得需 3 条长方形纸带。
【知识点】
平方根的应用；实数的运算；近似数的实际应用
【点评】
本题是实数运算结合生活场景的应用类题目，解题时要避开直接用大面积除以小面积的错误思路，需结合边长判断可裁剪的实际数量，同时要根据具体场景正确选择去尾法、进一法取近似值，不能盲目使用四舍五入法。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：裁剪正方形不能拼接，所以不能直接用长方形纸带的面积除以正方形的面积计算数量，要先结合正方形的面积求出边长，再判断纸带的宽是否能容纳正方形，再沿长度方向计算可裁剪的数量，注意裁剪问题中剩余材料不够做1个时要用去尾法取整；求需要多少条纸带时，剩余不足1条的部分也需要1条完整的纸带，要用进一法取整。
第一步：先根据正方形面积公式，求出面积为2cm²的正方形的边长；
第二步：对比正方形边长和纸带的宽度，确定宽度方向可摆放的正方形排数；
第三步：用长方形的长除以正方形边长，用去尾法取整得到单条纸带可裁剪的正方形数量；
第四步：用需要的总张数除以单条可裁的数量，用进一法取整得到需要的纸带条数。
【解析】
1. 求面积为2cm²的正方形的边长：
设正方形的边长为$ a \, \mathrm{cm} $，由正方形面积公式$ S=a^2 $可得$ a^2=2 $，因为边长为正数，所以$ a=\sqrt{2}\approx1.414 \, \mathrm{cm} $。
2. 判断宽度方向摆放数量：
因为$ \sqrt{2}\approx1.414 ＜ 1.5 $，所以纸带的宽度刚好可以摆放1排正方形。
3. 计算单条纸带可裁剪数量：
长度方向可摆放的数量为$ 18÷\sqrt{2}\approx12.7 $，由于不足1个的部分无法裁剪出完整正方形，采用去尾法取整，得1条纸带可裁剪12张正方形纸片。
4. 计算需要的纸带条数：
要得到30张正方形，$ 30÷12=2.5 $，2条纸带仅能裁剪出$ 12×2=24 $张，无法满足需求，因此采用进一法取整，得需要3条纸带。
【答案】
$18÷\sqrt{2}≈12.7$,去尾法得可以裁剪 12 张面积为 2 cm² 的正方形纸片;$30÷12=2.5$,进一法得需 3 条长方形纸带。
【知识点】
平方根的应用；实数的运算；近似数的实际应用
【点评】
本题是实数运算结合生活场景的应用类题目，解题时要避开直接用大面积除以小面积的错误思路，需结合边长判断可裁剪的实际数量，同时要根据具体场景正确选择去尾法、进一法取近似值，不能盲目使用四舍五入法。
【难度系数】
0.6
9. 如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为4和3，求阴影部分的面积（结果精确到0.01）。
（第9题）
（第9题）答案
$2×\sqrt{3}-3≈0.46$
解析
【分析】
解题时先根据正方形面积与边长的关系，求出两个正方形的边长：面积为4的正方形边长是$\sqrt{4}=2$，面积为3的正方形边长是$\sqrt{3}$。再观察图形可得，整个大长方形的长是两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长，我们可以用“大长方形的面积减去两个正方形的面积和”来计算阴影部分的面积，最后代入$\sqrt{3}$的近似值求出精确到0.01的结果即可。
【解析】
解：
∵两个相邻正方形的面积分别为4和3，
∴两个正方形的边长分别为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{3}$。
观察图形可知，外围大长方形的长为$2+\sqrt{3}$，宽为2，
则大长方形的面积为：$2×(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}$。
阴影部分的面积 = 大长方形面积 - 两个正方形的面积和，即：
$S_{\mathrm{阴影}}=(4+2\sqrt{3})-(3+4)=2\sqrt{3}-3$。
代入$\sqrt{3}\approx1.732$计算得：
$2\sqrt{3}-3\approx2×1.732-3=3.464-3=0.464\approx0.46$。
【答案】
$2×\sqrt{3}-3\approx0.46$
【知识点】
1. 正方形面积公式
2. 算术平方根的应用
3. 实数的混合运算
【点评】
本题考查了算术平方根在几何图形面积计算中的应用，解题关键是准确求出正方形的边长，灵活运用割补法计算不规则图形的面积，计算近似值时要注意符合题目要求的精确度。
【难度系数】
0.7
解题时先根据正方形面积与边长的关系，求出两个正方形的边长：面积为4的正方形边长是$\sqrt{4}=2$，面积为3的正方形边长是$\sqrt{3}$。再观察图形可得，整个大长方形的长是两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长，我们可以用“大长方形的面积减去两个正方形的面积和”来计算阴影部分的面积，最后代入$\sqrt{3}$的近似值求出精确到0.01的结果即可。
【解析】
解：
∵两个相邻正方形的面积分别为4和3，
∴两个正方形的边长分别为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{3}$。
观察图形可知，外围大长方形的长为$2+\sqrt{3}$，宽为2，
则大长方形的面积为：$2×(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}$。
阴影部分的面积 = 大长方形面积 - 两个正方形的面积和，即：
$S_{\mathrm{阴影}}=(4+2\sqrt{3})-(3+4)=2\sqrt{3}-3$。
代入$\sqrt{3}\approx1.732$计算得：
$2\sqrt{3}-3\approx2×1.732-3=3.464-3=0.464\approx0.46$。
【答案】
$2×\sqrt{3}-3\approx0.46$
【知识点】
1. 正方形面积公式
2. 算术平方根的应用
3. 实数的混合运算
【点评】
本题考查了算术平方根在几何图形面积计算中的应用，解题关键是准确求出正方形的边长，灵活运用割补法计算不规则图形的面积，计算近似值时要注意符合题目要求的精确度。
【难度系数】
0.7
