7.如图，$AB=AC$，$DB=DC$，$E$是$AD$延长线上一点，求证$BE=CE$.

7.连接$BC$.
$\because AB=AC,DB=DC,$
$\therefore$点$A$在线段$BC$的垂直平分线上,$D$在线段$BC$的垂直平分线上，
即$AD$是线段$BC$的垂直平分线.
$\because$点$E$在直线$AD$上,$\therefore BE=CE.$

【分析】
要证明BE=CE，可考虑利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。观察已知条件，AB=AC说明点A到B、C的距离相等，DB=DC说明点D到B、C的距离相等，根据线段垂直平分线的判定定理，这两个点都在线段BC的垂直平分线上。由于两点确定一条直线，因此直线AD就是BC的垂直平分线，而点E在AD的延长线上，自然满足BE=CE。解题时先连接辅助线BC，再依次运用判定定理和性质定理即可得证。
【解析】
证明：连接BC.
$\because AB=AC,DB=DC,$
$\therefore$点$A$在线段$BC$的垂直平分线上，$D$在线段$BC$的垂直平分线上，
即$AD$是线段$BC$的垂直平分线。
$\because$点$E$在直线$AD$上，
$\therefore BE=CE$。
【答案】
$BE=CE$
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线相关性质的基础应用题，通过构造辅助线BC，结合垂直平分线的判定快速得到AD是BC的垂直平分线，即可推出结论，避免了多次证明三角形全等的繁琐步骤，需注意区分垂直平分线的判定定理和性质定理的使用场景。
【难度系数】
0.7

8.如图,在$△ ABC$中,边$AB$的垂直平分线$OM$与边$AC$的垂直平分线$ON$交于点$O$,这两条垂直平分线分别交$BC$于点$D$,$E$,连接$AD$,$AE$.已知$△ ADE$的周长为$13\ \mathrm{cm}$.
(1)求线段$BC$的长.
(2)已知$∠ B=20°,∠ C=40°$,则$∠ DAE$的度数为.
(3)分别连接$OA$,$OB$,$OC$,若$△ OBC$的周长为$27\ \mathrm{cm}$,求$OA$的长度.

8.(1)$\because DM$为$AB$的垂直平分线,$\therefore BD=AD.$
$\because EN$为$AC$的垂直平分线,$\therefore AE=EC.$
$\because △ ADE$的周长$=AD+AE+DE=13\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=BD+CE+DE=AD+AE+DE=13\ \mathrm{cm}.$
(2)$\because ∠ B=20°,∠ C=40°,\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=120°.$
$\because AD=BD,AE=CE,\therefore ∠ BAD=∠ B,∠ CAE=∠ C.$
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD-∠ CAE=120°-20°-40°=60°.$
(3)由题意可知,$OB=OA=OC$，
$\because △ OBC$的周长为$27\ \mathrm{cm},\therefore OB+OC+BC=27(\mathrm{cm}),$
即$2OA=27-BC=27-13=14(\mathrm{cm}).$
$\therefore OA=7(\mathrm{cm}).$

【分析】
(1) 解题思路：遇到线段垂直平分线，首先回忆其核心性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。由此可得BD=AD、AE=EC，观察BC的组成为BD+DE+EC，将BD、EC替换为相等的AD、AE，可发现BC的长度与△ADE的周长相等，代入已知数值即可求解。
(2) 解题思路：先利用三角形内角和为180°求出∠BAC的度数，再根据等边对等角的性质，由AD=BD得∠BAD=∠B，由AE=CE得∠CAE=∠C，用∠BAC减去∠BAD和∠CAE的度数，即可求出∠DAE的度数。
(3) 解题思路：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC，结合△OBC的周长=OB+OC+BC，代入已知周长和第一问求出的BC长度，即可计算得到OA的长。
【解析】
(1)
∵ DM为AB的垂直平分线，点D在DM上，
∴ $BD=AD$。
∵ EN为AC的垂直平分线，点E在EN上，
∴ $AE=EC$。
∵ $△ ADE$的周长$=AD+AE+DE=13\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=BD+CE+DE=AD+AE+DE=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-20°-40°=120°$。
由(1)知$AD=BD$，$AE=CE$，
∴ $∠ BAD=∠ B=20°$，$∠ CAE=∠ C=40°$，
∴ $∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD-∠ CAE=120°-20°-40°=60°$。
(3)
∵ OM是AB的垂直平分线，点O在OM上，
∴ $OA=OB$。
∵ ON是AC的垂直平分线，点O在ON上，
∴ $OA=OC$，即$OA=OB=OC$。
∵ $△ OBC$的周长为$27\ \mathrm{cm}$，
∴ $OB+OC+BC=27\ \mathrm{cm}$，
将$OB=OA$、$OC=OA$、$BC=13\ \mathrm{cm}$代入得：$2OA+13=27$，
解得$2OA=14$，
∴ $OA=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$13\ \mathrm{cm}$；(2)$60°$；(3)$7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形性质
【点评】
本题围绕线段垂直平分线的性质展开考查，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段和角度的等量转换，是轴对称章节的典型基础题，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7

9.如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC$的平分线$AD$与边$BC$的垂直平分线$DE$交于点$D$，$DG⊥ AB$，$DH⊥ AC$，$G$，$H$为垂足。
(1)求证$BG＝CH$。
(2)线段$AB$，$AC$与$BG$之间有何数量关系？证明你的结论。

9.(1)提示:连接$BD,CD$,证明$△ BDG≌△ CDH(\mathrm{HL}).$
(2)$AB-AC=2BG$.提示:证明$AG=AH$,结合第(1)问可得.

【分析】
(1) 要证明BG=CH，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先连接BD、CD，根据角平分线的性质可得DG=DH，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，即可利用“HL”证明Rt△BDG≌Rt△CDH，从而得到BG=CH。
(2) 探究AB、AC、BG的数量关系，先利用“HL”证明Rt△AGD≌Rt△AHD得到AG=AH，再将AG、AH分别用AB、AC、BG、CH表示，结合(1)中BG=CH的结论进行代换整理即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：连接BD、CD。
∵ AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴ DG=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠BGD=∠CHD=90°。
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在Rt△BDG和Rt△CDH中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DG=DH\end{array} $
∴ Rt△BDG≌Rt△CDH（HL），
∴ BG=CH。
(2) 数量关系：$AB-AC=2BG$，证明如下：
在Rt△AGD和Rt△AHD中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DG=DH\end{array} $
∴ Rt△AGD≌Rt△AHD（HL），
∴ AG=AH。
∵ AG=AB-BG，AH=AC+CH，且由(1)知BG=CH，
∴ AB-BG=AC+BG，
移项整理得：$AB-AC=2BG$。
【答案】
(1) $BG=CH$，证明成立；
(2) $AB-AC=2BG$，证明成立。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，灵活运用角平分线、垂直平分线的性质得到边相等的条件，再结合全等三角形的性质和线段和差关系推导结论。
【难度系数】
0.7