8 [2026 海安期中]我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式各项按某个字母的指数从大到小的顺序排列，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例: 如图, 计算$(8x^{2}+6x+1)÷(2x+1)$, 可依照$672÷21$的计算方法用竖式进行计算. 因此$(8x^{2}+$$6x+1)÷(2x+1)=4x+1.$

(1) 计算:$(2x^{2}+3x-9)÷(x+3)=$；
(2) 计算$(3x^{2}+10x+4)÷(x-2)$, 商式为, 余式为；
(3) 已知 M 是一个整式, m, n 是常数,$x≠-1$,$M(x+1)=x^{2}+mx+n$, 则$m-n$的值是.

8. (1) $2x-3$ 【解析】竖式计算如图①所示.
(2) $3x+16$ 36 【解析】竖式计算如图②所示.
(3) 1 【解析】设 $M=ax+b$($a,b$ 为常数),则 $M(x+1)=(ax+b)(x+1)=ax^{2}+(a+b)x+b=x^{2}+mx+n.$ 比较系数,得 $a=1,a+b=m,b=n,\therefore m=1+b,n=b$,则 $m-n=(1+b)-b=1.$

【分析】
本题考查多项式除以多项式的运算，可类比整数竖式除法进行计算，核心步骤为：将被除式、除式按某一字母的降幂排列，缺项补零；用被除式的最高次项除以除式的最高次项得商的对应项，再用该项乘除式，与被除式对应部分相减，重复操作直到余式次数低于除式次数。第(3)问需用待定系数法设整式M的形式，展开后比较系数求解。
【解析】
(1) 计算$(2x^2 + 3x - 9)÷(x + 3)$，竖式计算如下：
被除式$2x^2 + 3x -9$，除式$x+3$，
① 最高次项相除：$2x^2 ÷ x = 2x$，商的第一项为$2x$；
② 乘除式相减：$2x(x+3)=2x^2 +6x$，被除式减去该式得：$(2x^2+3x-9)-(2x^2+6x)= -3x -9$；
③ 继续计算：$-3x ÷x = -3$，商的第二项为$-3$；
④ 相减余0：$-3(x+3)= -3x -9$，$-3x -9 - (-3x -9)=0$，
故商为$2x -3$。
(2) 计算$(3x^2 +10x +4)÷(x-2)$，竖式计算如下：
被除式$3x^2 +10x +4$，除式$x-2$，
① 最高次项相除：$3x^2 ÷x=3x$，商的第一项为$3x$；
② 乘除式相减：$3x(x-2)=3x^2 -6x$，被除式减去该式得：$(3x^2+10x+4)-(3x^2-6x)=16x +4$；
③ 继续计算：$16x ÷x=16$，商的第二项为16；
④ 相减得余式：$16(x-2)=16x -32$，$16x+4 - (16x-32)=36$，余式次数低于除式，
故商式为$3x+16$，余式为$36$。
(3) 设$M=ax + b$（$a,b$为常数），展开得：
$M(x+1)=(ax+b)(x+1)=ax^2 + (a+b)x + b$，
已知$M(x+1)=x^2 + mx +n$，比较对应项系数：
$a=1$，$a+b=m$，$b=n$，
因此$m=1 + b$，$n=b$，则$m-n=(1+b)-b=1$。
【答案】
(1) $2x-3$；(2) $3x+16$，$36$；(3) $1$

【知识点】
多项式除以多项式、整式乘法、待定系数法
【点评】
本题通过类比整数除法的竖式运算，考查多项式除以多项式的计算方法，结合待定系数法求解整式系数，体现了类比的数学思想，是整式运算的综合应用，需掌握竖式计算步骤和系数比较的方法。
【难度系数】
0.5

9 如图,从边长为$(a+1)\mathrm{cm}(a＞1)$的正方形纸片中剪去一个边长为$(a-1)\mathrm{cm}$的正方形,剩余部分沿虚线剪开,拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则该长方形的面积为 （）

A.$2\ \mathrm{cm}^{2}$
B.$2a\ \mathrm{cm}^{2}$
C.$4a\ \mathrm{cm}^{2}$
D.$(a^{2}-1)\mathrm{cm}^{2}$

9. C

【分析】
要计算拼接后长方形的面积，利用“图形拼接前后面积不变”的性质，只需计算原图形（大正方形减去小正方形）的面积即可，无需考虑拼接后的形状，这样能简化计算过程。
【解析】
原大正方形的边长为$(a+1)\mathrm{cm}$，其面积为$(a+1)^2\ \mathrm{cm}^2$；剪去的小正方形边长为$(a-1)\mathrm{cm}$，其面积为$(a-1)^2\ \mathrm{cm}^2$。
根据面积不变，拼成的长方形面积等于大正方形面积减去小正方形面积，计算得：
$\begin{aligned}(a+1)^2 - (a-1)^2&=(a^2 + 2a +1) - (a^2 -2a +1)\\&=a^2 +2a +1 -a^2 +2a -1\\&=4a\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
所以该长方形面积为$4a\ \mathrm{cm}^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算，整式的加减运算，平方差公式
【点评】
本题核心是利用图形拼接的面积不变性，结合整式运算求解，难度适中，考查学生对图形面积与整式运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

10 先化简,再求值:$(2x+1)(2x-1)-(2x-3)^{2}$,其中$x=-\dfrac{1}{6}.$

10. 原式$=4x^{2}-1-4x^{2}+12x-9=12x-10.$ 当$x=-\dfrac{1}{6}$时,原式$=12×(-\dfrac{1}{6})-10=-2-10=-12$

【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用平方差公式展开$(2x+1)(2x-1)$，再利用完全平方公式展开$(2x-3)^2$，接着去括号、合并同类项得到最简整式，最后将$x=-\frac{1}{6}$代入最简式计算结果。
【解析】
原式$=(2x)^2 - 1^2 - [(2x)^2 - 2×2x×3 + 3^2]$
$=4x^2 -1 - (4x^2 -12x +9)$
$=4x^2 -1 -4x^2 +12x -9$
$=12x -10$
当$x=-\frac{1}{6}$时，
原式$=12×(-\frac{1}{6}) -10$
$=-2 -10$
$=-12$
【答案】
$-12$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式化简求值
【点评】
本题属于基础整式运算题型，核心是正确运用乘法公式展开整式，合并同类项时需注意符号变化，代入数值计算时要准确处理负号，整体难度适中，是整式运算的常规考查形式。
【难度系数】
0.6

11 用平方差公式计算$(x+y+a-b)(x-y+a+b)$时,第一步正确的是（）

A.$(x+b)^2-(y-a)^2$
B.$(x-y)^2-(a-b)^2$
C.$(x+a)^2-(y-b)^2$
D.$(x-b)^2-(y+a)^2$

11. C

【分析】
这道题考查平方差公式的应用，解题关键是明确平方差公式的结构：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，需将原式的两个因式变形为“相同项+相反项”和“相同项-相反项”的形式，通过分组匹配公式结构即可。
【解析】
平方差公式为：$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$，应用时需把两个因式整理为“相同项与相反项的和”和“相同项与相反项的差”的形式。
原式为：$(x+y+a-b)(x-y+a+b)$
对两个因式分别分组：
第一个因式整理为：$(x+a)+(y-b)$
第二个因式整理为：$(x+a)-(y-b)$
此时完全符合平方差公式的结构，第一步变形为$(x+a)^2-(y-b)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的基础应用，核心是准确识别两个因式中的相同项与相反项，分组后直接套用公式即可，属于公式结构的巩固类基础题。
【难度系数】
0.6

12 若$(x^{2}-x+m)(x-8)$展开后的式子中不含$x$的一次项，则$m$的值为（）

A.8
B.$-8$
C.0
D.8或$-8$

12. B

【分析】要解决本题，需先利用多项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项找到x的一次项系数；由于展开式不含x的一次项，说明该一次项的系数为0，据此列出关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】解：先将$(x^2 - x + m)(x - 8)$展开并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x^2 - x + m)(x - 8)\\=&x^3 - 8x^2 - x^2 + 8x + mx - 8m\\=&x^3 - 9x^2 + (8 + m)x - 8m\end{aligned}$
因为展开后的式子不含x的一次项，所以x的一次项系数为0，即$8 + m = 0$，解得$m = -8$。
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式、合并同类项
【点评】本题考查多项式乘多项式的运算，核心是掌握多项式乘法法则，通过合并同类项确定目标项的系数，进而求解参数，属于整式运算的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5