1【观察思考】任意一个个位上的数字是5的自然数的平方可用代数式$(10n+5)^2$来表示(其中$n$为自然数).请你仔细观察下列各式,探索其规律,并归纳出一般结论.
第1个等式:$15^2=(1×2)×100+25$;第2个等式:$25^2=(2×3)×100+25$;第3个等式:$35^2=(3×4)×100+25$;第4个等式:$45^2=(4×5)×100+25$;$···$.
【解决问题】(1) 写出第5个等式:.
(2) 写出你猜想的第$n$个等式:(用含$n$的等式表示).
(3) 验证(2)中的猜想,并根据以上规律计算$2025^2$的值.
【拓展应用】(4) 对于两个十位数字相同、个位数字之和为10的两位数,我们来研究它们乘积的规律.
例如:$23×27=621$,积前面的数$6=2×(2+1)$,后面的数$21=3×7$;$54×56=3024$,积前面的数$30=5×(5+1)$,后面的数$24=4×6$.① 请再找一组满足条件的数试试;② 试证明你发现的规律.

1.(1) $55^2=(5×6)×100+25$
(2) $(10n+5)^2=100n(n+1)+25$
(3) $(10n+5)^2=100n^2+100n+25=100n(n+1)+25$
当$n=202$时,$2025^2=202×203×100+25=4100625$
(4) ① 答案不唯一,如$62×68=4216$,积前面的数$42=6×(6+1)=42$,积后面的数$16=2×8=16$
② 设十位数字为$a$,个位数字为$b$,则另一个个位数字为$10-b$,两个两位数分别为$10a+b$,$10a+(10-b)$.
$\therefore (10a+b)·[10a+(10-b)]=100a^2+100a-10ab+10ab+10b-b^2=100a(a+1)+b(10-b)$

【分析】
本题是规律探索类题目，需先观察题目给出的具体等式，归纳出一般规律，再通过代数运算验证规律，最后应用规律解决问题。首先分析个位为5的自然数平方的等式，找到n与等式的对应关系，推导第5个和第n个等式；再利用完全平方公式验证猜想，代入计算2025²；拓展部分观察十位相同、个位和为10的两位数乘积的例子，归纳规律后用整式乘法证明。
【解析】
(1) 观察前4个等式，第k个等式对应k5的平方，形式为$(k×(k+1))×100+25$，故第5个等式为$55^2=(5×6)×100+25$；
(2) 由上述规律，第n个等式为$(10n+5)^2=100n(n+1)+25$；
(3) 验证：左边$(10n+5)^2=100n^2+100n+25=100n(n+1)+25$，与右边相等，猜想成立；计算$2025^2$时，令$10n+5=2025$，得$n=202$，代入得$202×203×100+25=4100625$；
(4) ① 举例：$62×68=4216$，积前部分$42=6×(6+1)$，积后部分$16=2×8$，符合规律；② 设十位数字为$a$，两个数的个位分别为$b$和$10-b$，则两数为$10a+b$和$10a+(10-b)$，乘积展开：$(10a+b)[10a+(10-b)]=100a^2+100a-10ab+10ab+10b-b^2=100a(a+1)+b(10-b)$，规律得证。
【答案】
(1) $55^2=(5×6)×100+25$；
(2) $(10n+5)^2=100n(n+1)+25$；
(3) $2025^2=4100625$；
(4) ① 答案不唯一，如$62×68=4216$；② 证明见解析。
【知识点】
找规律、完全平方公式、整式的乘法运算
【点评】
本题从具体等式归纳一般结论，再通过代数运算验证，最后拓展到两位数乘积规律，考察学生的观察、归纳与代数推导能力，分层次设计，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6

2【问题背景】
在信息快速发展的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，因此设置一组便于记忆的密码很有必要. 某班的学生在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种利用因式分解生成的密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码. 例如：多项式$x^{3}-x$，将其分解因式为$x(x-1)(x+1)$. 若取$x=10$，则有$x-1=9$，$x+1=11$，其中9，10，11分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码091011.
【实际应用】
（1）根据上述方法，小明设置了某学习网站的登录密码. 他将多项式$x^{3}-xy^{2}$分解因式后利用$x$，$y$的数值设置密码. 当$x=9,y=3$时，小明设置的密码是多少？
（2）数学老师设置了一个密码：一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的正整数$x,y$，将多项式$x^{3}-4xy^{2}$分解因式后设置密码. 数学老师设置的密码是多少？

2.(1) $x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y)$. 当$x=9,y=3$时,$x-y=9-3=6$,$x+y=9+3=12$,$\therefore$ 小明设置的密码是060912
(2) $\because$ 一个等腰三角形的周长是12,其中腰长和底边长分别为不同的正整数$x,y$,$\therefore 2x+y=12$. $\because x,y$都为正整数,$\therefore x=5,y=2$(不合题意的已舍去). $x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x+2y)(x-2y)$. 当$x=5,y=2$时,$x+2y=5+2×2=9$,$x-2y=5-2×2=1$,$\therefore$ 数学老师设置的密码是010509

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：（1）先对多项式$x^3-xy^2$因式分解，再代入$x=9$、$y=3$求出各因式的值（即因式码），将因式码从小到大排列，不足两位的前面补0，即可得到密码；（2）先根据等腰三角形周长及边长条件确定腰长$x$和底边长$y$的正整数取值，再对多项式$x^3-4xy^2$因式分解，代入$x$、$y$的值求出因式码，排序补0后得到密码。
【解析】
（1）对多项式因式分解：$x^3-xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$。当$x=9$，$y=3$时，各因式的值为：$x=9$，$x - y=9 - 3=6$，$x + y=9 + 3=12$。将因式码从小到大排列为6、9、12，不足两位的前面补0，得到密码060912。
（2）等腰三角形周长为12，腰长为$x$，底边长为$y$，故$2x + y=12$，且$x$、$y$为不同正整数，同时满足三角形三边关系：$2x ＞ y$（两边之和大于第三边）。由$2x + y=12$得$y=12 - 2x$，代入三边关系得$2x ＞ 12 - 2x$，解得$x ＞ 3$；又$y=12 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 6$。$x$为正整数，故$x=4$或5。当$x=4$时，$y=12 - 8=4$，腰长与底边长相同，不符合“不同的正整数”，舍去；当$x=5$时，$y=12 - 10=2$，符合条件。对多项式因式分解：$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2)=x(x + 2y)(x - 2y)$。代入$x=5$，$y=2$，各因式的值为：$x=5$，$x + 2y=5 + 4=9$，$x - 2y=5 - 4=1$。将因式码从小到大排列为1、5、9，不足两位的前面补0，得到密码010509。
【答案】
（1）060912；（2）010509
【知识点】
因式分解（提公因式法、平方差公式），等腰三角形的性质
【点评】
本题结合新定义的密码生成规则，考查因式分解的应用与等腰三角形边长的取值判断，需要学生准确理解规则、熟练运用因式分解公式，同时注意三角形边长的限制条件，整体难度适中，侧重知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6