1 下列各式，能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A.$m^{2}-m-1$
B.$-4m+m^{2}+4$
C.$1-4m-m^{2}$
D.$m^{2}-4m-4$

1. B

【分析】
要判断哪个式子能用完全平方公式因式分解，需先明确完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即多项式需满足：①是三项式；②有两项为平方项且符号相同；③第三项是这两项底数乘积的2倍（符号可正可负）。解题时先整理各选项，再逐一验证是否符合上述结构。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：$m^2 - m -1$，末项为$-1$，与首项$m^2$（平方项）符号不同，不符合完全平方公式结构，排除；
选项B：$-4m + m^2 +4$，整理为$m^2 -4m +4$，首项$m^2=(m)^2$，末项$4=2^2$，中间项$-4m=-2× m×2$，符合完全平方公式，可分解为$(m-2)^2$，符合要求；
选项C：$1 -4m -m^2$，整理为$-m^2 -4m +1$，首项$-m^2$不是正的平方项，不符合结构，排除；
选项D：$m^2 -4m -4$，末项$-4$不是正的平方项，不符合结构，排除。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解-完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式因式分解的应用，核心是牢记公式的结构特征，需注意整理多项式后再判断，避免因符号或项的形式误判。
【难度系数】
0.6

2 [2026 崇川段测]若$x^{2}+8x+k$是一个完全平方式,则$k$的值为（）

A.$-8$
B.$8$
C.$-16$
D.$16$

2. D

【分析】
要解决本题，需先明确完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。题目中$x^2+8x+k$为完全平方式，我们可通过对比完全平方式的结构，依次确定二次项对应的$a$、中间项对应的$2ab$，进而求出$b$，最终得到常数项$k$的值。
【解析】
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，已知$x^2+8x+k$是完全平方式：
1. 二次项$x^2$对应公式中的$a^2$，因此$a=x$；
2. 中间项$8x$对应公式中的$2ab$，代入$a=x$得：$2· x· b=8x$，解得$b=4$；
3. 常数项$k$对应公式中的$b^2$，因此$k=4^2=16$。
综上，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式，完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方式的应用，核心是掌握完全平方公式的结构，通过对应关系求解，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8

3 已知正方形的面积是$y^{2}-8y+16(y＞4)$，利用因式分解，可得该正方形的边长是.

3. $y-4$

【分析】
正方形的面积等于边长的平方，因此需对给定的面积多项式进行因式分解。观察多项式$y^2 -8y +16$，其符合完全平方公式的结构，利用完全平方公式因式分解后，结合$y＞4$的条件，即可确定边长的结果。
【解析】
因为正方形的面积 = 边长²，所以对面积$y^2 -8y +16$进行因式分解：
根据完全平方公式$a^2 -2ab +b^2=(a-b)^2$，其中$a=y$，$b=4$，可得：
$y^2 -8y +16=(y-4)^2$
又因为$y＞4$，边长为正数，因此该正方形的边长为$y-4$。
【答案】
$y-4$
【知识点】
因式分解（完全平方公式）、正方形面积公式
【点评】
本题结合正方形面积公式考查完全平方公式的因式分解应用，属于基础题型，熟练掌握完全平方公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4 分解因式：(1) $[2025$ 甘肃 $]x^{2}-6x+9=$ ；
(2) $[2025$ 如东期末 $]4x^{2}-4x+1=$ .

4. (1) $(x-3)^2$ (2) $(2x-1)^2$

【分析】
分解因式时，先观察式子结构，判断是否符合完全平方公式的形式：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，需确认式子是否为两个数的平方和，且中间项为这两个数乘积的2倍（符号对应公式中的±）。
(1) 式子$x^2 -6x +9$中，$x^2=(x)^2$，$9=3^2$，中间项$-6x=-2× x×3$，符合完全平方差公式；
(2) 式子$4x^2 -4x +1$中，$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，中间项$-4x=-2×2x×1$，符合完全平方差公式。
【解析】
(1) 对$x^2 -6x +9$，根据完全平方差公式$a^2 -2ab +b^2=(a -b)^2$，取$a=x$，$b=3$，可得：
$x^2 -6x +9=(x -3)^2$；
(2) 对$4x^2 -4x +1$，根据完全平方差公式，取$a=2x$，$b=1$，可得：
$4x^2 -4x +1=(2x -1)^2$。
【答案】
(1) $(x-3)^2$；(2) $(2x-1)^2$
【知识点】
因式分解-完全平方公式
【点评】
本题为基础因式分解题，直接考查完全平方公式的应用，需准确识别式子结构特征，熟练运用公式分解，是初中代数核心基础知识点。
【难度系数】
0.8

5 已知 $a=5-3b$，则式子 $a^{2}+6ab+9b^{2}$ 的值为.

5. 25

【分析】首先观察所求式子$a^2 + 6ab + 9b^2$，可利用完全平方公式因式分解；再结合已知条件$a=5-3b$，变形得到$a+3b$的值，最后代入分解后的式子计算结果。
【解析】对式子$a^2 + 6ab + 9b^2$因式分解：
$a^2 + 6ab + 9b^2 = (a + 3b)^2$；
由已知$a = 5 - 3b$，移项得$a + 3b = 5$；
将$a + 3b = 5$代入$(a + 3b)^2$，得：$5^2 = 25$。
【答案】25
【知识点】完全平方公式，代数式求值
【点评】本题考查完全平方公式的应用，通过因式分解简化代数式，结合已知条件整体代入求值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

6 教材 P131 练习第 2 题变式 把下列各式分解因式：
(1) $m^{2}-12mn+36n^{2}$;
(2) $9a^{2}-6a+1$;
(3) $25x^{2}-10x+1$;
(4) $x(x+12)+36$.

6. (1) $(m-6n)^2$ (2) $(3a-1)^2$ (3) $(5x-1)^2$ (4) $(x+6)^2$

【分析】
本题考查因式分解，核心方法是完全平方公式。解题思路为：观察每个式子的结构，判断是否符合完全平方公式的形式（即是否存在两个平方项，且第三项为这两个平方项底数乘积的±2倍）；若式子不是标准形式（如第4题），需先整理为标准二次三项式，再套用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$进行分解。
【解析】
(1) 对于$m^2 -12mn +36n^2$，其中$m^2=m^2$，$36n^2=(6n)^2$，中间项$-12mn=-2· m·6n$，符合完全平方差公式，故：
$m^2 -12mn +36n^2=(m -6n)^2$；
(2) 对于$9a^2 -6a +1$，其中$9a^2=(3a)^2$，$1=1^2$，中间项$-6a=-2·3a·1$，符合完全平方差公式，故：
$9a^2 -6a +1=(3a -1)^2$；
(3) 对于$25x^2 -10x +1$，其中$25x^2=(5x)^2$，$1=1^2$，中间项$-10x=-2·5x·1$，符合完全平方差公式，故：
$25x^2 -10x +1=(5x -1)^2$；
(4) 先展开式子$x(x+12)+36=x^2 +12x +36$，其中$x^2=x^2$，$36=6^2$，中间项$12x=2· x·6$，符合完全平方和公式，故：
$x(x+12)+36=(x +6)^2$；
【答案】
(1)$(m-6n)^2$；(2)$(3a-1)^2$；(3)$(5x-1)^2$；(4)$(x+6)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，整式乘法
【点评】
本题是完全平方公式因式分解的基础应用，需熟练掌握完全平方公式的结构特征，注意第(4)题需先展开整理为标准二次三项式再套用公式，整体为教材练习的变式题，适合巩固因式分解的基础方法。
【难度系数】
0.8

7 有下列各式:① $10am - 15a$；② $4m^{2}-9$；③ $4m^{2}-12m+9$；④ $-4m^{2}-9$. 其中，含有因式$2m-3$的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

7. C

【分析】要判断各式是否含有因式$2m-3$，需对每个式子进行因式分解，再根据分解结果中是否存在因式$2m-3$来确定。
【解析】对各式逐一因式分解：
① $10am -15a = 5a(2m - 3)$，含有因式$2m - 3$；
② $4m^2 -9 = (2m -3)(2m +3)$，含有因式$2m -3$；
③ $4m^2 -12m +9 = (2m -3)^2$，含有因式$2m -3$；
④ $-4m^2 -9 = -(4m^2 +9)$，无法分解出因式$2m -3$；
综上，含有因式$2m -3$的式子有①②③，共3个，答案选C。
【答案】C
【知识点】因式分解、提公因式法、公式法
【点评】本题考查因式分解的基本应用，需熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式，通过分解因式即可快速判断，属于基础题型。
【难度系数】0.7

8 分解因式：$(m+n)^{2}-6(m+n)+9=$.

8. $(m+n-3)^2$

【分析】
观察原式结构，可将$(m+n)$看作一个整体，原式转化为关于该整体的二次三项式，符合完全平方公式的形式，因此可利用完全平方公式进行因式分解。
【解析】
把$(m+n)$当作一个整体，原式变形为：
$(m+n)^2 - 2 · (m+n) · 3 + 3^2$
根据完全平方差公式$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$（其中$a=m+n$，$b=3$），可得：
原式$=(m+n - 3)^2$
【答案】
$(m+n-3)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题是基础因式分解题，核心考查完全平方公式的应用，解题关键是运用整体思想简化式子，熟练掌握公式即可快速求解，属于需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

9 已知 $x+y=0.2,2x+4y=4.2$,则 $x^{2}+6xy+9y^{2}=$。

9. 16 【解析】$\because x+y=0.2$①,$2x+4y=4.2$②,$\therefore$ ②$-$①，得$x+3y=4. \therefore x^2+6xy+9y^2=(x+3y)^2=16.$

【分析】
要解决这个问题，首先观察所求代数式的结构，发现它符合完全平方公式的形式，可变形为$(x+3y)^2$，因此需要先求出$x+3y$的值。已知两个关于$x$、$y$的一次方程，通过加减消元法对两式作差，就能直接得到$x+3y$的值，再代入变形后的式子计算即可。
【解析】
已知$\begin{cases}x+y=0.2&①\\2x+4y=4.2&②\end{cases}$，用②式减去①式：
$(2x+4y)-(x+y)=4.2-0.2$，
化简得$x+3y=4$。
又因为$x^2+6xy+9y^2=(x+3y)^2$，将$x+3y=4$代入得：
原式$=4^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
二元一次方程组的解法、完全平方公式
【点评】
本题通过整体代入的思想，利用完全平方公式对所求代数式变形，结合二元一次方程组的加减消元法求出所需整体值，计算简便，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

10 把下列各式分解因式：
(1) $16a^{2}+40ab+25b^{2}$;
(2) $-4a^{2}+12ab-9b^{2}$;
(3) $(a+b)^{2}-14(a+b)+49$;
(4) $(a^{2}-4)^{2}+10(a^{2}-4)+25$.

10. (1) $(4a+5b)^2$ (2) $-(2a-3b)^2$ (3) $(a+b-7)^2$ (4) $(a^2+1)^2$

【分析】
这几道题是因式分解题，解题思路为：观察每个式子的结构特征，判断是否符合完全平方公式的形式；若式子有负号，先提取负号再变形；对于含有整体的式子，将整体看作一个“项”套用公式；最终分解需彻底，确保不能再继续分解。
【解析】
(1) 式子$16a^{2}+40ab+25b^{2}$中，$16a^2=(4a)^2$，$25b^2=(5b)^2$，中间项$40ab=2×4a×5b$，符合完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，因此分解为：
$16a^{2}+40ab+25b^{2}=(4a+5b)^2$；
(2) 式子$-4a^{2}+12ab-9b^{2}$，先提取负号得$-(4a^2-12ab+9b^2)$，其中$4a^2=(2a)^2$，$9b^2=(3b)^2$，中间项$12ab=2×2a×3b$，符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，因此分解为：
$-4a^{2}+12ab-9b^{2}=-(2a-3b)^2$；
(3) 式子$(a+b)^{2}-14(a+b)+49$，将$(a+b)$看作整体，$49=7^2$，中间项$-14(a+b)=-2×(a+b)×7$，符合完全平方差公式，因此分解为：
$(a+b)^{2}-14(a+b)+49=[(a+b)-7]^2=(a+b-7)^2$；
(4) 式子$(a^{2}-4)^{2}+10(a^{2}-4)+25$，将$(a^2-4)$看作整体，$25=5^2$，中间项$10(a^2-4)=2×(a^2-4)×5$，符合完全平方和公式，因此分解为：
$(a^{2}-4)^{2}+10(a^{2}-4)+25=[(a^2-4)+5]^2=(a^2+1)^2$；
【答案】
(1) $(4a+5b)^2$；(2) $-(2a-3b)^2$；(3) $(a+b-7)^2$；(4) $(a^2+1)^2$
【知识点】
因式分解（完全平方公式）、整体思想
【点评】
本题主要考查完全平方公式在因式分解中的应用，需学生熟练掌握公式结构，灵活运用整体思想处理复合项，注意符号的正确处理，分解结果需彻底，是初中因式分解的基础常考题型。
【难度系数】
0.6