登录
7 如图，$△ ABC$ 的外角的平分线 $CP$ 和内角的平分线 $BP$ 相交于点 $P$，若$∠ BPC=35^{\circ }$，则$∠ CAB$ 的度数为（
A.$45^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$70^{\circ }$
D.$65^{\circ }$
C
）A.$45^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$70^{\circ }$
D.$65^{\circ }$
答案
7. C
解析
【分析】
要解决本题，需结合角平分线的定义和三角形外角的性质推导角度关系：首先明确BP是△ABC的内角平分线，CP是△ABC的外角平分线；利用三角形外角的性质，分别在△BPC和△ABC中建立角度等式，再结合角平分线的定义，推导出∠CAB与∠BPC的数量关系，进而计算出∠CAB的度数。
【解析】
∵ BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACD，
∴ ∠PBC = ½∠ABC，∠PCD = ½∠ACD。
根据三角形外角的性质：
在△BPC中，∠PCD是外角，故∠PCD = ∠BPC + ∠PBC；
在△ABC中，∠ACD是外角，故∠ACD = ∠CAB + ∠ABC。
将上述关系代入∠PCD = ½∠ACD，得：
∠BPC + ∠PBC = ½(∠CAB + ∠ABC)，
把∠PBC=½∠ABC代入上式：
∠BPC + ½∠ABC = ½∠CAB + ½∠ABC，
两边同时减去½∠ABC，可得：
∠BPC = ½∠CAB，
∴ ∠CAB = 2∠BPC。
已知∠BPC=35°，则∠CAB=2×35°=70°。
【答案】
C
【知识点】
角平分线性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查角平分线的定义和三角形外角的性质，核心是推导得出∠CAB=2∠BPC的关键关系，属于基础几何角度计算题，需熟练掌握角度间的转化逻辑。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合角平分线的定义和三角形外角的性质推导角度关系：首先明确BP是△ABC的内角平分线，CP是△ABC的外角平分线；利用三角形外角的性质，分别在△BPC和△ABC中建立角度等式，再结合角平分线的定义，推导出∠CAB与∠BPC的数量关系，进而计算出∠CAB的度数。
【解析】
∵ BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACD，
∴ ∠PBC = ½∠ABC，∠PCD = ½∠ACD。
根据三角形外角的性质：
在△BPC中，∠PCD是外角，故∠PCD = ∠BPC + ∠PBC；
在△ABC中，∠ACD是外角，故∠ACD = ∠CAB + ∠ABC。
将上述关系代入∠PCD = ½∠ACD，得：
∠BPC + ∠PBC = ½(∠CAB + ∠ABC)，
把∠PBC=½∠ABC代入上式：
∠BPC + ½∠ABC = ½∠CAB + ½∠ABC，
两边同时减去½∠ABC，可得：
∠BPC = ½∠CAB，
∴ ∠CAB = 2∠BPC。
已知∠BPC=35°，则∠CAB=2×35°=70°。
【答案】
C
【知识点】
角平分线性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查角平分线的定义和三角形外角的性质，核心是推导得出∠CAB=2∠BPC的关键关系，属于基础几何角度计算题，需熟练掌握角度间的转化逻辑。
【难度系数】
0.6
8 如图,$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点$O$,$∠ ACF$的平分线所在直线与$∠ ABC$的平分线相交于点$D$,与$∠ MBC$的平分线相交于点$E$.有以下结论:① $∠ BOC=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$;② $∠ D=\dfrac{1}{2}∠ A$;③ $∠ E=∠ A$;④ $∠ E+∠ DCF=90°+∠ ABD$.其中,一定正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8. C 【解析】
∵ ∠ABC 的平分线 BD 与∠ACB 的平分线 CO 相交于点 O,
∴ ∠ABD = ∠OBC = $\frac{1}{2}$ ∠ABC,∠OCB = ∠OCA = $\frac{1}{2}$ ∠ACB.
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB).
∵ ∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-$\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2} ∠ A$. 故①正确,符合题意.
∵ CD 平分∠ACF,
∴ $∠ DCF=\frac{1}{2} ∠ ACF$.
∴ $∠ D=∠ DCF-∠ OBC=\frac{1}{2} ∠ ACF-\frac{1}{2} ∠ ABC=\frac{1}{2} ∠ A$. 故 ② 正确,符合题意.
∵ ∠MBC = ∠A + ∠ACB, ∠BCN = ∠A + ∠ABC,
∴ ∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.
∵ ∠ACF=∠BCN,
∴ CE 平分∠BCN. 又
∵ BE 平分∠MBC,
∴ $∠ EBC=\frac{1}{2} ∠ MBC$, $∠ BCE=\frac{1}{2} ∠ BCN$.
∴ $∠ EBC+∠ BCE=\frac{1}{2} ∠ MBC+\frac{1}{2} ∠ BCN=90°+\frac{1}{2} ∠ A$.
∵ ∠E+∠EBC+∠BCE=180°,
∴ ∠E=180°-(∠EBC+∠BCE)=$180°-(90°+\frac{1}{2} ∠ A)=90°-\frac{1}{2} ∠ A$.故③错误,不符合题意.
∵ ∠DCF=∠DBC+∠D,
∴ $∠ E+∠ DCF=90°-\frac{1}{2} ∠ A+∠ DBC+\frac{1}{2} ∠ A=90°+∠ DBC$.
∵ ∠ABD=∠DBC,
∴ ∠E+∠DCF=90°+∠ABD.故④正确,符合题意. 综上所述,一定正确的有 3 个.
∵ ∠ABC 的平分线 BD 与∠ACB 的平分线 CO 相交于点 O,
∴ ∠ABD = ∠OBC = $\frac{1}{2}$ ∠ABC,∠OCB = ∠OCA = $\frac{1}{2}$ ∠ACB.
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB).
∵ ∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-$\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2} ∠ A$. 故①正确,符合题意.
∵ CD 平分∠ACF,
∴ $∠ DCF=\frac{1}{2} ∠ ACF$.
∴ $∠ D=∠ DCF-∠ OBC=\frac{1}{2} ∠ ACF-\frac{1}{2} ∠ ABC=\frac{1}{2} ∠ A$. 故 ② 正确,符合题意.
∵ ∠MBC = ∠A + ∠ACB, ∠BCN = ∠A + ∠ABC,
∴ ∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.
∵ ∠ACF=∠BCN,
∴ CE 平分∠BCN. 又
∵ BE 平分∠MBC,
∴ $∠ EBC=\frac{1}{2} ∠ MBC$, $∠ BCE=\frac{1}{2} ∠ BCN$.
∴ $∠ EBC+∠ BCE=\frac{1}{2} ∠ MBC+\frac{1}{2} ∠ BCN=90°+\frac{1}{2} ∠ A$.
∵ ∠E+∠EBC+∠BCE=180°,
∴ ∠E=180°-(∠EBC+∠BCE)=$180°-(90°+\frac{1}{2} ∠ A)=90°-\frac{1}{2} ∠ A$.故③错误,不符合题意.
∵ ∠DCF=∠DBC+∠D,
∴ $∠ E+∠ DCF=90°-\frac{1}{2} ∠ A+∠ DBC+\frac{1}{2} ∠ A=90°+∠ DBC$.
∵ ∠ABD=∠DBC,
∴ ∠E+∠DCF=90°+∠ABD.故④正确,符合题意. 综上所述,一定正确的有 3 个.
解析
【分析】
本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义及三角形外角的性质，需逐个分析四个结论：利用角平分线将角平分，结合三角形内角和（180°）、外角等于不相邻两内角和的性质，推导每个结论是否成立，最终统计正确结论的数量。
【解析】
1. 分析结论①：
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)。
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
在△BOC中，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB)，
代入得：∠BOC = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A，故①正确。
2. 分析结论②：
∵ CD平分∠ACF，
∴ ∠DCF = $\frac{1}{2}$∠ACF。
又∠ACF是△ABC的外角，故∠ACF = ∠A + ∠ABC，
∴ ∠DCF = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC)。
在△DBC中，∠D = ∠DCF - ∠OBC（外角性质），
代入∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，得：
∠D = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC) - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$∠A，故②正确。
3. 分析结论③：
∵ BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∠MBC = 180° - ∠ABC，∠BCN = 180° - ∠ACB，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠MBC，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠BCN，
∴ ∠EBC + ∠ECB = $\frac{1}{2}$[(180° - ∠ABC) + (180° - ∠ACB)] = $\frac{1}{2}$[360° - (∠ABC + ∠ACB)]。
代入∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，得：
∠EBC + ∠ECB = $\frac{1}{2}$[360° - (180° - ∠A)] = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
在△EBC中，∠E = 180° - (∠EBC + ∠ECB) = 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A ≠ ∠A，故③错误。
4. 分析结论④：
由∠DCF = ∠DBC + ∠D（外角性质），结合∠D = $\frac{1}{2}$∠A，
得∠E + ∠DCF = (90° - $\frac{1}{2}$∠A) + (∠DBC + $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + ∠DBC。
又
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC，
故∠E + ∠DCF = 90° + ∠ABD，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查三角形核心几何性质，需熟练运用角平分线、内角和、外角性质推导，对学生几何逻辑推理能力有一定要求，是初中几何典型题型。
【难度系数】
0.5
本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义及三角形外角的性质，需逐个分析四个结论：利用角平分线将角平分，结合三角形内角和（180°）、外角等于不相邻两内角和的性质，推导每个结论是否成立，最终统计正确结论的数量。
【解析】
1. 分析结论①：
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)。
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
在△BOC中，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB)，
代入得：∠BOC = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A，故①正确。
2. 分析结论②：
∵ CD平分∠ACF，
∴ ∠DCF = $\frac{1}{2}$∠ACF。
又∠ACF是△ABC的外角，故∠ACF = ∠A + ∠ABC，
∴ ∠DCF = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC)。
在△DBC中，∠D = ∠DCF - ∠OBC（外角性质），
代入∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，得：
∠D = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC) - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$∠A，故②正确。
3. 分析结论③：
∵ BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∠MBC = 180° - ∠ABC，∠BCN = 180° - ∠ACB，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠MBC，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠BCN，
∴ ∠EBC + ∠ECB = $\frac{1}{2}$[(180° - ∠ABC) + (180° - ∠ACB)] = $\frac{1}{2}$[360° - (∠ABC + ∠ACB)]。
代入∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，得：
∠EBC + ∠ECB = $\frac{1}{2}$[360° - (180° - ∠A)] = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
在△EBC中，∠E = 180° - (∠EBC + ∠ECB) = 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A ≠ ∠A，故③错误。
4. 分析结论④：
由∠DCF = ∠DBC + ∠D（外角性质），结合∠D = $\frac{1}{2}$∠A，
得∠E + ∠DCF = (90° - $\frac{1}{2}$∠A) + (∠DBC + $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + ∠DBC。
又
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC，
故∠E + ∠DCF = 90° + ∠ABD，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查三角形核心几何性质，需熟练运用角平分线、内角和、外角性质推导，对学生几何逻辑推理能力有一定要求，是初中几何典型题型。
【难度系数】
0.5
9 分类讨论思想 在$△ ABC$中,若存在一个内角的度数是另外一个内角度数的$n$倍($n$为大于$1$的正整数),则称$△ ABC$为$n$倍角三角形.例如,在$△ ABC$中,$∠ A=80°$,$∠ B=60°$,$∠ C=40°$,则$∠ A=2∠ C$,所以$△ ABC$为$2$倍角三角形.如图,直线$MN ⊥$直线$PQ$于点$O$,点$A$,$B$分别在射线$OP$,$OM$上.已知$∠ BAO$,$∠ OAG$的平分线分别与$∠ BOQ$的平分线所在的直线交于点$E$,$F$.若$△ AEF$为$4$倍角三角形,求$∠ ABO$的度数.
答案
9.
∵ AE 平分∠BAO,AF 平分∠OAG,OE 平分∠BOQ,
∴ $∠ EAB=∠ EAO=\frac{1}{2} ∠ BAO$,$∠ OAF=∠ FAG=\frac{1}{2} ∠ OAG$,$∠ EOQ=\frac{1}{2} ∠ BOQ$.
∴ $∠ EAF=∠ EAO+∠ OAF=\frac{1}{2}(∠ BAO+∠ OAG)=90°$,$∠ ABO=∠ BOQ-∠ BAO=2∠ EOQ-2∠ EAO=2∠ E$.
∵ MN ⊥ PQ,
∴ ∠BOQ = 90°.
∴ ∠EOQ = 45°.
∵ ∠EOQ = ∠E + ∠EAO,
∴ ∠E = ∠EOQ - ∠EAO.
∴ ∠E＜45°.
∵ ∠FOA = ∠EOQ = 45°,∠FAO＜∠EAF=90°,
∴ 易得∠F＞45°.
∴ ∠F＞∠E.
∵ △AEF 为 4 倍角三角形,
∴ 有以下两种情况:① 当∠EAF=4∠E 时,$∠ E=\frac{1}{4} × 90°=22.5°$,
∴ ∠ABO=2∠E=45°;② 当∠F=4∠E 时,$∠ E=\frac{1}{5} × 90°=18°$,
∴ ∠ABO=2∠E=36°. 综上所述,∠ABO的度数为 45°或 36°
∵ AE 平分∠BAO,AF 平分∠OAG,OE 平分∠BOQ,
∴ $∠ EAB=∠ EAO=\frac{1}{2} ∠ BAO$,$∠ OAF=∠ FAG=\frac{1}{2} ∠ OAG$,$∠ EOQ=\frac{1}{2} ∠ BOQ$.
∴ $∠ EAF=∠ EAO+∠ OAF=\frac{1}{2}(∠ BAO+∠ OAG)=90°$,$∠ ABO=∠ BOQ-∠ BAO=2∠ EOQ-2∠ EAO=2∠ E$.
∵ MN ⊥ PQ,
∴ ∠BOQ = 90°.
∴ ∠EOQ = 45°.
∵ ∠EOQ = ∠E + ∠EAO,
∴ ∠E = ∠EOQ - ∠EAO.
∴ ∠E＜45°.
∵ ∠FOA = ∠EOQ = 45°,∠FAO＜∠EAF=90°,
∴ 易得∠F＞45°.
∴ ∠F＞∠E.
∵ △AEF 为 4 倍角三角形,
∴ 有以下两种情况:① 当∠EAF=4∠E 时,$∠ E=\frac{1}{4} × 90°=22.5°$,
∴ ∠ABO=2∠E=45°;② 当∠F=4∠E 时,$∠ E=\frac{1}{5} × 90°=18°$,
∴ ∠ABO=2∠E=36°. 综上所述,∠ABO的度数为 45°或 36°
解析
【分析】
首先根据角平分线的定义和平角性质求出∠EAF的度数；再利用直线垂直的条件得到∠BOQ=90°，结合角平分线求出∠EOQ=45°，通过三角形外角性质推导∠E与∠ABO的数量关系；最后依据“4倍角三角形”的定义，结合△AEF的内角特点，分两种情况讨论，计算出∠E的度数，进而求出∠ABO的度数。
【解析】
∵ AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴ ∠EAO = $\frac{1}{2}∠BAO$，∠OAF = $\frac{1}{2}∠OAG$，
∴ ∠EAF = ∠EAO + ∠OAF = $\frac{1}{2}(∠BAO + ∠OAG)$。
又
∵ ∠BAO + ∠OAG = 180°（平角定义），
∴ ∠EAF = $\frac{1}{2}×180° = 90°$。
∵ MN⊥PQ，
∴ ∠BOQ = 90°，
∵ OE平分∠BOQ，
∴ ∠EOQ = $\frac{1}{2}∠BOQ = 45°$。
在△AOE中，∠EOQ是外角，
∴ ∠EOQ = ∠E + ∠EAO，
∴ ∠E = ∠EOQ - ∠EAO = 45° - ∠EAO。
在△ABO中，∠AOB=90°，
∴ ∠ABO + ∠BAO = 90°，
而∠BAO = 2∠EAO，∠BOQ = ∠BAO + ∠ABO = 90°，
∴ ∠ABO = 90° - ∠BAO = 90° - 2∠EAO，
结合∠E = 45° - ∠EAO，可得∠ABO = 2∠E。
∵ △AEF为4倍角三角形，∠EAF=90°，且∠E + ∠F = 180° - 90° = 90°，∠F ＞ ∠E，分两种情况：
① 当∠EAF = 4∠E时，即90° = 4∠E，解得∠E = 22.5°，
∴ ∠ABO = 2×22.5° = 45°；
② 当∠F = 4∠E时，
∵ ∠E + ∠F = 90°，
∴ ∠E + 4∠E = 90°，解得∠E = 18°，
∴ ∠ABO = 2×18° = 36°。
综上，∠ABO的度数为45°或36°。
【答案】
45°或36°
【知识点】
角平分线性质、三角形外角定理、分类讨论思想
【点评】
本题结合角平分线、三角形内角与外角关系，利用分类讨论思想解决“4倍角三角形”问题，关键是推导∠ABO与∠E的数量关系，需结合三角形内角和分析角的大小，避免漏解。
【难度系数】
0.4
首先根据角平分线的定义和平角性质求出∠EAF的度数；再利用直线垂直的条件得到∠BOQ=90°，结合角平分线求出∠EOQ=45°，通过三角形外角性质推导∠E与∠ABO的数量关系；最后依据“4倍角三角形”的定义，结合△AEF的内角特点，分两种情况讨论，计算出∠E的度数，进而求出∠ABO的度数。
【解析】
∵ AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴ ∠EAO = $\frac{1}{2}∠BAO$，∠OAF = $\frac{1}{2}∠OAG$，
∴ ∠EAF = ∠EAO + ∠OAF = $\frac{1}{2}(∠BAO + ∠OAG)$。
又
∵ ∠BAO + ∠OAG = 180°（平角定义），
∴ ∠EAF = $\frac{1}{2}×180° = 90°$。
∵ MN⊥PQ，
∴ ∠BOQ = 90°，
∵ OE平分∠BOQ，
∴ ∠EOQ = $\frac{1}{2}∠BOQ = 45°$。
在△AOE中，∠EOQ是外角，
∴ ∠EOQ = ∠E + ∠EAO，
∴ ∠E = ∠EOQ - ∠EAO = 45° - ∠EAO。
在△ABO中，∠AOB=90°，
∴ ∠ABO + ∠BAO = 90°，
而∠BAO = 2∠EAO，∠BOQ = ∠BAO + ∠ABO = 90°，
∴ ∠ABO = 90° - ∠BAO = 90° - 2∠EAO，
结合∠E = 45° - ∠EAO，可得∠ABO = 2∠E。
∵ △AEF为4倍角三角形，∠EAF=90°，且∠E + ∠F = 180° - 90° = 90°，∠F ＞ ∠E，分两种情况：
① 当∠EAF = 4∠E时，即90° = 4∠E，解得∠E = 22.5°，
∴ ∠ABO = 2×22.5° = 45°；
② 当∠F = 4∠E时，
∵ ∠E + ∠F = 90°，
∴ ∠E + 4∠E = 90°，解得∠E = 18°，
∴ ∠ABO = 2×18° = 36°。
综上，∠ABO的度数为45°或36°。
【答案】
45°或36°
【知识点】
角平分线性质、三角形外角定理、分类讨论思想
【点评】
本题结合角平分线、三角形内角与外角关系，利用分类讨论思想解决“4倍角三角形”问题，关键是推导∠ABO与∠E的数量关系，需结合三角形内角和分析角的大小，避免漏解。
【难度系数】
0.4
10 如图,在$△ ABC$中,三个内角的平分线交于点$D$,其中$∠ CAB=n°,∠ CBA=m°$,延长$DB$至点$G$,$∠ FCB$与$∠ CBG$的平分线交于点$E$.若$BE// AC$,求$\dfrac{4}{7}n+\dfrac{3}{7}m$的值.
答案
10.
∵ BD 平分∠CBA,且∠CBA = m°,
∴ $∠ CBD=\frac{1}{2} ∠ CBA=\frac{1}{2} m°$.
∵ 延长 DB 至点 G,
∴ ∠CBD+∠CBG=180°.
∴ $∠ CBG=180°-∠ CBD=180°-\frac{1}{2} m°$.
∵ BE 平分∠CBG,
∴ $∠ CBE=\frac{1}{2} ∠ CBG=\frac{1}{2}(180°-\frac{1}{2} m°)=90°-\frac{1}{4} m°$.
∵ ∠FCB 是△ABC 的外角,且∠CAB = n°,∠CBA = m°,
∴ ∠FCB = ∠CBA + ∠CAB = m°+n°. 又
∵ BE//AC,
∴ ∠FCB+∠CBE=180°.
∴ $m°+n°+90°-\frac{1}{4} m°=180°$.
∴ $\frac{3}{4} m+n=90$.
∴ $\frac{4}{7} n+\frac{3}{7} m=\frac{4}{7}(n+\frac{3}{4} m)=\frac{4}{7} × 90=\frac{360}{7}$
∵ BD 平分∠CBA,且∠CBA = m°,
∴ $∠ CBD=\frac{1}{2} ∠ CBA=\frac{1}{2} m°$.
∵ 延长 DB 至点 G,
∴ ∠CBD+∠CBG=180°.
∴ $∠ CBG=180°-∠ CBD=180°-\frac{1}{2} m°$.
∵ BE 平分∠CBG,
∴ $∠ CBE=\frac{1}{2} ∠ CBG=\frac{1}{2}(180°-\frac{1}{2} m°)=90°-\frac{1}{4} m°$.
∵ ∠FCB 是△ABC 的外角,且∠CAB = n°,∠CBA = m°,
∴ ∠FCB = ∠CBA + ∠CAB = m°+n°. 又
∵ BE//AC,
∴ ∠FCB+∠CBE=180°.
∴ $m°+n°+90°-\frac{1}{4} m°=180°$.
∴ $\frac{3}{4} m+n=90$.
∴ $\frac{4}{7} n+\frac{3}{7} m=\frac{4}{7}(n+\frac{3}{4} m)=\frac{4}{7} × 90=\frac{360}{7}$
解析
【分析】
要解决本题，需结合角平分线的性质、平行线的性质及三角形外角的性质逐步推导：首先利用BD平分∠CBA求出∠CBD，再根据邻补角关系得到∠CBG，结合BE平分∠CBG求出∠CBE；接着利用三角形外角性质得到∠FCB=∠CAB+∠CBA，再由BE//AC得∠FCB与∠CBE互补，建立n和m的关系，最后代入代数式计算结果。
【解析】
∵ BD平分∠CBA，且∠CBA = m°，
∴ ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠CBA = $\frac{1}{2}m°$。
∵ 延长DB至点G，
∴ ∠CBD + ∠CBG = 180°，
∴ ∠CBG = 180° - ∠CBD = 180° - $\frac{1}{2}m°$。
∵ BE平分∠CBG，
∴ ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠CBG = $\frac{1}{2}(180° - \frac{1}{2}m°) = 90° - \frac{1}{4}m°$。
∵ ∠FCB是△ABC的外角，∠CAB = n°，∠CBA = m°，
∴ ∠FCB = ∠CAB + ∠CBA = n° + m°。
又
∵ BE//AC，
∴ ∠FCB + ∠CBE = 180°，
∴ $n° + m° + 90° - \frac{1}{4}m° = 180°$，
整理得：$n + \frac{3}{4}m = 90$。
∴ $\frac{4}{7}n + \frac{3}{7}m = \frac{4}{7}(n + \frac{3}{4}m) = \frac{4}{7}×90 = \frac{360}{7}$。
【答案】
$\frac{360}{7}$
【知识点】
角平分线性质，平行线性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查角平分线、平行线及三角形外角的相关性质，需熟练运用角的和差关系建立方程，进而求解代数式的值，是几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合角平分线的性质、平行线的性质及三角形外角的性质逐步推导：首先利用BD平分∠CBA求出∠CBD，再根据邻补角关系得到∠CBG，结合BE平分∠CBG求出∠CBE；接着利用三角形外角性质得到∠FCB=∠CAB+∠CBA，再由BE//AC得∠FCB与∠CBE互补，建立n和m的关系，最后代入代数式计算结果。
【解析】
∵ BD平分∠CBA，且∠CBA = m°，
∴ ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠CBA = $\frac{1}{2}m°$。
∵ 延长DB至点G，
∴ ∠CBD + ∠CBG = 180°，
∴ ∠CBG = 180° - ∠CBD = 180° - $\frac{1}{2}m°$。
∵ BE平分∠CBG，
∴ ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠CBG = $\frac{1}{2}(180° - \frac{1}{2}m°) = 90° - \frac{1}{4}m°$。
∵ ∠FCB是△ABC的外角，∠CAB = n°，∠CBA = m°，
∴ ∠FCB = ∠CAB + ∠CBA = n° + m°。
又
∵ BE//AC，
∴ ∠FCB + ∠CBE = 180°，
∴ $n° + m° + 90° - \frac{1}{4}m° = 180°$，
整理得：$n + \frac{3}{4}m = 90$。
∴ $\frac{4}{7}n + \frac{3}{7}m = \frac{4}{7}(n + \frac{3}{4}m) = \frac{4}{7}×90 = \frac{360}{7}$。
【答案】
$\frac{360}{7}$
【知识点】
角平分线性质，平行线性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查角平分线、平行线及三角形外角的相关性质，需熟练运用角的和差关系建立方程，进而求解代数式的值，是几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.5
