21. 如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，每个方格都是单元格，三角形ABC的顶点都在格点上。
(1)请直接写出点A，C两点的坐标：，；
(2)直接写出三角形ABC的面积为；
(3)若把三角形ABC向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到三角形A'B'C'，在图中画出三角形A'B'C'，这时点B'的坐标为。

(1) $\boldsymbol{A(-5,1)}$，$\boldsymbol{C(-1,1)}$；
(2) $\boldsymbol{6}$；
(3) $\boldsymbol{(-3,5)}$。

解：
(1) 观察格点可得点A的坐标为$(-5,1)$，点C的坐标为$(-1,1)$；
(2) 由图可知，$AC$的长度为$|-1 - (-5)|=4$，点B到边$AC$的竖直距离为$4-1=3$，
三角形$ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$；
(3) 点B原坐标为$(-4,4)$，向上平移1个单位长度，纵坐标加1，向右平移1个单位长度，横坐标加1，因此点$B'$的坐标为$(-3,5)$。
依次将点A、B、C按规则平移得到$A'(-4,2)$、$B'(-3,5)$、$C'(0,2)$，顺次连接三点即可得到三角形$A'B'C'$。

22. 如图，在四边形ABCD中，点E，F在直线CD上，连接FA，若∠2+∠3=180°，∠B=∠1.求证：∠4=∠F.
证明：∵点E在直线CD上（已知），
∴∠2+=180°（平角的定义）.
又∵∠2+∠3=180°（已知），
∴∠1=∠3（）.
又∵∠B=∠1（已知），
∴∠B=∠3（）.
∴AB//（）.
∴∠4=∠F（）.

证明:∵点 E 在直线 CD 上(已知),
∴∠2+$\boldsymbol{∠1}$=180°(平角的定义).
又∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠1=∠3(同角的补角相等).
又∵∠B=∠1(已知),
∴∠B=∠3(等量代换).
∴AB//$\boldsymbol{DF}$(内错角相等,两直线平行).
∴∠4=∠F(两直线平行,内错角相等).

23. 在平面直角坐标系中，对于点$P(x,y)$，若点$Q$坐标为$(ax+y,x+ay)$，其中$a$为常数，则称点$Q$是点$P$的“$a$级关联点”。
(1)已知点$A(-3,6)$的“$\frac{1}{3}$级关联点”是点$A'$，则点$A'$的坐标为；
(2)已知点$M(m-1,2m)$的“$-3$级关联点”为点$N$，点$N$位于$y$轴上，求点$N$的坐标；
(3)在(2)的条件下，若存在点$H$，使$HM// x$轴，且$HM=3$，求点$H$的坐标。

解：
(1) 由题意得$a=\frac{1}{3}$，$x=-3$，$y=6$，
横坐标：$\frac{1}{3}×(-3)+6=-1+6=5$，
纵坐标：$-3+\frac{1}{3}×6=-3+2=-1$，
所以点$A'$的坐标为$\boldsymbol{(5,-1)}$。
(2) 由题意得$a=-3$，点$N$的横坐标为$-3(m-1)+2m$，纵坐标为$(m-1)+(-3)·2m$。
∵点$N$位于$y$轴上，
∴点$N$的横坐标为0，即：
$-3(m-1)+2m=0$
$-3m+3+2m=0$
解得$m=3$。
将$m=3$代入纵坐标表达式：
$(3-1)+(-3)×2×3=2-18=-16$
∴点$N$的坐标为$(0,-16)$。
(3) 由(2)得$m=3$，则点$M$的坐标为$(3-1,2×3)$，即$M(2,6)$。
∵$HM// x$轴，
∴点$H$的纵坐标与点$M$的纵坐标相等，即点$H$的纵坐标为6。
又∵$HM=3$，
∴点$H$的横坐标为$2+3=5$或$2-3=-1$，
∴点$H$的坐标为$(5,6)$或$(-1,6)$。