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12. 一杆秤在称物体时的状态如图所示，已知$∠ 2=105°$，则$∠ 1=$。
答案
$\boldsymbol{75°}$
解析
解：由题意可知，图中两条竖直的吊线互相平行，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 2=105°$，代入得：
$∠ 1 = 180° - 105° = 75°$
最终
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 2=105°$，代入得：
$∠ 1 = 180° - 105° = 75°$
最终
13.如图，AB//CD，点E在CD上，BC平分∠ABE。若∠BED=70°，则∠ABC的大小为。
答案
$\boldsymbol{35°}$
解析
解：
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠BED = 70°，
∵ BC平分∠ABE，
∴ ∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}×70° = 35°$。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠BED = 70°，
∵ BC平分∠ABE，
∴ ∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}×70° = 35°$。
14.如图，AB//CD，EF交GF于点F，∠BEF=60°，则∠EFG+∠CGF=。
答案
$\boldsymbol{240°}$
解析
解：过点F作FM//AB，
∵ AB//CD，
∴ FM//CD，
∴ ∠BEF = ∠EFM = 60°，
∠CGF + ∠GFM = 180°，
∴ ∠EFG + ∠CGF = ∠EFM + ∠GFM + ∠CGF = 60° + 180° = 240°。
最终
∵ AB//CD，
∴ FM//CD，
∴ ∠BEF = ∠EFM = 60°，
∠CGF + ∠GFM = 180°，
∴ ∠EFG + ∠CGF = ∠EFM + ∠GFM + ∠CGF = 60° + 180° = 240°。
最终
15. 小红观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题.如图，已知AB//CD，∠BAE=87°，∠DCE=121°，则∠E的度数是.
答案
$\boldsymbol{28°}$
解析
解：过点E作EF//AB，
∵ AB//CD，
∴ EF//AB//CD，
∴ ∠BAE = ∠AEF = 87°，
∠DCE + ∠CEF = 180°，
∴ ∠CEF = 180° - 121° = 59°，
∴ ∠E = ∠AEF - ∠CEF = 87° - 59° = 28°。
∵ AB//CD，
∴ EF//AB//CD，
∴ ∠BAE = ∠AEF = 87°，
∠DCE + ∠CEF = 180°，
∴ ∠CEF = 180° - 121° = 59°，
∴ ∠E = ∠AEF - ∠CEF = 87° - 59° = 28°。
16.将一个宽度相等的长方形纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1=50°，则∠2=
答案
解：
∵ 长方形纸条的对边互相平行，
∴ 由平行线的内错角相等性质，得对应角等于∠1=50°，
由折叠的性质可知，折叠前后重合的角相等，
∴ 2∠2 = 180° + ∠1 = 180° + 50° = 230°，
∴ ∠2 = 115°。
∵ 长方形纸条的对边互相平行，
∴ 由平行线的内错角相等性质，得对应角等于∠1=50°，
由折叠的性质可知，折叠前后重合的角相等，
∴ 2∠2 = 180° + ∠1 = 180° + 50° = 230°，
∴ ∠2 = 115°。
17.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，$∠ CAD = ∠ AOB = 90°$，$∠ ACD = 60°$，$∠ ADC = 30°$，$∠ OAB = ∠ ABO = 45°$.若固定三角尺$AOB$，改变三角尺$ACD$的位置（其中点$A$的位置始终不变），当$∠ BAD$的度数为时，$CD // AB$.
答案
解：分两种情况讨论：
1. 当CD//AB，AD为截线时，
∵ CD//AB，
∴ ∠BAD = ∠ADC = 30°（内错角相等，两直线平行）。
2. 当CD//AB，AC为截线时，
∵ CD//AB，
∴ ∠BAC = ∠ACD = 60°（内错角相等，两直线平行），
又∵ ∠CAD = 90°，
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 60° + 90° = 150°。
综上，∠BAD的度数为$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$。
1. 当CD//AB，AD为截线时，
∵ CD//AB，
∴ ∠BAD = ∠ADC = 30°（内错角相等，两直线平行）。
2. 当CD//AB，AC为截线时，
∵ CD//AB，
∴ ∠BAC = ∠ACD = 60°（内错角相等，两直线平行），
又∵ ∠CAD = 90°，
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 60° + 90° = 150°。
综上，∠BAD的度数为$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$。
18.如图，$AB// CD$，点$F$，$G$分别在$AB$，$CD$上，点$E$在$AB$，$CD$之间，连接$EF$，$EG$，$FQ$平分$∠ BFE$，$GH$平分$∠ CGE$且交$FQ$的反向延长线于点$H$，交$AB$于点$P$，$∠ BFE=70°$，$∠ DGE=40°$.给出下面四个结论：
①$∠ DGH=110°$；②$EF// GH$；③$∠ HFE=∠ E$；④$∠ H=∠ AFH$.
上述结论中，正确结论有________（填序号）.
①$∠ DGH=110°$；②$EF// GH$；③$∠ HFE=∠ E$；④$∠ H=∠ AFH$.
上述结论中，正确结论有________（填序号）.
答案
①②④
解析
解：
1. 验证结论①：
已知∠DGE=40°，由平角定义得∠CGE=180°-∠DGE=140°。
因为GH平分∠CGE，所以∠CGH=$\frac{1}{2}$∠CGE=70°。
由平角定义得∠DGH=180°-∠CGH=110°，故①正确。
2. 验证结论②：
已知FQ平分∠BFE，∠BFE=70°，所以∠BFQ=$\frac{1}{2}$∠BFE=35°。
因为AB//CD，由内错角相等得∠APG=∠CGH=70°，所以∠FPG=180°-∠APG=110°。
可得∠BFE + ∠FPG=70°+110°=180°，同旁内角互补，故EF//GH，②正确。
3. 验证结论③：
过点E作EM//AB，由AB//CD得EM//CD，所以∠FEM=∠BFE=70°，∠MEG=∠DGE=40°，因此∠FEG=70°+40°=110°。
因为H、F、Q共线，∠EFQ=35°，所以∠HFE=180°-∠EFQ=145°，145°≠110°，故③错误。
4. 验证结论④：
在△HPF中，∠HPF=180°-∠APG=110°，∠HFP=∠AFH=∠BFQ=35°（对顶角相等），所以∠H=180°-110°-35°=35°，因此∠H=∠AFH，故④正确。
综上，正确结论为①②④。
1. 验证结论①：
已知∠DGE=40°，由平角定义得∠CGE=180°-∠DGE=140°。
因为GH平分∠CGE，所以∠CGH=$\frac{1}{2}$∠CGE=70°。
由平角定义得∠DGH=180°-∠CGH=110°，故①正确。
2. 验证结论②：
已知FQ平分∠BFE，∠BFE=70°，所以∠BFQ=$\frac{1}{2}$∠BFE=35°。
因为AB//CD，由内错角相等得∠APG=∠CGH=70°，所以∠FPG=180°-∠APG=110°。
可得∠BFE + ∠FPG=70°+110°=180°，同旁内角互补，故EF//GH，②正确。
3. 验证结论③：
过点E作EM//AB，由AB//CD得EM//CD，所以∠FEM=∠BFE=70°，∠MEG=∠DGE=40°，因此∠FEG=70°+40°=110°。
因为H、F、Q共线，∠EFQ=35°，所以∠HFE=180°-∠EFQ=145°，145°≠110°，故③错误。
4. 验证结论④：
在△HPF中，∠HPF=180°-∠APG=110°，∠HFP=∠AFH=∠BFQ=35°（对顶角相等），所以∠H=180°-110°-35°=35°，因此∠H=∠AFH，故④正确。
综上，正确结论为①②④。
