15. （★★★）探究：
(1) 一组数据 2,3,5,7,8的平均数是 5，方差是 5.2，如果再加入一个数据 5，那么这组新数据的平均数为_______，方差为_______.
(2) 一组数据 $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} $的平均数是 2，方差是3，如果再加入一个数据2，那么这组新数据的平均数为_______，方差为_______.
(3) 若 $ a_{1}, a_{2}, \dots , a_{2 0} $这20个数据的平均数是 $ \bar{x} $方差为0.20，则数据 $ a_{1}, a_{2}, \dots , a_{2 0}, \bar{x} $这 21个数据的平均数是多少？方差是多少？写出你的计算过程.
(4) 若 $ a_{1}, a_{2}, \dots , a_{n} $这 n个数据的平均数是 $ \overline{x} $方差为 $ s^{2} $则数据 $ a_{1}, a_{2}, \dots , a_{n}, \overline{x} $这（ n+ 1）个数据的平均数是多少？方差是多少？ （请直接写出答案）

15. (1)$5$ $\boldsymbol{\frac{13}{3}}$ (2)$2$ $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
(3)$\because$ $\frac{a_{1}+a_{2}+\dots +a_{20}}{20}=\bar{x}$,
$\therefore$ $a_{1}+a_{2}+\dots +a_{20}=20\bar{x}$.
$\therefore$ $\overline{x_{21}}=\frac{a_{1}+a_{2}+\dots +a_{20}+\bar{x}}{21}=\frac{20\bar{x}+\bar{x}}{21}=\bar{x}$.
$\because$ $\frac{(a_{1}-\bar{x})^{2}+(a_{2}-\bar{x})^{2}+\dots +(a_{20}-\bar{x})^{2}}{20}=0.20$,
$\therefore$ $(a_{1}-\bar{x})^{2}+(a_{2}-\bar{x})^{2}+\dots +(a_{20}-\bar{x})^{2}=4$.
$\therefore$ $s_{21}^{2}=\frac{(a_{1}-\bar{x})^{2}+(a_{2}-\bar{x})^{2}+\dots +(a_{20}-\bar{x})^{2}+(\bar{x}-\bar{x})^{2}}{21}=\frac{4+0}{21}=\frac{4}{21}$.
$\therefore$ 这21个数据的平均数为$\bar{x}$,方差为$\boldsymbol{\frac{4}{21}}$.
(4)平均数为$\bar{x}$,方差为$\boldsymbol{\frac{ns^{2}}{n+1}}$.