6. (★★)如图,已知$△ ABC$的周长是21,$OB$,$OC$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$,$OD⊥ BC$于点$D$,且$OD=4$,$△ ABC$的面积是。

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7. (★★)图①是一个平分角的仪器,其中$OD=OE,FD=FE$。

(1)如图②,将仪器放置在$△ ABC$上,使点$O$与顶点$A$重合,$D,E$分别在边$AB,AC$上,沿$AF$画一条射线$AP$,交$BC$于点$P$。$AP$是$∠ BAC$的平分线吗? 请判断并说明理由。
(2)如图③,在(1)的条件下,过点$P$作$PQ⊥ AB$于点$Q$,若$PQ=6,AC=9$,$△ ABC$的面积是60,求$AB$的长。

(1)$AP$是$∠BAC$的平分线。理由如下：
在$△ ADF$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AD=AE, \\ FD=FE, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore$ $△ ADF≌△ AEF(\mathrm{SSS})$。
$\therefore$ $∠DAF=∠EAF$。
$\therefore$ $AP$平分$∠BAC$。
(2)如图,过点$P$作$PG⊥AC$于点$G$。
$\because$ $AP$平分$∠BAC$,$PQ⊥AB$,
$\therefore$ $PG=PQ=6$。
$\because$ $S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ APC}=\dfrac{1}{2}AB· PQ+\dfrac{1}{2}AC· PG$,
$\therefore$ $\dfrac{1}{2}AB×6+\dfrac{1}{2}×9×6=60$。
$\therefore$ $AB=11$。

8. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线和$∠ ACB$的平分线相交于点$O$。
(1)若$∠ ABC=60°,∠ ACB=40°$,求$∠ BOC$的度数;
(2)若$∠ ABC=60°,OB=4$,且$△ ABC$的周长为16,求$△ ABC$的面积。

(1)$\because$ $BO,CO$分别平分$∠ABC$和$∠ACB$,$∠ABC=60°$,$∠ACB=40°$,
$\therefore$ $∠OBC=30°$,$∠OCB=20°$。
$\therefore$ $∠BOC=180°-(30°+20°)=130°$。
(2)如图,过点$O$作$OD⊥AB$于点$D$,$OE⊥AC$于点$E$,$OF⊥BC$于点$F$,连接$AO$。
$\because$ $∠ABC=60°$,$\therefore$ $∠OBD=30°$。
$\because$ $OB=4$,$\therefore$ $OD=\dfrac{1}{2}OB=2$。
$\because$ $∠ABC$的平分线和$∠ACB$的平分线相交于点$O$,
$\therefore$ $OE=OF=OD=2$。
$\therefore$ $S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\dfrac{1}{2}×2×AB+\dfrac{1}{2}×2×AC+\dfrac{1}{2}×2×BC$
$=AB+AC+BC$。
又$\because$ $△ ABC$的周长为16,
$\therefore$ $S_{△ ABC}=16$。