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1. 从五边形的一个顶点出发，可画出对角线的条数为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确多边形从一个顶点出发画对角线的规律：n边形共有n个顶点，从其中一个顶点出发时，不能和该顶点自身连接，也不能和与它相邻的两个顶点连接，因此可画出的对角线条数为总顶点数减去3，即(n-3)条。接下来确定五边形的顶点数n=5，代入规律计算即可得到结果。
【解析】
n边形从一个顶点出发可引出的对角线条数为(n-3)条，减去的3个分别是顶点自身、以及和该顶点相邻的2个顶点，这三个点都无法与该顶点连成对角线。
五边形的边数n=5，代入公式得：$5-3=2$（条），因此从五边形一个顶点出发可画出2条对角线。
也可以通过画图验证：假设五边形为ABCDE，从顶点A出发，相邻的顶点是B和E，剩余仅C、D两个顶点可连接成对角线，即AC、AD，共2条。
【答案】
A
【知识点】
多边形的对角线
【点评】
本题是多边形对角线的基础考查题，理解从一个顶点出发连对角线的限制条件，就能掌握对应的计算规律，做题时既可以用公式快速计算，也可以通过画图枚举验证结果。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确多边形从一个顶点出发画对角线的规律：n边形共有n个顶点，从其中一个顶点出发时，不能和该顶点自身连接，也不能和与它相邻的两个顶点连接，因此可画出的对角线条数为总顶点数减去3，即(n-3)条。接下来确定五边形的顶点数n=5，代入规律计算即可得到结果。
【解析】
n边形从一个顶点出发可引出的对角线条数为(n-3)条，减去的3个分别是顶点自身、以及和该顶点相邻的2个顶点，这三个点都无法与该顶点连成对角线。
五边形的边数n=5，代入公式得：$5-3=2$（条），因此从五边形一个顶点出发可画出2条对角线。
也可以通过画图验证：假设五边形为ABCDE，从顶点A出发，相邻的顶点是B和E，剩余仅C、D两个顶点可连接成对角线，即AC、AD，共2条。
【答案】
A
【知识点】
多边形的对角线
【点评】
本题是多边形对角线的基础考查题，理解从一个顶点出发连对角线的限制条件，就能掌握对应的计算规律，做题时既可以用公式快速计算，也可以通过画图枚举验证结果。
【难度系数】
0.9
2. 正八边形的一个内角的大小是 （
A.$45°$
B.$90°$
C.$135°$
D.$1080°$
C
）A.$45°$
B.$90°$
C.$135°$
D.$1080°$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确正多边形的核心特征：正多边形的所有内角大小都相等。我们可以用两种常见思路解题：思路1：先利用多边形内角和公式算出正八边形的内角总和，再除以边数8，就能得到单个内角的度数；思路2：任意多边形的外角和固定为360°，先算出正八边形的单个外角度数，再根据“内角+相邻外角=180°”推导内角度数，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：利用内角和公式计算
多边形内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（$n$为多边形的边数，$n≥3$且为整数）
正八边形的边数$n=8$，代入公式得内角和为：
$(8-2)×180°=6×180°=1080°$
正八边形8个内角大小相等，因此一个内角的度数为：
$1080°÷8=135°$
方法二：利用外角和计算
任意多边形的外角和均为$360°$，正八边形的8个外角大小相等，因此一个外角的度数为：
$360°÷8=45°$
多边形的内角与相邻外角互补（和为$180°$），因此一个内角的度数为：
$180°-45°=135°$
【答案】C
【知识点】多边形内角和计算；正多边形的性质；多边形外角和性质
【点评】本题属于基础考察题，两种解题思路都非常常用，解题时注意区分多边形内角总和与单个内角的度数，避免误选内角和对应的干扰选项。
【难度系数】0.8
要解决这道题，首先明确正多边形的核心特征：正多边形的所有内角大小都相等。我们可以用两种常见思路解题：思路1：先利用多边形内角和公式算出正八边形的内角总和，再除以边数8，就能得到单个内角的度数；思路2：任意多边形的外角和固定为360°，先算出正八边形的单个外角度数，再根据“内角+相邻外角=180°”推导内角度数，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：利用内角和公式计算
多边形内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（$n$为多边形的边数，$n≥3$且为整数）
正八边形的边数$n=8$，代入公式得内角和为：
$(8-2)×180°=6×180°=1080°$
正八边形8个内角大小相等，因此一个内角的度数为：
$1080°÷8=135°$
方法二：利用外角和计算
任意多边形的外角和均为$360°$，正八边形的8个外角大小相等，因此一个外角的度数为：
$360°÷8=45°$
多边形的内角与相邻外角互补（和为$180°$），因此一个内角的度数为：
$180°-45°=135°$
【答案】C
【知识点】多边形内角和计算；正多边形的性质；多边形外角和性质
【点评】本题属于基础考察题，两种解题思路都非常常用，解题时注意区分多边形内角总和与单个内角的度数，避免误选内角和对应的干扰选项。
【难度系数】0.8
3. 如图，AB、BC、CD是某正多边形相邻的三条边，延长 AB、DC 交于点 P，若∠P=108°，则该正多边形的边数为 (
A.6
B.8
C.10
D.12
C
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先从正多边形的性质入手，正多边形的每个内角相等，因此相邻内角的邻补角也相等，可判断△PBC为等腰三角形；再利用三角形内角和定理计算出等腰三角形的底角度数，这个底角就是正多边形的一个外角；最后结合任意多边形外角和恒为360°的性质，用外角和除以单个外角的度数即可得到正多边形的边数。
【解析】
解：
∵AB、BC、CD是正多边形相邻的三条边
∴该正多边形的每个内角相等，即$∠ ABC=∠ BCD$
∴$∠ PBC=180°-∠ ABC$，$∠ PCB=180°-∠ BCD$，可得$∠ PBC=∠ PCB$
在$△ PBC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ PBC + ∠ PCB + ∠ P = 180°$
将$∠ P=108°$代入得：
$∠ PBC + ∠ PCB = 180° - 108° = 72°$
又
∵$∠ PBC=∠ PCB$
∴$∠ PBC=∠ PCB=72°÷2=36°$，即该正多边形的每个外角度数为$36°$
∵任意多边形的外角和为$360°$
∴正多边形的边数$=360°÷36°=10$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，三角形内角和定理，多边形外角和
【点评】
本题是多边形相关知识的典型基础题，解题核心是通过三角形内角条件推导正多边形的外角度数，再结合外角和求解边数，需要学生熟练掌握多边形外角和恒为$360°$的性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先从正多边形的性质入手，正多边形的每个内角相等，因此相邻内角的邻补角也相等，可判断△PBC为等腰三角形；再利用三角形内角和定理计算出等腰三角形的底角度数，这个底角就是正多边形的一个外角；最后结合任意多边形外角和恒为360°的性质，用外角和除以单个外角的度数即可得到正多边形的边数。
【解析】
解：
∵AB、BC、CD是正多边形相邻的三条边
∴该正多边形的每个内角相等，即$∠ ABC=∠ BCD$
∴$∠ PBC=180°-∠ ABC$，$∠ PCB=180°-∠ BCD$，可得$∠ PBC=∠ PCB$
在$△ PBC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ PBC + ∠ PCB + ∠ P = 180°$
将$∠ P=108°$代入得：
$∠ PBC + ∠ PCB = 180° - 108° = 72°$
又
∵$∠ PBC=∠ PCB$
∴$∠ PBC=∠ PCB=72°÷2=36°$，即该正多边形的每个外角度数为$36°$
∵任意多边形的外角和为$360°$
∴正多边形的边数$=360°÷36°=10$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，三角形内角和定理，多边形外角和
【点评】
本题是多边形相关知识的典型基础题，解题核心是通过三角形内角条件推导正多边形的外角度数，再结合外角和求解边数，需要学生熟练掌握多边形外角和恒为$360°$的性质。
【难度系数】
0.7
4. 一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（
A.12
B.13
C.12或13
D.11或12或13
D
）A.12
B.13
C.12或13
D.11或12或13
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先利用多边形外角和恒为360°的性质，计算出截角后新多边形的内角和，再结合多边形内角和公式求出新多边形的边数。重点要注意：多边形截去一个角存在三种不同的截法，对应新多边形边数与原多边形边数的关系分别为增加1、不变、减少1，分类讨论后即可得到原多边形的所有可能边数。
【解析】
1. 计算截角后新多边形的内角和：
任意多边形的外角和均为360°，由题意得新多边形内角和为$5×360°=1800°$。
2. 求新多边形的边数：
设新多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$（$n≥3$且为整数），列方程：
$(n-2)×180°=1800°$
解得$n-2=10$，即$n=12$，新多边形为12边形。
3. 分类讨论原多边形边数：
多边形截去一个角有三种情况：
① 截线不经过原多边形的顶点：截完后边数比原多边形多1，原边数为$12-1=11$；
② 截线经过原多边形的1个顶点：截完后边数与原多边形相等，原边数为12；
③ 截线经过原多边形的2个顶点：截完后边数比原多边形少1，原边数为$12+1=13$。
综上，原多边形的边数为11或12或13。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略截去一个角的三种不同情况，仅考虑部分情况导致漏解，解题时可结合画图分析不同截法后边数的变化规律，牢记多边形外角和为定值是解题的切入点。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用多边形外角和恒为360°的性质，计算出截角后新多边形的内角和，再结合多边形内角和公式求出新多边形的边数。重点要注意：多边形截去一个角存在三种不同的截法，对应新多边形边数与原多边形边数的关系分别为增加1、不变、减少1，分类讨论后即可得到原多边形的所有可能边数。
【解析】
1. 计算截角后新多边形的内角和：
任意多边形的外角和均为360°，由题意得新多边形内角和为$5×360°=1800°$。
2. 求新多边形的边数：
设新多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$（$n≥3$且为整数），列方程：
$(n-2)×180°=1800°$
解得$n-2=10$，即$n=12$，新多边形为12边形。
3. 分类讨论原多边形边数：
多边形截去一个角有三种情况：
① 截线不经过原多边形的顶点：截完后边数比原多边形多1，原边数为$12-1=11$；
② 截线经过原多边形的1个顶点：截完后边数与原多边形相等，原边数为12；
③ 截线经过原多边形的2个顶点：截完后边数比原多边形少1，原边数为$12+1=13$。
综上，原多边形的边数为11或12或13。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略截去一个角的三种不同情况，仅考虑部分情况导致漏解，解题时可结合画图分析不同截法后边数的变化规律，牢记多边形外角和为定值是解题的切入点。
【难度系数】
0.6
5.（传统文化）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连结CF，则$∠ AFC$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
5. C
解析
【分析】
要计算∠AFC的度数，可按以下思路思考：①首先明确正六边形的性质，所有边相等，所有内角相等，先利用多边形内角和公式算出正六边形每个内角的度数；②通过边和角的关系可知四边形ABCF中AF=BC、∠A=∠B，结合四边形内角和可推导∠AFC的大小，也可先判断AB与CF平行，再利用平行线性质计算角度。
【解析】
∵ 多边形ABCDEF是正六边形
∴ 正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角的度数为$720°÷6=120°$，且$AF=BC$，$∠ A=∠ B=120°$
四边形ABCF的内角和为$(4-2)×180°=360°$，因此$∠ A+∠ B+∠ AFC+∠ BCF=360°$
代入$∠ A=∠ B=120°$，可得$∠ AFC+∠ BCF=360°-120°-120°=120°$
又
∵ $AF=BC$，可得$∠ AFC=∠ BCF$
∴ $∠ AFC=120°÷2=60°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；多边形内角和；等腰图形的角度性质
【点评】
本题以传统风铃为背景结合几何图形考查基础计算，解题关键是熟练掌握正多边形内角和公式，结合图形的边角关系建立等式求解，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.7
要计算∠AFC的度数，可按以下思路思考：①首先明确正六边形的性质，所有边相等，所有内角相等，先利用多边形内角和公式算出正六边形每个内角的度数；②通过边和角的关系可知四边形ABCF中AF=BC、∠A=∠B，结合四边形内角和可推导∠AFC的大小，也可先判断AB与CF平行，再利用平行线性质计算角度。
【解析】
∵ 多边形ABCDEF是正六边形
∴ 正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角的度数为$720°÷6=120°$，且$AF=BC$，$∠ A=∠ B=120°$
四边形ABCF的内角和为$(4-2)×180°=360°$，因此$∠ A+∠ B+∠ AFC+∠ BCF=360°$
代入$∠ A=∠ B=120°$，可得$∠ AFC+∠ BCF=360°-120°-120°=120°$
又
∵ $AF=BC$，可得$∠ AFC=∠ BCF$
∴ $∠ AFC=120°÷2=60°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；多边形内角和；等腰图形的角度性质
【点评】
本题以传统风铃为背景结合几何图形考查基础计算，解题关键是熟练掌握正多边形内角和公式，结合图形的边角关系建立等式求解，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.7
