10 若关于$x$的一元二次方程的根为$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4×2×1}}{2×2}$，则这个方程可以是（）

A.$2x^2+4x+1=0$
B.$2x^2-4x+1=0$
C.$2x^2-4x-1=0$
D.$2x^2+4x-1=0$

A

【分析】
要确定对应的一元二次方程，需利用一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。将题目给出的根的表达式与求根公式对比，对应找出$a$、$b$、$c$的值，即可确定方程并选出正确选项。
【解析】
一元二次方程的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，题目中给出的根为$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2 - 4×2×1}}{2×2}$，对比公式可得：
1. 分母部分：$2a = 2×2$，解得$a=2$；
2. 分子的常数项部分：$-b = -4$，解得$b=4$；
3. 根号内的判别式部分：$b^2 - 4ac = 4^2 - 4×2×1$，代入$a=2$、$b=4$，得$4^2 - 4×2×c = 4^2 - 4×2×1$，解得$c=1$。
因此，该一元二次方程为$2x^2 + 4x + 1 = 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的应用，核心是掌握求根公式中系数的对应关系，属于基础题型，只要牢记公式即可快速解题。
【难度系数】
0.6

11 新考向 新定义题 我们规定一种新运算“☆”，其规则为 $a☆b=a^2-ab$，如 $1☆2=1^2-1×2=1-2=-1$. 若 $(x-2)☆(1-x)=28$，则 $x$ 的值为（）

A.$-26$
B.$-4$ 或 $11$
C.$2$ 或 $-\dfrac{11}{2}$
D.$-2$ 或 $\dfrac{11}{2}$

D

【分析】首先理解新运算“☆”的规则：a☆b等于a的平方减去a与b的乘积，解题时需将式子中的$(x-2)$看作a，$(1-x)$看作b，代入规则得到关于x的一元二次方程，再求解该方程，最终选出正确答案。
【解析】根据新运算规则，将$a=x-2$，$b=1-x$代入$a☆b=a^2-ab$，可得：
$(x-2)☆(1-x)=(x-2)^2 - (x-2)(1-x)$
展开并整理左边的式子：
$(x^2 -4x +4) - (x -x^2 -2 +2x)$
$=x^2 -4x +4 - (-x^2 +3x -2)$
$=x^2 -4x +4 +x^2 -3x +2$
$=2x^2 -7x +6$
由题意得$2x^2 -7x +6=28$，移项整理为标准一元二次方程：
$2x^2 -7x -22=0$
用求根公式解方程，其中$a=2$，$b=-7$，$c=-22$，判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-7)^2 -4×2×(-22)=49 +176=225$
则$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7±15}{4}$
解得$x_1=\frac{7+15}{4}=\frac{11}{2}$，$x_2=\frac{7-15}{4}=-2$
所以x的值为$-2$或$\frac{11}{2}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】本题是新定义运算与一元二次方程结合的题目，核心是准确理解新运算的规则，将其转化为常规代数运算，计算时需注意符号处理，避免出错。
【难度系数】0.5

12 用公式法解方程：
(1) $(x+1)(x-2)=1$；
(2) $3x^{2}+5(2x+3)=0$。

12. (1) $x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$ (2) 无实数根

【分析】
用公式法解一元二次方程的核心步骤为：①将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况（$\Delta＞0$有两个不等实根，$\Delta=0$有一个实根，$\Delta＜0$无实根）；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根。本题需先把两个方程化为一般形式，再按上述步骤求解。
【解析】
(1) 把方程$(x+1)(x-2)=1$化为一般形式：
展开左边得$x^2 -2x +x -2 =1$，整理得$x^2 -x -3=0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
计算判别式$\Delta = (-1)^2 -4×1×(-3)=1+12=13＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{1±\sqrt{13}}{2}$，即$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 把方程$3x^2 +5(2x+3)=0$化为一般形式：
展开得$3x^2 +10x +15=0$，
其中$a=3$，$b=10$，$c=15$，
计算判别式$\Delta =10^2 -4×3×15=100-180=-80＜0$，
故该方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$；(2) 无实数根
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程，需注意先将方程化为标准形式再确定$a、b、c$的值，避免符号错误，判别式的计算是判断根的关键，整体属于基础题型。
【难度系数】
0.5

13 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2k+1)x+k^{2}+1=0$ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 若 $m$ 是已知方程的一个根，且满足 $m^{2}+2km+m-k+3=0$，求 $k$ 的值.

13. (1) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$ 有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=(2k+1)^2-4(k^2+1)＞0$,解得 $k＞\dfrac{3}{4}.\therefore k$ 的取值范围是 $k＞\dfrac{3}{4}$ (2) 由题知,将 $x=m$ 代入一元二次方程,得 $m^2+(2k+1)m+k^2+1=0$,即 $m^2+2km+m=-k^2-1.\because m^2+2km+m-k+3=0,\therefore -k^2-1-k+3=0$,解得 $k_1=1,k_2=-2.\because k＞\dfrac{3}{4},\therefore k=1$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0，据此列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围；第(2)问利用方程根的定义，将m代入原方程得到关于m和k的等式，变形后代入已知的含m的等式，得到仅关于k的方程，解出k的值后，结合第(1)问的k的取值范围进行取舍，得到最终的k值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式 $\Delta = b^2-4ac$。
已知方程 $x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$ 有两个不相等的实数根，所以 $\Delta＞0$。
代入系数计算：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2+1)\\&=4k^2 +4k +1 -4k^2 -4\\&=4k -3\end{aligned}$
令 $\Delta＞0$，即 $4k -3＞0$，解得 $k＞\frac{3}{4}$。
因此k的取值范围是 $k＞\frac{3}{4}$。
(2) 因为m是方程 $x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$ 的一个根，将x=m代入方程得：
$m^2 + (2k+1)m +k^2 +1=0$，整理得：
$m^2 +2km +m = -k^2 -1$。
已知 $m^2 +2km +m -k +3=0$，将上述变形结果代入得：
$-k^2 -1 -k +3=0$，化简得：
$-k^2 -k +2=0$，两边同乘-1得：
$k^2 +k -2=0$，因式分解得：
$(k+2)(k-1)=0$，解得 $k_1=1$，$k_2=-2$。
结合第(1)问中 $k＞\frac{3}{4}$，舍去不符合条件的 $k=-2$，故 $k=1$。
【答案】
(1) $k＞\frac{3}{4}$；(2) $k=1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和方程解的应用，解题关键是利用根的定义进行代数式变形，同时需注意解出参数后要结合前面的取值范围取舍，避免错解，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.6

14 已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+4(k-\dfrac{1}{2})=0.$
(1) 求证:这个方程总有两个实数根;
(2) 若等腰三角形 ABC 的一边 a 的长为 4,另两边 b,c 的长恰好是这个方程的两个实数根,求等腰三角形 ABC 的周长.

14. (1) $\because \Delta=[-(2k+1)]^2-4×1×4(k-\dfrac{1}{2})=4k^2-12k+9=(2k-3)^2≥0,\therefore$ 这个方程总有两个实数根 (2) 分两种情况讨论:① 若 $b,c$ 为腰,则方程 $x^2-(2k+1)x+4(k-\dfrac{1}{2})=0$ 有两个相等的实数根. $\therefore \Delta=0$,即 $(2k-3)^2=0$,解得 $k_1=k_2=\dfrac{3}{2}.\therefore$ 原方程为 $x^2-4x+4=0$,解得 $x_1=x_2=2$,即 $b=c=2$. $\because b+c=a,\therefore$ 这种情况不合题意,舍去. ② 若 $a$ 为腰,则 $b,c$ 中有一边为腰. $\therefore x=4$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+4(k-\dfrac{1}{2})=0$ 的一个根. 把 $x=4$ 代入原方程,得 $4^2-4(2k+1)+4(k-\dfrac{1}{2})=0$,解得 $k=\dfrac{5}{2}.\therefore$ 原方程为 $x^2-6x+8=0$,解得 $x_1=2,x_2=4.\because 4+2＞4,\therefore$ 等腰三角形 $ABC$ 的周长为 $2+4+4=10$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式证明方程总有两个实数根；第(2)问结合等腰三角形性质，分情况讨论腰的情况，同时需根据三角形三边关系验证情况是否成立，最终计算周长。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2-(2k+1)x+4(k-\frac{1}{2})=0$，计算其判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2k+1)]^2 - 4×1×4(k-\frac{1}{2})\\&=4k^2 +4k +1 -16k +8\\&=4k^2 -12k +9\\&=(2k-3)^2\end{aligned}$
因为任何数的平方非负，所以$\Delta=(2k-3)^2≥0$，故这个方程总有两个实数根。
(2) 等腰三角形ABC中，$a=4$，$b、c$是方程的两个根，分两种情况讨论：
① 若$b、c$为腰，则方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$，则$(2k-3)^2=0$，解得$k=\frac{3}{2}$。
此时原方程为$x^2 -4x +4=0$，解得$x_1=x_2=2$，即$b=c=2$。
因为$b+c=2+2=4=a$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
② 若$a$为腰，则$x=4$是方程的根，代入方程得：
$4^2 -4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$
化简得$10 -4k=0$，解得$k=\frac{5}{2}$。
此时原方程为$x^2 -6x +8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，即$b、c$为2和4。
验证三边：$2+4＞4$，满足三角形三边关系，故周长为$2+4+4=10$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 等腰三角形ABC的周长为10。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式与等腰三角形性质，解题关键是分情况讨论腰的情况，同时需验证三角形三边关系，避免错误情况。
【难度系数】
0.6