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1. (杭州中考)因式分解：$1 - 4y^{2} =$ (
A.$(1 - 2y)(1 + 2y)$
B.$(2 - y)(2 + y)$
C.$(1 - 2y)(2 + y)$
D.$(2 - y)(1 + 2y)$
A
)A.$(1 - 2y)(1 + 2y)$
B.$(2 - y)(2 + y)$
C.$(1 - 2y)(2 + y)$
D.$(2 - y)(1 + 2y)$
答案
1. A 解析:由平方差公式可得，$1 - 4y^{2} = (1 - 2y)(1 + 2y)$，故选A.
2. (2025·威海期末)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (
A.$-a^{2} - b^{2}$
B.$a^{2} + (-b)^{2}$
C.$(-a)^{2} + (-b)^{2}$
D.$-a^{2} + 1$
D
)A.$-a^{2} - b^{2}$
B.$a^{2} + (-b)^{2}$
C.$(-a)^{2} + (-b)^{2}$
D.$-a^{2} + 1$
答案
2. D 解析:A.$-a^{2} - b^{2} = -(a^{2} + b^{2})$，无法因式分解；B.$a^{2} + (-b)^{2} = a^{2} + b^{2}$，无法因式分解；C.$(-a)^{2} + (-b)^{2} = a^{2} + b^{2}$，无法因式分解；D.$-a^{2} + 1 = 1 - a^{2} = (1 - a)(1 + a)$，可以用平方差公式因式分解.故选D.
3. 与$7x - y^{2}$之积等于$y^{4} - 49x^{2}$的因式为 (
A.$7x - y^{2}$
B.$7x + y^{2}$
C.$-7x - y^{2}$
D.$y^{2} - 7x$
C
)A.$7x - y^{2}$
B.$7x + y^{2}$
C.$-7x - y^{2}$
D.$y^{2} - 7x$
答案
3. C 解析:$y^{4} - 49x^{2} = (y^{2} + 7x)(y^{2} - 7x)$，$y^{2} - 7x = -(7x - y^{2})$，故另一个因式为$-(y^{2} + 7x) = -7x - y^{2}$，故选C.
4. 教材变式 分解因式：
(1)(兰州中考)$x^{2} - 25y^{2} =$
(2)(2025·山西中考改编)$-16 + m^{2} =$
(3)(孝感中考改编)$4(a - b)^{2} - 9b^{2} =$
(1)(兰州中考)$x^{2} - 25y^{2} =$
(x + 5y)(x - 5y)
.(2)(2025·山西中考改编)$-16 + m^{2} =$
(m + 4)(m - 4)
.(3)(孝感中考改编)$4(a - b)^{2} - 9b^{2} =$
(2a + b)(2a - 5b)
.答案
4. (1)$(x + 5y)(x - 5y)$ (2)$(m + 4)(m - 4)$ (3)$(2a + b)(2a - 5b)$
技法点拨 当多项式为两个平方项作差的形式时，可利用平方差公式进行因式分解.在分解因式过程中需要先将多项式变形为$a^{2} - b^{2}$的形式，如本题中的$4(a - b)^{2} - 9b^{2}$可先变形为$[2(a - b)]^{2} - (3b)^{2}$，之后再运用平方差公式分解因式.
技法点拨 当多项式为两个平方项作差的形式时，可利用平方差公式进行因式分解.在分解因式过程中需要先将多项式变形为$a^{2} - b^{2}$的形式，如本题中的$4(a - b)^{2} - 9b^{2}$可先变形为$[2(a - b)]^{2} - (3b)^{2}$，之后再运用平方差公式分解因式.
5. (1)若$2x + y = 4$，$x - \frac{y}{2} = 1$，则$4x^{2} - y^{2} =$
(2)(苏州中考)若$a + b = 4$，$a - b = 1$，则$(a + 1)^{2} - (b - 1)^{2}$的值为
8
.(2)(苏州中考)若$a + b = 4$，$a - b = 1$，则$(a + 1)^{2} - (b - 1)^{2}$的值为
12
.答案
5. (1)8 解析:$\because x - \frac{y}{2} = 1$，$\therefore 2x - y = 2$，$\therefore 4x^{2} - y^{2} = (2x + y)·(2x - y) = 4×2 = 8$.
(2)12 解析:$\because a + b = 4$，$a - b = 1$，$\therefore (a + 1)^{2} - (b - 1)^{2} = (a + 1 + b - 1)(a + 1 - b + 1) = (a + b)(a - b + 2) = 4×(1 + 2) = 12$.
(2)12 解析:$\because a + b = 4$，$a - b = 1$，$\therefore (a + 1)^{2} - (b - 1)^{2} = (a + 1 + b - 1)(a + 1 - b + 1) = (a + b)(a - b + 2) = 4×(1 + 2) = 12$.
6. 把下列各式分解因式：
(1)$4a^{2} - 9$；
(2)$-\frac{1}{25}m^{2} + 16n^{2}$；
(3)$(3x - y)^{2} - (x - 3y)^{2}$；
(4)$(x^{2} - 7)^{2} - 4$；
(5)$(a - b)(a + 4b) - 3ab$；
(6)$4(a - b)^{2} - 16(a + b)^{2}$；
(7)$81a^{4} - b^{4}$；
(8)$9(x + y + z)^{2} - (x - y - z)^{2}$.
(1)$4a^{2} - 9$；
(2)$-\frac{1}{25}m^{2} + 16n^{2}$；
(3)$(3x - y)^{2} - (x - 3y)^{2}$；
(4)$(x^{2} - 7)^{2} - 4$；
(5)$(a - b)(a + 4b) - 3ab$；
(6)$4(a - b)^{2} - 16(a + b)^{2}$；
(7)$81a^{4} - b^{4}$；
(8)$9(x + y + z)^{2} - (x - y - z)^{2}$.
答案
1. $(1)4a^{2}-9$
解：根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = 2a$，$n = 3$。
$4a^{2}-9=(2a)^{2}-3^{2}=(2a + 3)(2a - 3)$。
2. $(2)-\frac{1}{25}m^{2}+16n^{2}$
解：先变形为$16n^{2}-\frac{1}{25}m^{2}$，根据平方差公式，$m=\frac{1}{5}m$，$n = 4n$。
$16n^{2}-\frac{1}{25}m^{2}=(4n)^{2}-(\frac{1}{5}m)^{2}=(4n+\frac{1}{5}m)(4n - \frac{1}{5}m)$。
3. $(3)(3x - y)^{2}-(x - 3y)^{2}$
解：根据平方差公式$A^{2}-B^{2}=(A + B)(A - B)$，这里$A=(3x - y)$，$B=(x - 3y)$。
$(3x - y)^{2}-(x - 3y)^{2}=[(3x - y)+(x - 3y)][(3x - y)-(x - 3y)]$
化简$(3x - y)+(x - 3y)=3x - y+x - 3y = 4x-4y = 4(x - y)$；$(3x - y)-(x - 3y)=3x - y - x + 3y = 2x + 2y = 2(x + y)$。
所以原式$=4(x - y)·2(x + y)=8(x - y)(x + y)$。
4. $(4)(x^{2}-7)^{2}-4$
解：根据平方差公式，$A=(x^{2}-7)$，$B = 2$。
$(x^{2}-7)^{2}-4=(x^{2}-7 + 2)(x^{2}-7 - 2)=(x^{2}-5)(x^{2}-9)$
再对$x^{2}-9$用平方差公式，$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$，所以原式$=(x^{2}-5)(x + 3)(x - 3)$。
5. $(5)(a - b)(a + 4b)-3ab$
解：先展开$(a - b)(a + 4b)=a^{2}+4ab - ab-4b^{2}=a^{2}+3ab-4b^{2}$。
则$(a - b)(a + 4b)-3ab=a^{2}+3ab-4b^{2}-3ab=a^{2}-4b^{2}$。
根据平方差公式，$a^{2}-4b^{2}=(a + 2b)(a - 2b)$。
6. $(6)4(a - b)^{2}-16(a + b)^{2}$
解：先提取公因式$4$得$4[(a - b)^{2}-4(a + b)^{2}]$。
对$(a - b)^{2}-4(a + b)^{2}$用平方差公式，$A=(a - b)$，$B = 2(a + b)$。
$(a - b)^{2}-4(a + b)^{2}=[(a - b)+2(a + b)][(a - b)-2(a + b)]=(3a + b)(-a - 3b)$。
所以原式$=4(3a + b)(-a - 3b)=-4(3a + b)(a + 3b)$。
7. $(7)81a^{4}-b^{4}$
解：根据平方差公式$A = 9a^{2}$，$B = b^{2}$，$81a^{4}-b^{4}=(9a^{2})^{2}-(b^{2})^{2}=(9a^{2}+b^{2})(9a^{2}-b^{2})$。
再对$9a^{2}-b^{2}$用平方差公式，$9a^{2}-b^{2}=(3a + b)(3a - b)$。
所以原式$=(9a^{2}+b^{2})(3a + b)(3a - b)$。
8. $(8)9(x + y+z)^{2}-(x - y - z)^{2}$
解：根据平方差公式$A = 3(x + y + z)$，$B=(x - y - z)$。
$9(x + y + z)^{2}-(x - y - z)^{2}=[3(x + y + z)+(x - y - z)][3(x + y + z)-(x - y - z)]$。
化简$3(x + y + z)+(x - y - z)=3x+3y + 3z+x - y - z = 4x + 2y+2z = 2(2x + y + z)$；$3(x + y + z)-(x - y - z)=3x+3y + 3z - x + y+z = 2x + 4y + 4z = 2(x + 2y + 2z)$。
所以原式$=2(2x + y + z)·2(x + 2y + 2z)=4(2x + y + z)(x + 2y + 2z)$。
解：根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = 2a$，$n = 3$。
$4a^{2}-9=(2a)^{2}-3^{2}=(2a + 3)(2a - 3)$。
2. $(2)-\frac{1}{25}m^{2}+16n^{2}$
解：先变形为$16n^{2}-\frac{1}{25}m^{2}$，根据平方差公式，$m=\frac{1}{5}m$，$n = 4n$。
$16n^{2}-\frac{1}{25}m^{2}=(4n)^{2}-(\frac{1}{5}m)^{2}=(4n+\frac{1}{5}m)(4n - \frac{1}{5}m)$。
3. $(3)(3x - y)^{2}-(x - 3y)^{2}$
解：根据平方差公式$A^{2}-B^{2}=(A + B)(A - B)$，这里$A=(3x - y)$，$B=(x - 3y)$。
$(3x - y)^{2}-(x - 3y)^{2}=[(3x - y)+(x - 3y)][(3x - y)-(x - 3y)]$
化简$(3x - y)+(x - 3y)=3x - y+x - 3y = 4x-4y = 4(x - y)$；$(3x - y)-(x - 3y)=3x - y - x + 3y = 2x + 2y = 2(x + y)$。
所以原式$=4(x - y)·2(x + y)=8(x - y)(x + y)$。
4. $(4)(x^{2}-7)^{2}-4$
解：根据平方差公式，$A=(x^{2}-7)$，$B = 2$。
$(x^{2}-7)^{2}-4=(x^{2}-7 + 2)(x^{2}-7 - 2)=(x^{2}-5)(x^{2}-9)$
再对$x^{2}-9$用平方差公式，$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$，所以原式$=(x^{2}-5)(x + 3)(x - 3)$。
5. $(5)(a - b)(a + 4b)-3ab$
解：先展开$(a - b)(a + 4b)=a^{2}+4ab - ab-4b^{2}=a^{2}+3ab-4b^{2}$。
则$(a - b)(a + 4b)-3ab=a^{2}+3ab-4b^{2}-3ab=a^{2}-4b^{2}$。
根据平方差公式，$a^{2}-4b^{2}=(a + 2b)(a - 2b)$。
6. $(6)4(a - b)^{2}-16(a + b)^{2}$
解：先提取公因式$4$得$4[(a - b)^{2}-4(a + b)^{2}]$。
对$(a - b)^{2}-4(a + b)^{2}$用平方差公式，$A=(a - b)$，$B = 2(a + b)$。
$(a - b)^{2}-4(a + b)^{2}=[(a - b)+2(a + b)][(a - b)-2(a + b)]=(3a + b)(-a - 3b)$。
所以原式$=4(3a + b)(-a - 3b)=-4(3a + b)(a + 3b)$。
7. $(7)81a^{4}-b^{4}$
解：根据平方差公式$A = 9a^{2}$，$B = b^{2}$，$81a^{4}-b^{4}=(9a^{2})^{2}-(b^{2})^{2}=(9a^{2}+b^{2})(9a^{2}-b^{2})$。
再对$9a^{2}-b^{2}$用平方差公式，$9a^{2}-b^{2}=(3a + b)(3a - b)$。
所以原式$=(9a^{2}+b^{2})(3a + b)(3a - b)$。
8. $(8)9(x + y+z)^{2}-(x - y - z)^{2}$
解：根据平方差公式$A = 3(x + y + z)$，$B=(x - y - z)$。
$9(x + y + z)^{2}-(x - y - z)^{2}=[3(x + y + z)+(x - y - z)][3(x + y + z)-(x - y - z)]$。
化简$3(x + y + z)+(x - y - z)=3x+3y + 3z+x - y - z = 4x + 2y+2z = 2(2x + y + z)$；$3(x + y + z)-(x - y - z)=3x+3y + 3z - x + y+z = 2x + 4y + 4z = 2(x + 2y + 2z)$。
所以原式$=2(2x + y + z)·2(x + 2y + 2z)=4(2x + y + z)(x + 2y + 2z)$。
7. (2025·内江校级月考)若$a$，$b$，$c$是三角形的三边，则代数式$(a - b)^{2} - c^{2}$的值是 (
A.正数
B.负数
C.等于零
D.不能确定
B
)A.正数
B.负数
C.等于零
D.不能确定
答案
7. B 解析:$(a - b)^{2} - c^{2} = (a - b + c)(a - b - c)$，因为$a$，$b$，$c$是三角形的三边，根据三角形的三边关系可得，$a - b + c = a + c - b ＞ 0$，$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$，所以$(a - b)^{2} - c^{2}$的值是负数，故选B.
8. 已知$7^{24} - 1$可被$40$至$50$之间的两个整数整除，这两个整数可以是 (
A.$41$，$48$
B.$45$，$47$
C.$43$，$48$
D.$41$，$47$
C
)A.$41$，$48$
B.$45$，$47$
C.$43$，$48$
D.$41$，$47$
答案
8. C 解析:$7^{24} - 1 = (7^{12} + 1)×(7^{12} - 1) = (7^{12} + 1)×(7^{6} + 1)×(7^{6} - 1) = (7^{12} + 1)×(7^{6} + 1)×(7^{3} + 1)×(7^{3} - 1) = (7^{12} + 1)×(7^{6} + 1)×(7 + 1)×(7^{2} - 7×1 + 1)×(7 - 1)×(7^{2} + 7×1 + 1) = (7^{12} + 1)×(7^{6} + 1)×8×43×6×57 = (7^{12} + 1)×(7^{6} + 1)×48×43×57$，因为$7^{24} - 1$可被40至50之间的两个整数整除，所以这两个整数可以是48，43.故选C.
9. 已知$2010^{2026} - 2010^{2024} = 2010^{x}×2009×2011$，那么$x$的值为 (
A.$2023$
B.$2024$
C.$2025$
D.$2026$
B
)A.$2023$
B.$2024$
C.$2025$
D.$2026$
答案
9. B 解析:$2010^{x}×2009×2011 = 2010^{x}×(2010 - 1)×(2010 + 1) = 2010^{x}×(2010^{2} - 1) = 2010^{x + 2} - 2010^{x}$，所以$2010^{2026} - 2010^{2024} = 2010^{x + 2} - 2010^{x}$，所以$x = 2024$，故选B.
10. (2025·新乡期中)如图，边长为$2m + 3$的正方形纸片剪出一个边长为$m + 3$的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为$m$，则另一边长为
3m + 6
.答案
10. $3m + 6$ 解析:由题意，$(2m + 3)^{2} - (m + 3)^{2} = [(2m + 3) + (m + 3)]·[(2m + 3) - (m + 3)] = m·(3m + 6)$，因为拼成的长方形一边长为$m$，则另一边长为$3m + 6$.
