11. (★★★)已知$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}mx - y = 3, \\ x - ny = 6\end{cases}$的解,则$m=$ ______ ,$n=$ ______ 。
答案
解:
因为$\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}mx - y = 3 \\ x - ny = 6\end{cases}$的解,
将$\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$代入方程组,得:
$\begin{cases}2m - (-1) = 3 \\ 2 - n×(-1) = 6\end{cases}$
化简得:
$\begin{cases}2m + 1 = 3 \\ 2 + n = 6\end{cases}$
解第一个方程:$2m = 3 - 1$,得$m=1$;
解第二个方程:$n = 6 - 2$,得$n=4$。
故答案依次为:$\boxed{1}$,$\boxed{4}$。
因为$\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}mx - y = 3 \\ x - ny = 6\end{cases}$的解,
将$\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$代入方程组,得:
$\begin{cases}2m - (-1) = 3 \\ 2 - n×(-1) = 6\end{cases}$
化简得:
$\begin{cases}2m + 1 = 3 \\ 2 + n = 6\end{cases}$
解第一个方程:$2m = 3 - 1$,得$m=1$;
解第二个方程:$n = 6 - 2$,得$n=4$。
故答案依次为:$\boxed{1}$,$\boxed{4}$。
12.(★★★)小明给小红出了一道数学题:“如果我将二元一次方程组
$\begin{cases}2x + □ y = 3, \\□ x + y = 3\end{cases}$
第一个方程中$y$的系数遮住,第二个方程中$x$的系数遮住,并且
告诉你$\begin{cases}x = 2, \\y = 1\end{cases}$
是这个方程组的解,你能求出我原来的方程组吗?”请你帮小红解答这个问题。
$\begin{cases}2x + □ y = 3, \\□ x + y = 3\end{cases}$
第一个方程中$y$的系数遮住,第二个方程中$x$的系数遮住,并且
告诉你$\begin{cases}x = 2, \\y = 1\end{cases}$
是这个方程组的解,你能求出我原来的方程组吗?”请你帮小红解答这个问题。
答案
解:设第一个方程中y的系数为a,第二个方程中x的系数为b。
将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组,得:
$\begin{cases}2×2 + a×1 = 3 \\ b×2 + 1 = 3\end{cases}$
解第一个方程:$4 + a = 3$,得$a = -1$;
解第二个方程:$2b = 2$,得$b = 1$;
所以原来的方程组为$\begin{cases}2x - y = 3 \\ x + y = 3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组,得:
$\begin{cases}2×2 + a×1 = 3 \\ b×2 + 1 = 3\end{cases}$
解第一个方程:$4 + a = 3$,得$a = -1$;
解第二个方程:$2b = 2$,得$b = 1$;
所以原来的方程组为$\begin{cases}2x - y = 3 \\ x + y = 3\end{cases}$。
幻方是古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等,例如图1就是一个幻方,图2是一个未完成的幻方.你知道x与y的和吗?

答案
解:设图2幻方的幻和为$ S $,中间数为$ b $。
根据幻方性质,第一行的和为幻和,即$ S = x + 6 + 20 = x + 26 $。
三阶幻方的幻和等于中间数的3倍,故$ S = 3b $。
观察从右上角到左下角的对角线,其和为$ S $,即$ 20 + b + \mathrm{(第三行第一列的数)} = S $;
又第一列的和为$ S $,即$ x + 22 + \mathrm{(第三行第一列的数)} = S $,
两式相减消去第三行第一列的数,得:$ 20 + b - (x + 22) = 0 $,
化简得:$ b = x + 2 $。
将$ b = x + 2 $代入$ S = 3b $,结合$ S = x + 26 $,得:
$ 3(x + 2) = x + 26 $,
解得:$ 3x + 6 = x + 26 $,
$ 2x = 20 $,
$ x = 10 $。
则$ b = 10 + 2 = 12 $,
第二行的和为$ S = 36 $,故$ 22 + 12 + y = 36 $,
解得:$ y = 2 $。
因此$ x + y = 10 + 2 = 12 $。
答:$ x $与$ y $的和是12。
根据幻方性质,第一行的和为幻和,即$ S = x + 6 + 20 = x + 26 $。
三阶幻方的幻和等于中间数的3倍,故$ S = 3b $。
观察从右上角到左下角的对角线,其和为$ S $,即$ 20 + b + \mathrm{(第三行第一列的数)} = S $;
又第一列的和为$ S $,即$ x + 22 + \mathrm{(第三行第一列的数)} = S $,
两式相减消去第三行第一列的数,得:$ 20 + b - (x + 22) = 0 $,
化简得:$ b = x + 2 $。
将$ b = x + 2 $代入$ S = 3b $,结合$ S = x + 26 $,得:
$ 3(x + 2) = x + 26 $,
解得:$ 3x + 6 = x + 26 $,
$ 2x = 20 $,
$ x = 10 $。
则$ b = 10 + 2 = 12 $,
第二行的和为$ S = 36 $,故$ 22 + 12 + y = 36 $,
解得:$ y = 2 $。
因此$ x + y = 10 + 2 = 12 $。
答:$ x $与$ y $的和是12。
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