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6 有3块正方体积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置(如图)，则涂成绿色一面的对面的颜色是 (
A.白色
B.红色
C.黄色
D.黑色
C
)A.白色
B.红色
C.黄色
D.黑色
答案
6.C
【解析】首先由题图确定共有白色、黑色、绿色、蓝色、红色、黄色六种颜色.由于正方体积木的任意一个面有4个邻面、1个对面,且根据题意可知,与绿色一面相邻的颜色有白色、黑色、蓝色、红色,所以涂成绿色一面的对面的颜色是黄色.
【解析】首先由题图确定共有白色、黑色、绿色、蓝色、红色、黄色六种颜色.由于正方体积木的任意一个面有4个邻面、1个对面,且根据题意可知,与绿色一面相邻的颜色有白色、黑色、蓝色、红色,所以涂成绿色一面的对面的颜色是黄色.
解析
【分析】
解题时可利用正方体每个面仅有4个相邻面、1个相对面的特征推导：首先先明确所有的颜色种类，再逐一找出和绿色相邻的所有颜色，排除相邻颜色后，剩下的唯一颜色就是绿色对面的颜色。首先观察三个正方体可知总共有白、黑、绿、蓝、红、黄6种颜色；再找绿色的相邻面：从第一个正方体可得绿色和白、黑相邻，从第二个正方体可得绿色和蓝、红相邻，绿色的4个邻面已全部找齐，剩余的颜色即为其对面颜色。
【解析】
首先由题图可知，正方体积木共有白色、黑色、绿色、蓝色、红色、黄色6种不同颜色。正方体的每个面有且仅有4个相邻面、1个相对面，结合3块积木涂法完全相同的条件，观察可得：与绿色相邻的颜色有白色、黑色、蓝色、红色，共4种，因此剩余的黄色就是绿色一面的对面颜色。
【答案】
C
【知识点】
正方体面的特征；相对面判断；逻辑推理
【点评】
本题考查正方体相对面的判断，解题核心是利用“相邻面一定不是相对面”的规律，通过排除所有相邻颜色得到相对面的颜色，能有效锻炼空间观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时可利用正方体每个面仅有4个相邻面、1个相对面的特征推导：首先先明确所有的颜色种类，再逐一找出和绿色相邻的所有颜色，排除相邻颜色后，剩下的唯一颜色就是绿色对面的颜色。首先观察三个正方体可知总共有白、黑、绿、蓝、红、黄6种颜色；再找绿色的相邻面：从第一个正方体可得绿色和白、黑相邻，从第二个正方体可得绿色和蓝、红相邻，绿色的4个邻面已全部找齐，剩余的颜色即为其对面颜色。
【解析】
首先由题图可知，正方体积木共有白色、黑色、绿色、蓝色、红色、黄色6种不同颜色。正方体的每个面有且仅有4个相邻面、1个相对面，结合3块积木涂法完全相同的条件，观察可得：与绿色相邻的颜色有白色、黑色、蓝色、红色，共4种，因此剩余的黄色就是绿色一面的对面颜色。
【答案】
C
【知识点】
正方体面的特征；相对面判断；逻辑推理
【点评】
本题考查正方体相对面的判断，解题核心是利用“相邻面一定不是相对面”的规律，通过排除所有相邻颜色得到相对面的颜色，能有效锻炼空间观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
7 由棱长为1的小正方体组成新的大正方体，如果不允许切割，至少要
8
个小正方体.答案
7.8
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确不允许切割的前提下，用棱长为1的小正方体拼大正方体时，大正方体每条棱上摆放的小正方体数量必须是整数；同时要组成“大正方体”，棱长必须大于原小正方体的棱长1，因此每条棱上最少要放2个小正方体。接下来只需要先算出最小大正方体的体积，再除以单个小正方体的体积，就能得到最少需要的小正方体个数。
【解析】
解：单个棱长为1的小正方体体积为：
$V_{\mathrm{小}}=1×1×1=1$
因为不能切割且要组成更大的正方体，大正方体的棱长最小取2，此时大正方体的体积为：
$V_{\mathrm{大}}=2×2×2=8$
需要的小正方体个数为大正方体体积除以单个小正方体体积：
$8÷1=8$（个）
【答案】
8
【知识点】
正方体体积计算，立体图形拼接
【点评】
本题考查正方体拼接的基本规律，解题关键是明确无切割拼接大正方体时棱长的最小取值，易错点是混淆平面和立体拼接的要求，误按正方形面积计算得到4个的错误结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确不允许切割的前提下，用棱长为1的小正方体拼大正方体时，大正方体每条棱上摆放的小正方体数量必须是整数；同时要组成“大正方体”，棱长必须大于原小正方体的棱长1，因此每条棱上最少要放2个小正方体。接下来只需要先算出最小大正方体的体积，再除以单个小正方体的体积，就能得到最少需要的小正方体个数。
【解析】
解：单个棱长为1的小正方体体积为：
$V_{\mathrm{小}}=1×1×1=1$
因为不能切割且要组成更大的正方体，大正方体的棱长最小取2，此时大正方体的体积为：
$V_{\mathrm{大}}=2×2×2=8$
需要的小正方体个数为大正方体体积除以单个小正方体体积：
$8÷1=8$（个）
【答案】
8
【知识点】
正方体体积计算，立体图形拼接
【点评】
本题考查正方体拼接的基本规律，解题关键是明确无切割拼接大正方体时棱长的最小取值，易错点是混淆平面和立体拼接的要求，误按正方形面积计算得到4个的错误结果。
【难度系数】
0.7
8 数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.
（1）根据如图所示的多面体模型，填写下表中的空格：
| 多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
|----------|-----------|---------|---------|
| 四面体 | 4 | 4 | |
| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 正八面体 | | 8 | 12 |
| 正十二面体 | 20 | 12 | 30 |
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式为$V + F - E = 2$.
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是
（1）根据如图所示的多面体模型，填写下表中的空格：
| 多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
|----------|-----------|---------|---------|
| 四面体 | 4 | 4 | |
| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 正八面体 | | 8 | 12 |
| 正十二面体 | 20 | 12 | 30 |
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式为$V + F - E = 2$.
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是
20
.答案
8.(1) 6 6 V+F-E=2
(2) 20
【解析】由题意,得F-8+F-30=2,解得F=20,即这个多面体的面数为20.
(2) 20
【解析】由题意,得F-8+F-30=2,解得F=20,即这个多面体的面数为20.
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先通过观察几何体的结构数出对应量：四面体的棱可直接计数得6；正八面体的顶点计数可得6，再将四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E分别代入计算V+F-E的结果，即可总结出三者的关系式。（2）第二问先根据“面数比顶点数大8”，用面数F表示出顶点数V=F-8，再将V、已知的棱数E=30代入欧拉公式，解一元一次方程即可求出面数。
【解析】
（1）观察四面体，可数得棱数为6；观察正八面体，可数得顶点数为6。分别计算四个多面体的V+F-E的值：
四面体：$4+4-6=2$；长方体：$8+6-12=2$；正八面体：$6+8-12=2$；正十二面体：$20+12-30=2$，因此可得关系式为$V+F-E=2$。
（2）设该多面体的面数为F，由“面数比顶点数大8”可得顶点数$V=F-8$，已知棱数$E=30$，代入欧拉公式$V+F-E=2$得：
$F-8 + F - 30 = 2$
合并同类项得$2F - 38 = 2$
移项计算得$2F = 40$，解得$F=20$。
【答案】
（1）6；6；$V+F-E=2$
（2）20
【知识点】
欧拉公式；一元一次方程的应用；立体图形认识
【点评】
本题通过观察简单多面体推导欧拉公式，再利用公式解决实际问题，既考查了对立体图形的认知能力，也考查了方程思想的应用，掌握欧拉公式中三个量的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先通过观察几何体的结构数出对应量：四面体的棱可直接计数得6；正八面体的顶点计数可得6，再将四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E分别代入计算V+F-E的结果，即可总结出三者的关系式。（2）第二问先根据“面数比顶点数大8”，用面数F表示出顶点数V=F-8，再将V、已知的棱数E=30代入欧拉公式，解一元一次方程即可求出面数。
【解析】
（1）观察四面体，可数得棱数为6；观察正八面体，可数得顶点数为6。分别计算四个多面体的V+F-E的值：
四面体：$4+4-6=2$；长方体：$8+6-12=2$；正八面体：$6+8-12=2$；正十二面体：$20+12-30=2$，因此可得关系式为$V+F-E=2$。
（2）设该多面体的面数为F，由“面数比顶点数大8”可得顶点数$V=F-8$，已知棱数$E=30$，代入欧拉公式$V+F-E=2$得：
$F-8 + F - 30 = 2$
合并同类项得$2F - 38 = 2$
移项计算得$2F = 40$，解得$F=20$。
【答案】
（1）6；6；$V+F-E=2$
（2）20
【知识点】
欧拉公式；一元一次方程的应用；立体图形认识
【点评】
本题通过观察简单多面体推导欧拉公式，再利用公式解决实际问题，既考查了对立体图形的认知能力，也考查了方程思想的应用，掌握欧拉公式中三个量的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9 新考向 探究题 [2024 青岛]
（1）如图①，将边长为 2 dm 的正方形纸板沿虚线剪掉边长为 1 dm 的小正方形，得到如图②所示的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要多少个？
（2）如图③，将长、宽、高分别为 4 dm，2 dm，2 dm 的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为 4 dm，1 dm，1 dm 的长方体，得到如图④所示的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要多少个？
（1）如图①，将边长为 2 dm 的正方形纸板沿虚线剪掉边长为 1 dm 的小正方形，得到如图②所示的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要多少个？
（2）如图③，将长、宽、高分别为 4 dm，2 dm，2 dm 的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为 4 dm，1 dm，1 dm 的长方体，得到如图④所示的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要多少个？
答案
9.(1) 用2个题图②所示的“纸板卡”可拼成一个长为3 dm,宽为2 dm的长方形,它的面积为3×2=6(dm²),则用6个上述的3 dm×2 dm的长方形可拼成一个面积为36 dm²的正方形,该正方形的边长为6 dm,所以最少需要如题图②所示的“纸板卡”6×2=12(个)
(2) 先用2个题图④所示的“直角砖块”拼成长、宽、高分别为4 dm,3 dm,2 dm的长方体A,再用4×3=12(个)长方体A拼成一个长、宽、高分别为12 dm,12 dm,2 dm的长方体B,最后用6个长方体B可以拼成长、宽、高分别为12 dm,12 dm,12 dm的正方体,所以最少需要如题图④所示的“直角砖块”2×12×6=144(个)
(2) 先用2个题图④所示的“直角砖块”拼成长、宽、高分别为4 dm,3 dm,2 dm的长方体A,再用4×3=12(个)长方体A拼成一个长、宽、高分别为12 dm,12 dm,2 dm的长方体B,最后用6个长方体B可以拼成长、宽、高分别为12 dm,12 dm,12 dm的正方体,所以最少需要如题图④所示的“直角砖块”2×12×6=144(个)
解析
【分析】
（1）首先计算单个“纸板卡”的面积，可知其面积为3dm²，因此拼成的正方形面积必须是3的倍数且为完全平方数；再观察纸板卡的形状，2个纸板卡可拼成长3dm、宽2dm的长方形，要拼成正方形，边长需取2和3的最小公倍数，最后结合边长计算所需纸板卡的总数量即可。
（2）先计算单个“直角砖块”的体积，可知其体积为12dm³，因此拼成的正方体体积必须是12的倍数且为完全立方数；再观察直角砖块的形状，2个直角砖块可拼成长4dm、宽3dm、高2dm的长方体，要拼成正方体，棱长需取4、3、2的最小公倍数，最后逐层计算所需直角砖块的总数量即可。
【解析】
(1) 单个“纸板卡”的面积：$2× 2 - 1× 1=3(\mathrm{dm}^2)$
用2个该纸板卡可拼成长3dm、宽2dm的长方形，长方形面积为$3× 2=6(\mathrm{dm}^2)$
拼成的正方形边长应为2和3的最小公倍数6dm，正方形面积为$6× 6=36(\mathrm{dm}^2)$
需要3×2的长方形数量：$36÷ 6=6$（个）
需要纸板卡总数量：$6× 2=12$（个）
(2) 单个“直角砖块”的体积：$4× 2× 2 - 4× 1× 1=12(\mathrm{dm}^3)$
用2个该直角砖块可拼成长4dm、宽3dm、高2dm的长方体A
拼成的正方体棱长应为4、3、2的最小公倍数12dm
拼长12dm、宽12dm、高2dm的长方体B：长方向需要$12÷ 4=3$个长方体A，宽方向需要$12÷ 3=4$个长方体A，共需要$3× 4=12$个长方体A
拼棱长12dm的正方体：高方向需要$12÷ 2=6$个长方体B
需要直角砖块总数量：$2× 12× 6=144$（个）
【答案】
(1) 最少需要12个；(2) 最少需要144个
【知识点】
图形拼接、最小公倍数应用、面积与体积计算
【点评】
本题属于探究类操作题，需要结合图形特征和最小公倍数知识综合分析，既考查空间想象能力，也考查数学知识的实际应用能力，解题时要注意不能仅通过面积、体积的倍数关系直接判断结果，还要结合图形实际拼接的可行性验证。
【难度系数】
0.4
（1）首先计算单个“纸板卡”的面积，可知其面积为3dm²，因此拼成的正方形面积必须是3的倍数且为完全平方数；再观察纸板卡的形状，2个纸板卡可拼成长3dm、宽2dm的长方形，要拼成正方形，边长需取2和3的最小公倍数，最后结合边长计算所需纸板卡的总数量即可。
（2）先计算单个“直角砖块”的体积，可知其体积为12dm³，因此拼成的正方体体积必须是12的倍数且为完全立方数；再观察直角砖块的形状，2个直角砖块可拼成长4dm、宽3dm、高2dm的长方体，要拼成正方体，棱长需取4、3、2的最小公倍数，最后逐层计算所需直角砖块的总数量即可。
【解析】
(1) 单个“纸板卡”的面积：$2× 2 - 1× 1=3(\mathrm{dm}^2)$
用2个该纸板卡可拼成长3dm、宽2dm的长方形，长方形面积为$3× 2=6(\mathrm{dm}^2)$
拼成的正方形边长应为2和3的最小公倍数6dm，正方形面积为$6× 6=36(\mathrm{dm}^2)$
需要3×2的长方形数量：$36÷ 6=6$（个）
需要纸板卡总数量：$6× 2=12$（个）
(2) 单个“直角砖块”的体积：$4× 2× 2 - 4× 1× 1=12(\mathrm{dm}^3)$
用2个该直角砖块可拼成长4dm、宽3dm、高2dm的长方体A
拼成的正方体棱长应为4、3、2的最小公倍数12dm
拼长12dm、宽12dm、高2dm的长方体B：长方向需要$12÷ 4=3$个长方体A，宽方向需要$12÷ 3=4$个长方体A，共需要$3× 4=12$个长方体A
拼棱长12dm的正方体：高方向需要$12÷ 2=6$个长方体B
需要直角砖块总数量：$2× 12× 6=144$（个）
【答案】
(1) 最少需要12个；(2) 最少需要144个
【知识点】
图形拼接、最小公倍数应用、面积与体积计算
【点评】
本题属于探究类操作题，需要结合图形特征和最小公倍数知识综合分析，既考查空间想象能力，也考查数学知识的实际应用能力，解题时要注意不能仅通过面积、体积的倍数关系直接判断结果，还要结合图形实际拼接的可行性验证。
【难度系数】
0.4
