1. 如图,长方形$OABC$的边$OA$,$OC$分别在$x$轴、$y$轴上,点$B$的坐标为$(3,2)$,点$D$,$E$分别在边$AB$,$BC$上,$BD=BE=1$.沿直线$DE$将$△ BDE$翻折,使点$B$落在点$B'$处,则点$B'$的坐标为（）


A.$(1,2)$
B.$(2,1)$
C.$(2,2)$
D.$(3,1)$

1.B

2. (2025 南京市建邺区月考)如图,在平面直角坐标系中,点 M 的坐标为$(3,4)$,点 N 的坐标为$(6,0)$,将$△ OMN$绕点 O 按逆时针方向旋转得到$△ OM'N'$.若点$M'$恰好落在$x$轴上,则点$N'$的坐标为（）


A.$(-3,5)$
B.$(-\dfrac{24}{5},\dfrac{18}{5})$
C.$(-4,5)$
D.$(-\dfrac{18}{5},\dfrac{24}{5})$

2.D 提示:如图,过点M作x轴的垂线,垂足为A,过点$N'$作x轴的垂线,垂足为B. 因为点M(3,4),N(6,0),所以MA=4,OA=3,ON=6.由勾股定理,得$OM=\sqrt{OA^2+MA^2}=5$.所以$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}ON· MA=\frac{1}{2}×6×4=12$.由旋转可知,$S_{△ OMN'}=S_{△ OMN}=12$,$OM'=OM=5$,$N'O=NO=6$,则$S_{△ OMN'}=\frac{1}{2}×5N'B=12$,所以$N'B=\frac{24}{5}$.在$\mathrm{Rt}△ N'BO$中,$BO=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$.所以点$N'$的坐标为$(-\frac{18}{5},\frac{24}{5})$.

3. (2026 盐城市响水县期末)在平面直角坐标系中,已知点$A(a-b,-5)$与点$B(-3,$$a+b)$关于原点对称,则$ab=$.

3.4

4. 如图,在平面直角坐标系中,以$A(2,0)$,$B(0,1)$为顶点作等腰直角三角形$ABC$(其中$∠ ABC=90°$,且点$C$落在第一象限),则点$C$关于$y$轴的对称点$C'$的坐标为.

4.$(-1,3)$ 提示:过点C作$CD⊥ y$轴,垂足为D.易证$△ OAB≌△ DBC$,所以$DC=OB$,$DB=OA$.因为点A(2,0),B(0,1),所以$DC=OB=1$,$DB=OA=2$,所以$OD=3$,所以点C(1,3),所以点C关于y轴的对称点$C'$的坐标为$(-1,3)$.

5. (2026 盐城市市直期末)在平面直角坐标系中,先将某点向左平移 5 个单位长度,再将所得的点作关于 y 轴的对称点,我们把这个过程称为点的“美好变换”.若点 P 经过“美好变换”后得到的点 Q 与点 P 重合,我们称点 P 为不动点.
(1) 点$(1,-2)$经过“美好变换”后的坐标为.
(2) 请判断点$M(2,-5),N(2.5,0)$是否为不动点? 并说明理由.
(3) 已知点$D(d,3)$为不动点,求 d 的值.

5. 解:(1)$(4,-2)$ 提示:点$(1,-2)$向左平移5个单位长度为$(-4,-2)$;点$(-4,-2)$关于y轴的对称点为$(4,-2)$.
(2) 把点M(2,-5)向左平移5个单位长度,可得对应点的坐标为$(-3,-5)$;点$(-3,-5)$关于y轴的对称点的坐标为$(3,-5)$,所以点M(2,-5)与经过“完美变换”后得到的点$(3,-5)$不重合,则点M不是不动点.把点N(2.5,0)向左平移5个单位长度,可得对应点的坐标为$(-2.5,0)$;点$(-2.5,0)$关于y轴的对称点的坐标为$(2.5,0)$,所以点N(2.5,0)与经过“完美变换”后得到的点$(2.5,0)$重合,则点N是不动点.
(3) 点D(d,3)向左平移5个单位长度,可得对应点的坐标为$(d-5,3)$;点$(d-5,3)$关于y轴的对称点的坐标为$(5-d,3)$.而点D(d,3)为不动点,所以$d=5-d$,解得$d=2.5$.