19.当 k 为何值时，方程$\frac{2}{3}x - 3k = 5(x - k) + 1$的解是正数？

19.视$k$为已知数,解得$x=\dfrac{6k-3}{13}$.$\because$方程的解是正数,则$x=\dfrac{6k-3}{13}＞0$.$\therefore 6k-3＞0$,解得$k＞\dfrac{1}{2}$,$\therefore$当$k＞\dfrac{1}{2}$时,方程$\dfrac{2}{3}x - 3k = 5(x - k) + 1$的解是正数.

20.若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} x + 3y = 6 - m, \\ 3x + y = -3m + 2 \end{cases} $ 的解满足 $ x + y ＞ -\dfrac{1}{2} $.求出满足条件的所有正整数 $ m $ 的值.

20.$\begin{cases} x + 3y = 6 - m \quad ①, \\ 3x + y = -3m + 2 \quad ②, \end{cases}$ ①+②化简,得$x+y=2-m$,代入不等式得:$2-m＞-\dfrac{1}{2}$,解得$m＜\dfrac{5}{2}$,则正整数$m$的值为1或2.

21.某社区计划对面积为 3 600 m² 的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队 4 天能完成绿化的面积等于乙队 8 天完成绿化的面积，甲队 3 天能完成绿化的面积比乙队 5 天能完成绿化的面积多 50 m².
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成绿化的面积；
(2)若甲队每天绿化费用为 1.2 万元，乙队每天绿化费用为 0.5 万元，要使这次绿化的总费用不超过 40 万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？

21.(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为$x \ \mathrm{m}^2$,则甲工程队每天能完成绿化的面积为$2x \ \mathrm{m}^2$,依题意,得$3×2x -5x=50$,解得$x=50$,$\therefore 2x=100$ 答:甲工程队每天能完成绿化的面积为$100 \ \mathrm{m}^2$,乙工程队每天能完成绿化的面积为$50 \ \mathrm{m}^2$.
(2)设安排乙工程队绿化$m$天,则安排甲工程队绿化$\dfrac{3600-50m}{100}$天,依题意,得$1.2×\dfrac{3600-50m}{100} + 0.5m ≤ 40$,解得$m≥32$.答:至少应安排乙工程队绿化32天.

22.小明购买 A,B 两种商品,每次购买同一种商品的单价相同,具体信息如下表:

根据以上信息,解答下列问题:
(1)求 A,B 两种商品的单价;
(2)若第三次购买这两种商品共 12 件,且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 2 倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.

22.(1)设A种商品的单价为$x$元,B种商品的单价为$y$元,根据题意,可得$\begin{cases} 2x + y = 55, \\ x + 3y = 65, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=20, \\ y=15. \end{cases}$答:A种商品的单价为20元,B种商品的单价为15元.
(2)设第三次购买商品A种$a$件,则购买B种商品$(12-a)$件,总费用为$m$,根据题意,可得$a≥2(12-a)$,得$8≤a＜12$,$\because m=20a+15(12-a)=5a+180$,$\therefore$当$a=8$时所花钱数最少,即最省钱方案是购买A商品8件,B商品4件.