三、解答题（共 40 分）
11.（12 分）如图，已知线段 $AB$，请按要求解决下列问题.
(1)用直尺和圆规作图: 延长线段 $AB$ 到点 $C$, 使 $BC=AB$; 反向延长线段 $AB$ 到点 $D$, 使$AD=AC$.
(2)若 $AB=2\ \mathrm{cm}$.
①求 $CD$ 的长；
②若 $P$ 是线段 $BD$ 的中点,求线段 $CP$ 的长.
$A\longleftarrow\kern-0.4em\kern-0.2em\raise0.4ex\hbox{---}\kern-0.4em\kern-0.2em\raise0.4ex\hbox{---}\kern-0.4em\to B$

(1)如图，点C和点D即为所求.(2)①因为$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=AB$，所以$AC=2AB=2×2=4(\mathrm{cm})$.又因为$AD=AC$，所以$CD=2AC=8\ \mathrm{cm}$. ②因为$BD=AD+AB=4+2=6(\mathrm{cm})$，P是线段BD的中点，所以$BP=\frac{1}{2}BD=3\ \mathrm{cm}$，所以$CP=CB+BP=2+3=5(\mathrm{cm})$.

12. (14 分) 如图, 直线 $A B 、 C D$ 相交于点 $O, O E ⊥ A B, O F ⊥ C D$.
(1) 写出图中 $∠ A O F$ 的余角:
(2) 如果 $∠ EOF=\dfrac{1}{5}∠ AOD$, 求 $∠ EOF$ 的度数.

(1)$∠AOC、∠FOE、∠BOD$ 解析：因为$OE⊥AB$，$OF⊥CD$，所以$∠AOF+∠AOC=90°$，$∠AOF+∠FOE=90°$，所以$∠AOC$与$∠FOE$是$∠AOF$的余角.因为$∠AOC=∠BOD$，所以$∠BOD+∠AOF=90°$，所以$∠BOD$与$∠AOF$互为余角.所以$∠AOF$的余角为$∠AOC、∠FOE、∠BOD$. (2)因为$OE⊥AB$，$OF⊥CD$，所以$∠AOF+∠EOF=90°$，$∠AOF+∠AOC=90°$，所以$∠AOC=∠EOF$，因为$∠AOC+∠AOD=180°$，$∠EOF=\frac{1}{5}∠AOD$，所以$6∠AOC=180°$，所以$∠EOF=∠AOC=30°$.

13. (14 分) 如图,$O$ 为直线 $AB$ 上一点,过点 $O$ 作射线 $OC$,$∠ AOC=30°$,将一直角三角板($∠ M=30°$)的直角顶点放在点 $O$ 处,一边 $ON$ 在射线 $OA$ 上,另一边 $OM$ 与 $OC$ 都在直线 $AB$ 的上方.
(1)将图 1 中的三角板绕点 $O$ 以每秒 $3°$的速度沿顺时针方向旋转一周.如图 2,经过 $t\ \mathrm{s}$ 后,$OM$ 恰好平分 $∠ BOC$,求 $t$ 的值;判断此时 $ON$ 是否平分 $∠ AOC$,并说明理由.
(2)在(1)的基础上,若三角板在转动的同时,射线 $OC$ 也绕点 $O$ 以每秒 $6°$的速度沿顺时针方向旋转一周,如图 3,则经过多长时间,$OC$ 平分 $∠ MON$? 请说明理由.

(1)旋转前$∠MOC=90°-∠AOC=90°-30°=60°$.当OM平分$∠BOC$时，$∠MOC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{180°-∠AOC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，则$3t=75°-60°$，解得$t=5$.结论：ON平分$∠AOC$，理由如下：因为$∠CON=90°-∠MOC$，$∠AOC=180°-∠BOC=2(90°-∠MOC)$，所以$∠AOC=2∠CON$，所以ON平分$∠AOC$. (2)经过5 s或115 s，OC平分$∠MON$.理由如下：$∠MOC=∠AOM-∠AOC=(3t+90°)-(30°+6t)=60°-3t$.若OC平分$∠MON$，则$∠MOC=\frac{1}{2}∠MON$，所以$60°-3t=45°$，解得$t=5$；当OC停止，OM运动345°时，OC平分$∠MON$，则有$3t=345$，解得$t=115$.综上所述，满足条件的t的值为5或115.