【典例6】(1)已知奇函数$f(x)$的定义域为$(-2,2)$，且$f(x)$为减函数，若满足$f(x-1)+f(\dfrac{3}{2})＜0$，则$x$的取值范围是________；
(2)已知定义在$[-3,3]$上的偶函数$f(x)$满足:对任意$x_1,x_2\in[0,3]$，且$x_1≠ x_2$，都有$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＜0$成立，则不等式$f(2x-1)＜f(-x)$的解集为________。
解题指导 (1)将不等式转化为关于两个函数值的大小关系的不等式，进而列出关于自变量关系的不等式，同时注意考虑定义域。
(2)利用偶函数$f(x)=f(|x|)$(重要结论)，以及函数的单调性去掉“$f$”，转化为解关于$x$的不等式问题，同时注意考虑定义域。
解析 (1)因为$f(x)$是奇函数，且满足$f(x-1)+f(\dfrac{3}{2})＜0$，
所以$f(x-1)＜-f(\dfrac{3}{2})=f(-\dfrac{3}{2})$.(将其转化为不等号两边均为$f(x)$的形式，再利用函数的单调性求解)
因为$f(x)$在$(-2,2)$上是减函数，
所以$x-1＞-\dfrac{3}{2}$，且$-2＜x-1＜2$，
解得$-\dfrac{1}{2}＜x＜3$，即$x$的取值范围是$(-\dfrac{1}{2},3)$.
(2)因为对任意$x_1,x_2\in[0,3]$，且$x_1≠ x_2$，都有$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＜0$成立，
所以$f(x)$在$[0,3]$上单调递减.
因为$f(x)$是定义在$[-3,3]$上的偶函数，所以$f(x)$在$[-3,0]$上单调递增，
所以$\begin{cases}-3≤ 2x-1≤ 3,\\-3≤ -x≤ 3,\\|2x-1|＞|-x|,\end{cases}$(解关于偶函数的不等式时，转化为绝对值求解.若$f(x)$先增后减，$f(m)＜f(n)$，则$|m|＞|n|$；若$f(x)$先减后增，$f(m)＜f(n)$，则$|m|＜|n|$.可结合$f(x)=ax^2(a≠0)$进行分析)
解得$-1≤ x＜\dfrac{1}{3}$或$1＜x≤2$，
即解集为$[-1,\dfrac{1}{3})\cup(1,2]$.
答案 (1)$(-\dfrac{1}{2},3)$ (2)$[-1,\dfrac{1}{3})\cup(1,2]$

(1)$\boldsymbol{(-\dfrac{1}{2},3)}$；(2)$\boldsymbol{[-1,\dfrac{1}{3})\cup(1,2]}$

解：
(1) 因为$f(x)$是奇函数，所以$-f(\frac{3}{2})=f(-\frac{3}{2})$，
原不等式$f(x-1)+f(\frac{3}{2})＜0$可化为$f(x-1)＜f(-\frac{3}{2})$。
又$f(x)$是定义域为$(-2,2)$的减函数，因此列不等式组：
$\begin{cases}-2 ＜ x-1 ＜ 2 \\x-1 ＞ -\frac{3}{2}\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}-1 ＜ x ＜ 3 \\x ＞ -\frac{1}{2}\end{cases}$
取交集得$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 3$，即$x$的取值范围是$(-\frac{1}{2},3)$。
(2) 由已知条件，对任意$x_1,x_2\in[0,3]$且$x_1≠ x_2$，$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＜0$，可得$f(x)$在$[0,3]$上单调递减。
因为$f(x)$是定义在$[-3,3]$上的偶函数，故$f(x)=f(|x|)$，且$f(x)$在$[-3,0]$上单调递增。
不等式$f(2x-1)＜f(-x)$等价于：
$\begin{cases}-3 ≤ 2x-1 ≤ 3 \\-3 ≤ -x ≤ 3 \\|2x-1| ＞ |-x|\end{cases}$
分别求解三个不等式：
① 由$-3≤ 2x-1≤ 3$得$-1≤ x≤ 2$；
② 由$-3≤ -x≤ 3$得$-3≤ x≤ 3$；
③ 对$|2x-1|＞|x|$两边平方得$4x^2-4x+1＞x^2$，即$3x^2-4x+1＞0$，解得$x＜\frac{1}{3}$或$x＞1$。
取三者的交集得$-1≤ x ＜ \frac{1}{3}$或$1＜x≤ 2$，即不等式的解集为$[-1,\frac{1}{3})\cup(1,2]$。

【变式5】(一题多解)若函数$f(x)=x^2 - 2x + 6$，求关于$m$的不等式$f(m+3) ＞ f(2m)$的解集.

方法1:因为$f(x)=x^2-2x+6=(x-1)^2+5$,所以$f(x+1)=(x+1-1)^2+5=x^2+5$,即$f(x+1)$为偶函数.设$g(x)=f(x+1)$,则函数$g(x)$为偶函数,并且在$[0,+∞)$上单调递增,所以不等式$f(m+3)＞f(2m)$可转化为$f(m+2+1)＞f(2m-1+1)$,即$g(m+2)＞g(2m-1)$,则$g(|m+2|)＞g(|2m-1|)$,所以$|m+2|＞|2m-1|$.两边平方后,得$3m^2-8m-3＜0$,解得$-\frac{1}{3}＜m＜3$,所以不等式的解集为$(-\frac{1}{3},3)$.
方法2:函数$f(x)=x^2-2x+6$的图象开口向上,对称轴为$x=1$.由$f(m+3)＞f(2m)$,得$|m+3-1|＞|2m-1|$,解得$-\frac{1}{3}＜m＜3$,所以不等式的解集为$(-\frac{1}{3},3)$.