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1. 下列说法错误的是()
A.等腰三角形是轴对称图形
B.等腰三角形的两个底角相等
C.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
D.等边三角形是特殊的等腰三角形
A.等腰三角形是轴对称图形
B.等腰三角形的两个底角相等
C.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
D.等边三角形是特殊的等腰三角形
答案
C
解析
【分析】本题考查等腰三角形的相关性质，需逐一分析各选项：回忆等腰三角形的定义、轴对称性、角与线段的性质，以及等边三角形和等腰三角形的关系，判断每个选项的正误，找出错误的说法。
【解析】A选项：等腰三角形沿底边的中垂线对折，直线两旁的部分可完全重合，因此是轴对称图形，该说法正确；B选项：等腰三角形的核心性质之一是两个底角相等，该说法正确；C选项：等腰三角形的“三线合一”特指顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，并非所有角平分线、中线、高线都重合（如底角的角平分线与底边的中线、高线不重合），该说法错误；D选项：等边三角形满足“至少有两条边相等”的等腰三角形定义，是特殊的等腰三角形，该说法正确。综上，错误的说法是C选项。
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质、轴对称图形、等边三角形与等腰三角形的关系
【点评】本题为基础概念题，重点考查等腰三角形的核心性质，尤其是“三线合一”的适用条件，需准确区分相关概念，避免概念混淆。
【难度系数】0.8
【解析】A选项：等腰三角形沿底边的中垂线对折，直线两旁的部分可完全重合，因此是轴对称图形，该说法正确；B选项：等腰三角形的核心性质之一是两个底角相等，该说法正确；C选项：等腰三角形的“三线合一”特指顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，并非所有角平分线、中线、高线都重合（如底角的角平分线与底边的中线、高线不重合），该说法错误；D选项：等边三角形满足“至少有两条边相等”的等腰三角形定义，是特殊的等腰三角形，该说法正确。综上，错误的说法是C选项。
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质、轴对称图形、等边三角形与等腰三角形的关系
【点评】本题为基础概念题，重点考查等腰三角形的核心性质，尤其是“三线合一”的适用条件，需准确区分相关概念，避免概念混淆。
【难度系数】0.8
2.如图,在等腰三角形 ABC 中,BD 是腰 AC 上的高,BE 是$∠ABC$的平分线。
若$∠CBD=25°$,则$∠DBE=$()
A.$12.5°$
B.$7.5°$
C.$6.5°$
D.$6.25°$
若$∠CBD=25°$,则$∠DBE=$()
A.$12.5°$
B.$7.5°$
C.$6.5°$
D.$6.25°$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下步骤推导：首先，利用BD是AC上的高，在直角三角形BDC中求出∠C的度数；接着，根据等腰三角形ABC的性质，得到∠ABC与∠C相等；然后，结合BE是∠ABC的平分线，算出∠CBE的度数；最后，用∠CBE减去已知的∠CBD，即可得到∠DBE的度数。
【解析】
1. 因为BD是AC上的高，所以∠BDC=90°。在Rt△BDC中，根据直角三角形两锐角互余，可得∠C=90°−∠CBD=90°−25°=65°。
2. 由于△ABC是等腰三角形，AC、AB为腰，因此底角∠ABC=∠C=65°。
3. 因为BE是∠ABC的平分线，根据角平分线的定义，∠CBE=½∠ABC=½×65°=32.5°。
4. 所以∠DBE=∠CBE−∠CBD=32.5°−25°=7.5°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、角平分线定义
【点评】
本题结合等腰三角形、直角三角形和角平分线的知识点考查角度计算，关键是利用直角三角形的锐角关系、等腰三角形底角相等的性质，结合角平分线的定义逐步推导，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们可以按以下步骤推导：首先，利用BD是AC上的高，在直角三角形BDC中求出∠C的度数；接着，根据等腰三角形ABC的性质，得到∠ABC与∠C相等；然后，结合BE是∠ABC的平分线，算出∠CBE的度数；最后，用∠CBE减去已知的∠CBD，即可得到∠DBE的度数。
【解析】
1. 因为BD是AC上的高，所以∠BDC=90°。在Rt△BDC中，根据直角三角形两锐角互余，可得∠C=90°−∠CBD=90°−25°=65°。
2. 由于△ABC是等腰三角形，AC、AB为腰，因此底角∠ABC=∠C=65°。
3. 因为BE是∠ABC的平分线，根据角平分线的定义，∠CBE=½∠ABC=½×65°=32.5°。
4. 所以∠DBE=∠CBE−∠CBD=32.5°−25°=7.5°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、角平分线定义
【点评】
本题结合等腰三角形、直角三角形和角平分线的知识点考查角度计算，关键是利用直角三角形的锐角关系、等腰三角形底角相等的性质，结合角平分线的定义逐步推导，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
3. 若等腰三角形的一个角为$70°$，则其底角为()
A.$55°$
B.$70°$或$40°$
C.$55°$或$70°$
D.$40°$
A.$55°$
B.$70°$或$40°$
C.$55°$或$70°$
D.$40°$
答案
C
解析
【分析】本题需结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于题目未明确70°角是顶角还是底角，因此要分两种情况讨论，避免漏解，分别计算两种情况下的底角，再结合选项得出答案。
【解析】分两种情况讨论：
1. 若70°角为等腰三角形的顶角，根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和为180°，则底角为：$\frac{180° - 70°}{2} = 55°$；
2. 若70°角为等腰三角形的底角，此时另一个底角也为70°，顶角为$180° - 70°×2 = 40°$，符合三角形内角和定理，该情况成立。
综上，该等腰三角形的底角为55°或70°，对应选项C。
【答案】C
【知识点】等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】本题考查等腰三角形的性质与分类讨论思想的应用，解题关键是对未知类型的角进行分类，结合内角和定理计算，避免因忽略情况导致错解，属于基础常考题。
【难度系数】0.6
【解析】分两种情况讨论：
1. 若70°角为等腰三角形的顶角，根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和为180°，则底角为：$\frac{180° - 70°}{2} = 55°$；
2. 若70°角为等腰三角形的底角，此时另一个底角也为70°，顶角为$180° - 70°×2 = 40°$，符合三角形内角和定理，该情况成立。
综上，该等腰三角形的底角为55°或70°，对应选项C。
【答案】C
【知识点】等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】本题考查等腰三角形的性质与分类讨论思想的应用，解题关键是对未知类型的角进行分类，结合内角和定理计算，避免因忽略情况导致错解，属于基础常考题。
【难度系数】0.6
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,AD\bot BC$于点$D$,下列结论不一定正确的是()
A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$BD=AD$
D.$BD=CD$
A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$BD=AD$
D.$BD=CD$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需结合等腰三角形的性质分析各选项：已知△ABC中AB=AC，说明它是等腰三角形，AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的高、顶角平分线、底边上的中线互相重合），逐一判断选项是否正确，找出不一定正确的结论。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，
根据等腰三角形两底角相等，可得∠B=∠C，故选项A正确；
∵ AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”，AD是顶角∠BAC的平分线，
∴ ∠1=∠2，故选项B正确；
同时，AD是底边BC的中线，
∴ BD=CD，故选项D正确；
而BD是底边BC的一半，AD是底边上的高，只有当△ABC是等腰直角三角形时，BD=AD才成立，一般等腰三角形中BD与AD不一定相等，故选项C不一定正确。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三线合一
【点评】
本题考查等腰三角形的基本性质，核心是“三线合一”的应用，需准确理解等腰三角形中高、角平分线、中线的关系，属于基础题型，需注意区分等腰三角形中线段和角的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合等腰三角形的性质分析各选项：已知△ABC中AB=AC，说明它是等腰三角形，AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的高、顶角平分线、底边上的中线互相重合），逐一判断选项是否正确，找出不一定正确的结论。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，
根据等腰三角形两底角相等，可得∠B=∠C，故选项A正确；
∵ AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”，AD是顶角∠BAC的平分线，
∴ ∠1=∠2，故选项B正确；
同时，AD是底边BC的中线，
∴ BD=CD，故选项D正确；
而BD是底边BC的一半，AD是底边上的高，只有当△ABC是等腰直角三角形时，BD=AD才成立，一般等腰三角形中BD与AD不一定相等，故选项C不一定正确。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三线合一
【点评】
本题考查等腰三角形的基本性质，核心是“三线合一”的应用，需准确理解等腰三角形中高、角平分线、中线的关系，属于基础题型，需注意区分等腰三角形中线段和角的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.6
5. 已知等腰三角形的一边长为 3 cm，另一边长为 7 cm，则它的周长为________。
答案
17 cm
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形的性质和三角形三边关系解题，思路是先根据等腰三角形“两腰相等”的特点分两种情况讨论边长，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若腰长为3cm，底边长为7cm，此时三边长为3cm、3cm、7cm。因为3+3=6cm＜7cm，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况；
2. 若腰长为7cm，底边长为3cm，此时三边长为7cm、7cm、3cm。因为7+3=10cm＞7cm，7+7=14cm＞3cm，满足三角形三边关系，可构成三角形。
因此周长为7+7+3=17cm。
【答案】
17 cm
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础易错题，需注意等腰三角形的边长要结合三角形三边关系验证，避免出现不符合构成条件的情况，考查对性质和关系的综合运用。
【难度系数】
0.6
本题需结合等腰三角形的性质和三角形三边关系解题，思路是先根据等腰三角形“两腰相等”的特点分两种情况讨论边长，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若腰长为3cm，底边长为7cm，此时三边长为3cm、3cm、7cm。因为3+3=6cm＜7cm，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况；
2. 若腰长为7cm，底边长为3cm，此时三边长为7cm、7cm、3cm。因为7+3=10cm＞7cm，7+7=14cm＞3cm，满足三角形三边关系，可构成三角形。
因此周长为7+7+3=17cm。
【答案】
17 cm
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础易错题，需注意等腰三角形的边长要结合三角形三边关系验证，避免出现不符合构成条件的情况，考查对性质和关系的综合运用。
【难度系数】
0.6
6.若等腰三角形的一个内角为$40°$,则它的顶角等于。
答案
$40°$或$100°$
解析
【分析】
本题需利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，关键在于已知内角未明确是顶角还是底角，需分两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若$40°$的角为顶角，则顶角就是$40°$；
2. 若$40°$的角为底角，根据等腰三角形两底角相等，另一个底角也为$40°$，结合三角形内角和为$180°$，可得顶角为：$180° - 40°×2 = 100°$；
综上，该等腰三角形的顶角为$40°$或$100°$。
【答案】
$40°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形的角的分类讨论，需注意题目未明确已知角是顶角还是底角，培养学生的分类思想，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，关键在于已知内角未明确是顶角还是底角，需分两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若$40°$的角为顶角，则顶角就是$40°$；
2. 若$40°$的角为底角，根据等腰三角形两底角相等，另一个底角也为$40°$，结合三角形内角和为$180°$，可得顶角为：$180° - 40°×2 = 100°$；
综上，该等腰三角形的顶角为$40°$或$100°$。
【答案】
$40°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形的角的分类讨论，需注意题目未明确已知角是顶角还是底角，培养学生的分类思想，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$为$△ ABC$的中线,点$E$在$AB$上,$AD=AE$,连接$DE$。若$∠ BAC=76°$,求$∠ BDE$的度数。
答案
解：
已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：
$AD⊥ BC$，且$AD$平分$∠ BAC$。
由$∠ BAC=76°$，得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×76°=38°$
又因为$AD=AE$，所以$△ ADE$是等腰三角形，其底角为：
$∠ ADE=∠ AED=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-38°}{2}=71°$
结合$AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$，可得：
$∠ BDE=∠ ADB-∠ ADE=90°-71°=19°$
答：$∠ BDE$的度数为$19°$。
已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：
$AD⊥ BC$，且$AD$平分$∠ BAC$。
由$∠ BAC=76°$，得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×76°=38°$
又因为$AD=AE$，所以$△ ADE$是等腰三角形，其底角为：
$∠ ADE=∠ AED=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-38°}{2}=71°$
结合$AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$，可得：
$∠ BDE=∠ ADB-∠ ADE=90°-71°=19°$
答：$∠ BDE$的度数为$19°$。
解析
【分析】
要计算∠BDE的度数，需结合等腰三角形的性质逐步推导：首先，由AB=AC，AD是中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分∠BAC且AD⊥BC；接着，利用AD=AE，结合等腰三角形内角和算出∠ADE的度数；最后，通过∠ADB=90°，用∠ADB减去∠ADE即可得到∠BDE的度数。
【解析】
∵ AB=AC，AD为△ABC的中线，
∴ 根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，
∴ ∠BAD = ½∠BAC = ½×76° = 38°，∠ADB = 90°。
又
∵ AD=AE，
∴ △ADE是等腰三角形，顶角∠DAE=∠BAD=38°，
∴ ∠ADE = ½(180° - ∠DAE) = ½×(180° - 38°) = 71°。
∴ ∠BDE = ∠ADB - ∠ADE = 90° - 71° = 19°。
【答案】
19°
【知识点】
等腰三角形性质，角度计算
【点评】
本题主要考查等腰三角形的“三线合一”性质和等腰三角形内角和定理，解题关键是利用等腰三角形的性质求出相关角度，步骤清晰，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算∠BDE的度数，需结合等腰三角形的性质逐步推导：首先，由AB=AC，AD是中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分∠BAC且AD⊥BC；接着，利用AD=AE，结合等腰三角形内角和算出∠ADE的度数；最后，通过∠ADB=90°，用∠ADB减去∠ADE即可得到∠BDE的度数。
【解析】
∵ AB=AC，AD为△ABC的中线，
∴ 根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，
∴ ∠BAD = ½∠BAC = ½×76° = 38°，∠ADB = 90°。
又
∵ AD=AE，
∴ △ADE是等腰三角形，顶角∠DAE=∠BAD=38°，
∴ ∠ADE = ½(180° - ∠DAE) = ½×(180° - 38°) = 71°。
∴ ∠BDE = ∠ADB - ∠ADE = 90° - 71° = 19°。
【答案】
19°
【知识点】
等腰三角形性质，角度计算
【点评】
本题主要考查等腰三角形的“三线合一”性质和等腰三角形内角和定理，解题关键是利用等腰三角形的性质求出相关角度，步骤清晰，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
8.如图,在$△ ABC$中,D 是 BC 的中点,$DE ⊥ AB$于点 E,$DF ⊥ AC$于点 F,且$∠ BDE = ∠ CDF$。请说明:AD 平分$∠ BAC$。
答案
AD平分$∠ BAC$得证，证明过程如上。
解析
【分析】要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF。因此先利用已知条件证明△BDE与△CDF全等，得到DE=DF，进而推出AD平分∠BAC。
【解析】
1. 因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠DEB=∠DFC=90°；
2. 已知D是BC的中点，故BD=CD；
3. 在△BDE和△CDF中：
∠DEB=∠DFC，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
所以△BDE≌△CDF（AAS）；
4. 由全等三角形的性质，可得DE=DF；
5. 又因为DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），因此AD平分∠BAC。
【答案】AD平分∠BAC得证。
【知识点】全等三角形的判定（AAS），角平分线的判定定理
【点评】本题为几何基础证明题，核心考查全等三角形的判定与角平分线的判定，解题关键是通过已知条件证明三角形全等得到线段相等，再结合角平分线的判定完成结论推导，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠DEB=∠DFC=90°；
2. 已知D是BC的中点，故BD=CD；
3. 在△BDE和△CDF中：
∠DEB=∠DFC，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
所以△BDE≌△CDF（AAS）；
4. 由全等三角形的性质，可得DE=DF；
5. 又因为DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），因此AD平分∠BAC。
【答案】AD平分∠BAC得证。
【知识点】全等三角形的判定（AAS），角平分线的判定定理
【点评】本题为几何基础证明题，核心考查全等三角形的判定与角平分线的判定，解题关键是通过已知条件证明三角形全等得到线段相等，再结合角平分线的判定完成结论推导，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.6
