7. 如图,点 E 在正方形ABCD 的边CD 上,将△ADE 绕点A 顺时针旋转$90°$到△ABF 的位置,过点 A 作 EF 的垂线,垂足为 H,与 BC 交于点 G.若$BG=3,CG=2$,则CE 的长为________.

$\dfrac{15}{4}$

1. 确定正方形边长：已知BG=3，CG=2，因此BC=BG+CG=5，由正方形性质可得AB=BC=CD=AD=5。
2. 利用旋转性质：△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，故△ADE≌△ABF，可得DE=BF，AE=AF，且旋转角∠EAF=90°。
3. 由等腰三角形三线合一性质：AE=AF，AG⊥EF，因此AG是线段EF的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得GE=GF。
4. 设CE=x，则DE=CD-CE=5-x，因此BF=DE=5-x，可得GF=BF+BG=(5-x)+3=8-x。
5. 在Rt△ECG中，由勾股定理得：$GE^2=CE^2+CG^2=x^2+2^2=x^2+4$。
6. 结合GE=GF，代入得方程：$(8-x)^2=x^2+4$，展开化简得$64-16x+x^2=x^2+4$，解得$x=\frac{15}{4}$。

三、解答题
8. 如图,已知在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,$AE ⊥ BD$,$CF ⊥ BD$,垂足分别为点$E,F$.求证:$AE=CF$.

$AE=CF$得证。

我们可以结合平行四边形的性质与全等三角形的判定完成证明，推导过程如下：
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OA=OC$。
2. 已知$AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，因此$∠ AEO=∠ CFO=90°$。
3. $∠ AOE$与$∠ COF$是直线$AC$、$BD$相交形成的对顶角，因此$∠ AOE=∠ COF$。
4. 在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ AEO = ∠ CFO \\∠ AOE = ∠ COF \\OA = OC\end{cases}$
依据AAS（角角边）全等判定定理，可判定$△ AOE ≌ △ COF$。
5. 根据全等三角形对应边相等的性质，即可推出$AE=CF$。

9. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DB$ 平分 $∠ ADC$，$AE // BD$，$DE // AC$。
（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形。
（2）若 $BC=10$，求 $OE$ 的长。

（1）证明成立，四边形ABCD是菱形；
（2）OE的长为10。

（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB，
∴ ∠DBC = ∠CDB，
∴ CB = CD（等角对等边）。
∵ 平行四边形ABCD有一组邻边相等，
∴ 四边形ABCD是菱形。
（2）解：
∵ AE//BD，DE//AC，
∴ 四边形AODE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
由（1）得四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，即∠AOD = 90°，
∴ 平行四边形AODE是矩形（有一个内角为直角的平行四边形是矩形），
∴ OE = AD（矩形的对角线相等）。
∵ 平行四边形ABCD中AD = BC，已知BC=10，
∴ OE = AD = 10。