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3. 将一元二次方程$x^2 -6x -5=0$化成$(x+a)^2 =b$的形式，则$b$等于（
A.-4
B.4
C.-14
D.14
D
）A.-4
B.4
C.-14
D.14
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程转化为指定完全平方式的形式，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步，先将二次项系数化为1，本题二次项系数已经是1，无需额外操作；第二步，将常数项移到方程等号的右侧；第三步，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方的形式，此时等号右侧的计算结果就是要求的b的值。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 -6x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = 5$
2. 一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 5 +9$
3. 左侧整理为完全平方形式，右侧合并同类项，得：
$(x - 3)^2 =14$
对比$(x+a)^2 =b$的形式，可知$b=14$。
【答案】
D
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的标准操作步骤，熟练掌握移项规则、完全平方公式的结构特征即可快速解题，是巩固配方法基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
本题考查用配方法将一元二次方程转化为指定完全平方式的形式，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步，先将二次项系数化为1，本题二次项系数已经是1，无需额外操作；第二步，将常数项移到方程等号的右侧；第三步，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方的形式，此时等号右侧的计算结果就是要求的b的值。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 -6x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = 5$
2. 一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 5 +9$
3. 左侧整理为完全平方形式，右侧合并同类项，得：
$(x - 3)^2 =14$
对比$(x+a)^2 =b$的形式，可知$b=14$。
【答案】
D
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的标准操作步骤，熟练掌握移项规则、完全平方公式的结构特征即可快速解题，是巩固配方法基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
4*. 一元二次方程$x^2 - px +1=0$配方后为$(x - q)^2=3$，那么一元二次方程$x^2 - px -1=0$配方后为(
A.$(x - 2)^2=7$
B.$(x + 2)^2=5$
C.$(x + 2)^2=7$
D.$(x + 2)^2=5$或$(x - 2)^2=5$
D
)A.$(x - 2)^2=7$
B.$(x + 2)^2=5$
C.$(x + 2)^2=7$
D.$(x + 2)^2=5$或$(x - 2)^2=5$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先利用“两个相等的一元二次方程对应项系数相等”的性质，先从已知的配方后方程入手，展开后与原方程$x^2 - px +1=0$对比，求出$p$的取值，再将$p$代入待配方的方程$x^2 - px -1=0$，按配方法的步骤配方即可得到结果。注意平方数开方时正负两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
1. 展开已知的配方后方程：
将$(x - q)^2=3$展开得：$x^2 - 2qx + q^2 = 3$，移项整理为一般形式：$x^2 - 2qx + (q^2 - 3) = 0$。
2. 对比系数求$p$的值：
因为该方程与$x^2 - px +1=0$是同一个一元二次方程，对应项系数相等：
一次项系数：$-p = -2q$，即$p=2q$；
常数项：$q^2 - 3 = 1$，解得$q^2=4$，即$q=2$或$q=-2$。
将$q$的值代入$p=2q$，得$p=4$或$p=-4$。
3. 对$x^2 - px -1=0$配方，分两种情况：
当$p=4$时，方程为$x^2 -4x -1=0$：
移项得$x^2 -4x = 1$，两边加一次项系数一半的平方（$2^2=4$）得：$x^2 -4x +4 = 1 +4$，即$(x-2)^2=5$。
当$p=-4$时，方程为$x^2 +4x -1=0$：
移项得$x^2 +4x =1$，两边加一次项系数一半的平方（$2^2=4$）得：$x^2 +4x +4 =1 +4$，即$(x+2)^2=5$。
综上，配方后结果为$(x + 2)^2=5$或$(x - 2)^2=5$。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用，多项式相等的系数对应性质
【点评】
本题既考查配方法的逆用（从配方结果还原方程求系数），也考查配方法的正用（对给定方程配方），解题时容易遗漏$q$的负解导致漏算$p$的第二种取值，做题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用“两个相等的一元二次方程对应项系数相等”的性质，先从已知的配方后方程入手，展开后与原方程$x^2 - px +1=0$对比，求出$p$的取值，再将$p$代入待配方的方程$x^2 - px -1=0$，按配方法的步骤配方即可得到结果。注意平方数开方时正负两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
1. 展开已知的配方后方程：
将$(x - q)^2=3$展开得：$x^2 - 2qx + q^2 = 3$，移项整理为一般形式：$x^2 - 2qx + (q^2 - 3) = 0$。
2. 对比系数求$p$的值：
因为该方程与$x^2 - px +1=0$是同一个一元二次方程，对应项系数相等：
一次项系数：$-p = -2q$，即$p=2q$；
常数项：$q^2 - 3 = 1$，解得$q^2=4$，即$q=2$或$q=-2$。
将$q$的值代入$p=2q$，得$p=4$或$p=-4$。
3. 对$x^2 - px -1=0$配方，分两种情况：
当$p=4$时，方程为$x^2 -4x -1=0$：
移项得$x^2 -4x = 1$，两边加一次项系数一半的平方（$2^2=4$）得：$x^2 -4x +4 = 1 +4$，即$(x-2)^2=5$。
当$p=-4$时，方程为$x^2 +4x -1=0$：
移项得$x^2 +4x =1$，两边加一次项系数一半的平方（$2^2=4$）得：$x^2 +4x +4 =1 +4$，即$(x+2)^2=5$。
综上，配方后结果为$(x + 2)^2=5$或$(x - 2)^2=5$。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用，多项式相等的系数对应性质
【点评】
本题既考查配方法的逆用（从配方结果还原方程求系数），也考查配方法的正用（对给定方程配方），解题时容易遗漏$q$的负解导致漏算$p$的第二种取值，做题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.6
二、填空题
1. 把下列各式配成完全平方式：
(1)$x^2 -$$ + 1 = (x - 1)^2$；
(2)$x^2 - 6x + (\quad) = (x -$$)^2$；
(3)$x^2 + \frac{2}{3}x + (\quad) = (x +\_\_\_\_\_\_)^2$；
1. 把下列各式配成完全平方式：
(1)$x^2 -$$ + 1 = (x - 1)^2$；
(2)$x^2 - 6x + (\quad) = (x -$$)^2$；
(3)$x^2 + \frac{2}{3}x + (\quad) = (x +\_\_\_\_\_\_)^2$；
答案
1. (1) 2x (2) 9，3 (3) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查完全平方式的配方，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即完全平方式满足“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央”。解题时先从已知项入手确定公式中的$a$和$b$，再对应求出缺失的项即可：
1. 第(1)题已知右边的完全平方形式，直接展开后对比左边即可找到缺失项；
2. 第(2)(3)题已知二次项和一次项，先根据一次项系数等于$\pm2ab$（$a$对应二次项底数$x$）求出$b$，再计算常数项$b^2$即可。
【解析】
我们根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一求解：
(1) 先将右边展开：$(x-1)^2=x^2-2· x·1+1^2=x^2-2x+1$，对比左边$x^2-\_\_\_\_\_\_+1$，可知横线处填$2x$；
(2) 二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项为$-6x=-2ab$，代入$a=x$得：$-6x=-2· x· b$，解得$b=3$，因此常数项为$b^2=3^2=9$，右边括号内填$3$；
(3) 二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项为$+\frac{2}{3}x=2ab$，代入$a=x$得：$\frac{2}{3}x=2· x· b$，解得$b=\frac{1}{3}$，因此常数项为$b^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，右边括号内填$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $2x$ (2) $9$，$3$ (3) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式；配方法；完全平方式特征
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构的理解和应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键，这类题目是后续用配方法解一元二次方程、求代数式最值等问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方式的配方，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即完全平方式满足“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央”。解题时先从已知项入手确定公式中的$a$和$b$，再对应求出缺失的项即可：
1. 第(1)题已知右边的完全平方形式，直接展开后对比左边即可找到缺失项；
2. 第(2)(3)题已知二次项和一次项，先根据一次项系数等于$\pm2ab$（$a$对应二次项底数$x$）求出$b$，再计算常数项$b^2$即可。
【解析】
我们根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一求解：
(1) 先将右边展开：$(x-1)^2=x^2-2· x·1+1^2=x^2-2x+1$，对比左边$x^2-\_\_\_\_\_\_+1$，可知横线处填$2x$；
(2) 二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项为$-6x=-2ab$，代入$a=x$得：$-6x=-2· x· b$，解得$b=3$，因此常数项为$b^2=3^2=9$，右边括号内填$3$；
(3) 二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项为$+\frac{2}{3}x=2ab$，代入$a=x$得：$\frac{2}{3}x=2· x· b$，解得$b=\frac{1}{3}$，因此常数项为$b^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，右边括号内填$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $2x$ (2) $9$，$3$ (3) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式；配方法；完全平方式特征
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构的理解和应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键，这类题目是后续用配方法解一元二次方程、求代数式最值等问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. 将方程$x^2 - 2x - 2 = 0$进行配方的第一步是
移项
，第二步是方程两边同时加上1
。答案
2. 移项，1
解析
【分析】
要解决配方法步骤的问题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本思路：首先要把含未知数的项放在等号左边，常数项移到等号右边，再通过添加常数项把左边凑成完全平方式。观察本题方程$x^2 - 2x - 2 = 0$，二次项系数已经是1，所以第一步先做移项操作；移项后左边是$x^2-2x$，要凑完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，这里对应$a=x$，$2ab=2x$，可得$b=1$，所以需要在方程两边同时加$b^2$也就是1，即可完成配方的第二步。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
1. 首先处理方程$x^2 - 2x - 2 = 0$，第一步先移项，将常数项移到等号右侧，得到：$x^2 - 2x = 2$；
2. 第二步进行配方，对于左边$x^2-2x$，完全平方公式中一次项系数一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，因此方程两边同时加上1，左边就可以凑成完全平方式$(x-1)^2$。
【答案】
移项，1
【知识点】
配方法的步骤；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点考察配方法的操作流程，需要熟练掌握配方时“加一次项系数一半的平方”的规律，是后续用配方法解方程、求最值等内容的基础。
【难度系数】
0.85
要解决配方法步骤的问题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本思路：首先要把含未知数的项放在等号左边，常数项移到等号右边，再通过添加常数项把左边凑成完全平方式。观察本题方程$x^2 - 2x - 2 = 0$，二次项系数已经是1，所以第一步先做移项操作；移项后左边是$x^2-2x$，要凑完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，这里对应$a=x$，$2ab=2x$，可得$b=1$，所以需要在方程两边同时加$b^2$也就是1，即可完成配方的第二步。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
1. 首先处理方程$x^2 - 2x - 2 = 0$，第一步先移项，将常数项移到等号右侧，得到：$x^2 - 2x = 2$；
2. 第二步进行配方，对于左边$x^2-2x$，完全平方公式中一次项系数一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，因此方程两边同时加上1，左边就可以凑成完全平方式$(x-1)^2$。
【答案】
移项，1
【知识点】
配方法的步骤；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点考察配方法的操作流程，需要熟练掌握配方时“加一次项系数一半的平方”的规律，是后续用配方法解方程、求最值等内容的基础。
【难度系数】
0.85
3. 已知多项式$x^2 -4x +1$的值等于-3，则x=
2
.答案
3. 2
解析
【分析】
首先根据题目中多项式的值等于-3的条件，列出对应的一元二次方程，再将方程整理为标准形式，结合配方法的运算规则，把方程左边配成完全平方的形式，进而求解得到x的取值即可。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$x^2 - 4x + 1 = -3$
移项合并同类项得：
$x^2 - 4x + 4 = 0$
将方程左侧配方为完全平方形式：
$(x - 2)^2 = 0$
开方得：
$x - 2 = 0$
解得：$x=2$
【答案】
2
【知识点】
列一元二次方程、配方法解方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查根据等量关系列方程以及配方法解一元二次方程的掌握情况，计算量小，熟练掌握配方法的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.85
首先根据题目中多项式的值等于-3的条件，列出对应的一元二次方程，再将方程整理为标准形式，结合配方法的运算规则，把方程左边配成完全平方的形式，进而求解得到x的取值即可。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$x^2 - 4x + 1 = -3$
移项合并同类项得：
$x^2 - 4x + 4 = 0$
将方程左侧配方为完全平方形式：
$(x - 2)^2 = 0$
开方得：
$x - 2 = 0$
解得：$x=2$
【答案】
2
【知识点】
列一元二次方程、配方法解方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查根据等量关系列方程以及配方法解一元二次方程的掌握情况，计算量小，熟练掌握配方法的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.85
4. 当$x=$
3或7
时，代数式$x^2 - 8x$与代数式$2x - 21$的值相等。答案
4. 3或7
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据两个代数式值相等的条件列出对应的一元二次方程，再结合配方法求解方程即可得到x的值。具体思考步骤：①根据等量关系列方程；②将方程整理为左边只含二次项和一次项、右边为常数项的形式；③利用配方法将左边配方为完全平方式；④开平方求解得到x的取值。
【解析】
根据题意，两个代数式的值相等，可列方程：
$x^2 - 8x = 2x - 21$
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧：
$x^2 - 8x - 2x = -21$
合并同类项得：
$x^2 - 10x = -21$
配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-10，一半的平方为$(-5)^2=25$）：
$x^2 -10x +25 = -21 +25$
左边化为完全平方式，右边合并常数项：
$(x-5)^2 = 4$
开平方得：
$x-5 = ±2$
分别求解：
当$x-5=2$时，$x=7$；
当$x-5=-2$时，$x=3$。
【答案】
3或7
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据等量关系列方程的能力以及配方法解方程的运算能力，熟练掌握配方法的操作步骤是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先根据两个代数式值相等的条件列出对应的一元二次方程，再结合配方法求解方程即可得到x的值。具体思考步骤：①根据等量关系列方程；②将方程整理为左边只含二次项和一次项、右边为常数项的形式；③利用配方法将左边配方为完全平方式；④开平方求解得到x的取值。
【解析】
根据题意，两个代数式的值相等，可列方程：
$x^2 - 8x = 2x - 21$
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧：
$x^2 - 8x - 2x = -21$
合并同类项得：
$x^2 - 10x = -21$
配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-10，一半的平方为$(-5)^2=25$）：
$x^2 -10x +25 = -21 +25$
左边化为完全平方式，右边合并常数项：
$(x-5)^2 = 4$
开平方得：
$x-5 = ±2$
分别求解：
当$x-5=2$时，$x=7$；
当$x-5=-2$时，$x=3$。
【答案】
3或7
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据等量关系列方程的能力以及配方法解方程的运算能力，熟练掌握配方法的操作步骤是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 用配方法解下列方程:
(1) $x^2+4x=5$;
(2) $x^2-5x+3=0$;
(3) $x^2=6x+7$;
(4) $x(x+8)=9$.
1. 用配方法解下列方程:
(1) $x^2+4x=5$;
(2) $x^2-5x+3=0$;
(3) $x^2=6x+7$;
(4) $x(x+8)=9$.
答案
1. (1) $x_1=1,x_2=-5$ (2) $x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$ (3) $x_1=7,x_2=-1$ (4) $x_1=-9,x_2=1$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为完全平方式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①整理方程，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1（本题所有方程二次项系数均为1，可直接进行下一步）；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并为常数；④对完全平方式开平方，转化为两个一元一次方程，分别求解得到方程的根。我们按照这个步骤逐一求解4个小题即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2+4x=5$：
方程两边同时加上一次项系数4的一半的平方$2^2=4$，得：
$x^2+4x+4=5+4$
整理得$(x+2)^2=9$
开平方得$x+2=\pm3$
解得$x_1=1,x_2=-5$
(2) 解方程$x^2-5x+3=0$：
移项得$x^2-5x=-3$
方程两边同时加上一次项系数-5的一半的平方$(-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，得：
$x^2-5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$
整理得$(x-\frac{5}{2})^2=\frac{13}{4}$
开平方得$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$
解得$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$，即$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$
(3) 解方程$x^2=6x+7$：
移项得$x^2-6x=7$
方程两边同时加上一次项系数-6的一半的平方$(-3)^2=9$，得：
$x^2-6x+9=7+9$
整理得$(x-3)^2=16$
开平方得$x-3=\pm4$
解得$x_1=7,x_2=-1$
(4) 解方程$x(x+8)=9$：
展开整理得$x^2+8x=9$
方程两边同时加上一次项系数8的一半的平方$4^2=16$，得：
$x^2+8x+16=9+16$
整理得$(x+4)^2=25$
开平方得$x+4=\pm5$
解得$x_1=-9,x_2=1$
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-5$
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$
(3) $x_1=7,x_2=-1$
(4) $x_1=-9,x_2=1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时要注意配方时等号两边必须同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加右侧常数项导致出错，熟练掌握步骤后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为完全平方式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①整理方程，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1（本题所有方程二次项系数均为1，可直接进行下一步）；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并为常数；④对完全平方式开平方，转化为两个一元一次方程，分别求解得到方程的根。我们按照这个步骤逐一求解4个小题即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2+4x=5$：
方程两边同时加上一次项系数4的一半的平方$2^2=4$，得：
$x^2+4x+4=5+4$
整理得$(x+2)^2=9$
开平方得$x+2=\pm3$
解得$x_1=1,x_2=-5$
(2) 解方程$x^2-5x+3=0$：
移项得$x^2-5x=-3$
方程两边同时加上一次项系数-5的一半的平方$(-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，得：
$x^2-5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$
整理得$(x-\frac{5}{2})^2=\frac{13}{4}$
开平方得$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$
解得$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$，即$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$
(3) 解方程$x^2=6x+7$：
移项得$x^2-6x=7$
方程两边同时加上一次项系数-6的一半的平方$(-3)^2=9$，得：
$x^2-6x+9=7+9$
整理得$(x-3)^2=16$
开平方得$x-3=\pm4$
解得$x_1=7,x_2=-1$
(4) 解方程$x(x+8)=9$：
展开整理得$x^2+8x=9$
方程两边同时加上一次项系数8的一半的平方$4^2=16$，得：
$x^2+8x+16=9+16$
整理得$(x+4)^2=25$
开平方得$x+4=\pm5$
解得$x_1=-9,x_2=1$
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-5$
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$
(3) $x_1=7,x_2=-1$
(4) $x_1=-9,x_2=1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时要注意配方时等号两边必须同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加右侧常数项导致出错，熟练掌握步骤后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 把方程$x^2 - 3x + p = 0$配方，得到$(x + m)^2 = 4$. (1)求$m$和$p$的值；(2)解这个方程.
答案
(1) $m=-\frac{3}{2},p=-\frac{7}{4}$ (2) $x_1=\frac{7}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题核心考查配方法的应用及一元二次方程的解法。第(1)问可通过两种思路求解：思路一是将配方后的方程展开为一元二次方程的一般形式，与原方程对比，令对应项系数相等，即可列方程求出m和p的值；思路二是直接对原方程进行配方，再与题干给出的配方结果对比，得到m和p的取值。第(2)问将m代入配方后的方程，用直接开平方法求解即可。
【解析】
(1) 对原方程进行配方：
将原方程$x^2 - 3x + p = 0$移项，得$x^2 - 3x = -p$，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = -p + \frac{9}{4}$，即$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} - p$。
已知配方结果为$(x + m)^2 = 4$，对比可得：
$m = -\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4} - p = 4$，
解得$p = \frac{9}{4} - 4 = -\frac{7}{4}$。
(2) 将$m=-\frac{3}{2}$代入$(x + m)^2 = 4$，得$(x - \frac{3}{2})^2 = 4$，
两边直接开平方，得$x - \frac{3}{2} = ±2$，
当$x - \frac{3}{2} = 2$时，$x = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$；
当$x - \frac{3}{2} = -2$时，$x = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $m=-\frac{3}{2},p=-\frac{7}{4}$；(2) $x_1=\frac{7}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题是配方法的基础典型题，重点考查配方的核心操作规则和配方后解方程的方法，能帮助学生巩固配方法的步骤，熟练掌握一元二次方程的配方技巧。
【难度系数】
0.75
本题核心考查配方法的应用及一元二次方程的解法。第(1)问可通过两种思路求解：思路一是将配方后的方程展开为一元二次方程的一般形式，与原方程对比，令对应项系数相等，即可列方程求出m和p的值；思路二是直接对原方程进行配方，再与题干给出的配方结果对比，得到m和p的取值。第(2)问将m代入配方后的方程，用直接开平方法求解即可。
【解析】
(1) 对原方程进行配方：
将原方程$x^2 - 3x + p = 0$移项，得$x^2 - 3x = -p$，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = -p + \frac{9}{4}$，即$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} - p$。
已知配方结果为$(x + m)^2 = 4$，对比可得：
$m = -\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4} - p = 4$，
解得$p = \frac{9}{4} - 4 = -\frac{7}{4}$。
(2) 将$m=-\frac{3}{2}$代入$(x + m)^2 = 4$，得$(x - \frac{3}{2})^2 = 4$，
两边直接开平方，得$x - \frac{3}{2} = ±2$，
当$x - \frac{3}{2} = 2$时，$x = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$；
当$x - \frac{3}{2} = -2$时，$x = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $m=-\frac{3}{2},p=-\frac{7}{4}$；(2) $x_1=\frac{7}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题是配方法的基础典型题，重点考查配方的核心操作规则和配方后解方程的方法，能帮助学生巩固配方法的步骤，熟练掌握一元二次方程的配方技巧。
【难度系数】
0.75
