10.与$2÷3÷4$的运算结果相同的是()。

A.$4÷2÷3$
B.$2÷(3×4)$
C.$2÷(3÷4)$
D.$3÷2÷4$

10.B

【分析】
本题考查有理数的连除运算，解题有两种思路：一是先计算出原式$2÷3÷4$的运算结果，再分别计算四个选项的结果，对比找到相同的即可；二是利用除法的运算性质：一个数连续除以两个非零数，等于这个数除以这两个数的乘积，直接匹配符合该性质的选项，这种方法更简便。
【解析】
方法1：计算结果比对
先计算原式：$2÷3÷4=\frac{2}{3}÷4=\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$
逐一计算选项：
A选项：$4÷2÷3=2÷3=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}≠\frac{1}{6}$，不符合要求；
B选项：$2÷(3×4)=2÷12=\frac{1}{6}$，和原式结果相同，符合要求；
C选项：$2÷(3÷4)=2÷\frac{3}{4}=2×\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}≠\frac{1}{6}$，不符合要求；
D选项：$3÷2÷4=\frac{3}{2}÷4=\frac{3}{8}$，$\frac{3}{8}≠\frac{1}{6}$，不符合要求。
方法2：利用除法运算性质
根据除法连除的运算性质：$a÷b÷c=a÷(b×c)$（$b、c$均不为0），可得$2÷3÷4=2÷(3×4)$，直接对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
有理数除法运算、除法的运算性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，既可以通过逐个计算结果比对解答，也可以利用除法的运算性质快速锁定答案，熟练掌握运算性质能有效提升解题效率、降低计算错误率。
【难度系数】
0.8

11.计算：
(1)$\frac{29}{8} - (-\frac{5}{6}) ÷ (-\frac{7}{24})$；
(2)$(-5) ÷ (-0.2) × (-\frac{2}{7}) + \left| -\frac{1}{7} \right|$；
(3)$( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} ) ÷ ( -\frac{1}{60} )$。

11.解:(1)原式$=\dfrac{29}{8}-\dfrac{5}{6}×\dfrac{24}{7}=\dfrac{29}{8}-\dfrac{20}{7}=\dfrac{43}{56}$。
(2)原式$=-5×5×\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{7}=-\dfrac{50}{7}+\dfrac{1}{7}=-\dfrac{49}{7}=-7$。
(3)原式$=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5})×(-60)=-30+20-15+12=-13$。

【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题需遵循运算规则逐步计算：①先明确运算优先级：先乘除后加减，同级运算从左到右计算，有括号先算括号内的运算；②除法运算先转化为乘法运算（除以一个不为0的数等于乘它的倒数），先确定运算符号（同号得正、异号得负），再计算绝对值部分；③第(3)问将除法转化为乘法后，可利用乘法分配律计算，避免先通分括号内分数的复杂运算，提升计算效率和准确率。
【解析】
(1) 先计算除法部分：$(-\frac{5}{6})÷(-\frac{7}{24})=\frac{5}{6}×\frac{24}{7}=\frac{20}{7}$，再计算减法：
原式$=\frac{29}{8}-\frac{20}{7}=\frac{29×7 - 20×8}{56}=\frac{203 - 160}{56}=\frac{43}{56}$
(2) 先化简绝对值$\left| -\frac{1}{7} \right|=\frac{1}{7}$，再从左到右计算乘除部分：$(-5)÷(-0.2)=(-5)×(-5)=25$，$25×(-\frac{2}{7})=-\frac{50}{7}$，最后计算加减：
原式$=-\frac{50}{7}+\frac{1}{7}=\frac{-50+1}{7}=\frac{-49}{7}=-7$
(3) 先将除法转化为乘法：除以$(-\frac{1}{60})$等于乘$-60$，再利用乘法分配律展开计算：
原式$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5})×(-60)$
$=\frac{1}{2}×(-60) - \frac{1}{3}×(-60) + \frac{1}{4}×(-60) - \frac{1}{5}×(-60)$
$=-30 + 20 -15 +12 = -13$
【答案】
(1)$\frac{43}{56}$；(2)$-7$；(3)$-13$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律的应用、绝对值的化简
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和符号的判断，计算时要先定符号再算数值，合理运用运算律可大幅降低计算量、减少出错概率，这类运算能力是后续代数学习的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

12.(1)一个数的$\frac{17}{5}$倍是－6，求这个数；
(2)一个数与$\frac{7}{3}$的积是$-\frac{46}{7}$，求这个数。

12.(1)$-\dfrac{30}{17}$ (2)$-\dfrac{138}{49}$

【分析】
这两道题都属于已知两个数的积和其中一个因数，求另一个因数的基础运算题，根据乘除互逆的关系，求未知因数直接用积除以已知因数即可。解题时遵循有理数除法运算规则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先根据“异号相除得负”确定结果符号，再计算绝对值的乘积得到最终结果。
【解析】
(1) 根据题意，未知量 = 积 ÷ 已知倍数，列式计算：
$\begin{aligned}-6 ÷ \frac{17}{5}&=-6 × \frac{5}{17}\\&=-\frac{6×5}{17}\\&=-\frac{30}{17}\end{aligned}$
(2) 根据题意，未知量 = 积 ÷ 已知乘数，列式计算：
$\begin{aligned}-\frac{46}{7} ÷ \frac{7}{3}&=-\frac{46}{7} × \frac{3}{7}\\&=-\frac{46×3}{7×7}\\&=-\frac{138}{49}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{30}{17}$ (2)$-\dfrac{138}{49}$
【知识点】
有理数除法运算、有理数乘法运算、乘除互逆关系
【点评】
本题是有理数乘除的基础应用题型，解题核心是正确理解乘除互逆关系列出算式，计算时注意符号判断和倒数的正确转化，属于必须掌握的基础运算类题目。
【难度系数】
0.8

13.【数学应用】若“!”表示一种新运算，并且$1!=1,2!=2×1,3!=3×2×1$，则$100!÷99!$的运算结果是多少？

13.解:$100!÷99!=100×99!÷99!=100$。

【分析】
解题时首先要明确题目给出的新运算“!”的定义：n!表示从n开始依次递减1的所有正整数的连乘积，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×1。观察所求式子100!÷99!，可将100!拆分为100×99!，这样分子分母就出现相同的项99!，利用除法的性质约去相同的非零项，即可快速得出结果，不需要计算出两个阶乘的具体数值，避免复杂计算。
【解析】
根据新运算的定义可知：
100! = 100×99×98×…×1 = 100×99!将其代入原式计算：100!÷99! = 100×99!÷99! = 100
【答案】
100
【知识点】
新定义运算；有理数除法运算；约分计算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解与应用，解题的核心是准确把握“!”的运算规律，通过拆分构造相同项约分简化计算，避免了大数运算的繁琐。
【难度系数】
0.8

14.【综合与实践】阅读下列材料：
计算：$\frac{1}{24}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$。
解法一：原式=$\frac{1}{24}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{24}÷\frac{1}{4}+\frac{1}{24}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{24}×3-\frac{1}{24}×4+\frac{1}{24}×12=\frac{11}{24}$。
解法二：原式的倒数=$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{24}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×24=24×\frac{1}{3}-24×\frac{1}{4}+24×\frac{1}{12}=4$，所以原式=$\frac{1}{4}$。
(1)上述两种解法得到的结果不同，解法是错误的；
(2)请你选择合适的解法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$。

14.(1)一
(2)原式的倒数为$(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})÷(-\dfrac{1}{42})=\dfrac{1}{6}×(-42)-\dfrac{3}{14}×(-42)+\dfrac{2}{3}×(-42)-\dfrac{2}{7}×(-42)=-7+9-28+12=-14$，所以原式$=-\dfrac{1}{14}$。

【分析】
第(1)问：首先回忆运算律的适用规则，乘法有分配律，但除法没有分配律，解法一错误地将被除数分别除以括号内的每一项，不符合除法的运算逻辑，据此可判断错误解法。第(2)问：观察式子特征，除数是多个分数的和差，直接通分计算括号内结果比较繁琐，可借鉴题中解法二的倒数法：先计算原式的倒数，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简便计算，最后对倒数的结果取倒数即可得到原式的值。
【解析】
(1) 除法不存在分配律，不能将被除数拆分后分别除以括号内的各项，解法一误用运算律，因此解法一是错误的。
(2) 采用倒数法计算：
先求原式的倒数：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)\\=&-7+9-28+12\\=&-14\end{aligned}$
因为上述结果是原式的倒数，因此原式为$-14$的倒数，即$-\frac{1}{14}$。
【答案】
(1)一；(2)$-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数乘除运算、乘法分配律、倒数的应用
【点评】
本题考查有理数除法的运算技巧，解题时要注意运算律的适用范围，切勿误用除法分配律；当除数为多个数的和差形式时，利用倒数法将除法转化为乘法，结合乘法分配律可大幅简化计算，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7

15.【数学应用】有若干数，第1个数记为$a_1$，第2个数记为$a_2$……第n个数记为$a_n$。若$a_1=\frac{1}{2}$，从第2个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数，试计算$a_2=$，$a_3=$，$a_4=$，$a_{2027}=$。

15.$2\ \ -1\ \ \dfrac{1}{2}\ \ 2$

【分析】
解题时首先明确题目给出的递推规则：从第2个数起，每个数等于1与前一个数的差的倒数，即$a_n=\frac{1}{1-a_{n-1}}(n≥2)$。第一步先代入$a_1$的值依次计算$a_2,a_3,a_4$，观察数值变化规律，会发现数列是周期循环数列，找到循环周期后，用2027除以周期得到余数，根据余数即可对应求出$a_{2027}$的值。
【解析】
已知$a_1=\frac{1}{2}$，根据题意计算：
1. 计算$a_2$：$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
2. 计算$a_3$：$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1$
3. 计算$a_4$：$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$
观察可得：$a_4=a_1$，说明数列每3个数为一个周期循环，循环节为$\frac{1}{2},2,-1$。
接下来计算2027除以3的余数：$2027÷3=675······2$，余数为2，说明$a_{2027}$与周期内第2个数相等，即$a_{2027}=a_2=2$。
【答案】
$2$；$-1$；$\frac{1}{2}$；$2$
【知识点】
1. 倒数的计算
2. 有理数四则运算
3. 周期数列规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期求解大项数对应的数值，既考查基础运算能力，也考查归纳总结的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7