5.阅读下面的计算过程：
$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$；
$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 × 3}{3 × 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$；
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1} = \sqrt{2} - 1$；
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$；
这里把分母中的根号化去的过程就是“分母有理化”。
（1）请仿照上面的方法将分母有理化：
；（$n$为正整数）。
（2）利用分母有理化的方法计算：
$( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{220} + \sqrt{219}} )(\sqrt{220} + 1)$。

5. (1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$； $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
(2) 原式= $(\sqrt{220}-1)(\sqrt{220}+1)$
= $(\sqrt{220})^2 - 1^2 = 219$.

【分析】
（1）对于分母为两个二次根式和的形式，分母有理化的核心是利用平方差公式，给分子、分母同时乘分母的有理化因式（即将分母两个项中间的加号改为减号得到的式子），消去分母的根号。第一小题分母是$\sqrt{7}+\sqrt{6}$，有理化因式为$\sqrt{7}-\sqrt{6}$，计算即可得到结果；第二小题是通用形式，分母为$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$，有理化因式为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，化简后可得通用规律。
（2）先利用（1）中得到的规律，把括号内的每一项都分母有理化，会发现相邻两项可以相互抵消，化简后括号内仅剩$\sqrt{220}-1$，再利用平方差公式计算与$(\sqrt{220}+1)$的乘积即可得到结果。
【解析】
（1）①对$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$分母有理化：
分子分母同乘$\sqrt{7}-\sqrt{6}$，得
$\frac{1×(\sqrt{7}-\sqrt{6})}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
②对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（$n$为正整数）分母有理化：
分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，得
$\frac{1×(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
（2）先化简括号内的式子：
根据（1）的规律，每一项拆分后为：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，……，$\frac{1}{\sqrt{220}+\sqrt{219}}=\sqrt{220}-\sqrt{219}$
将上述式子代入原式括号内：
括号内$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{220}-\sqrt{219})$
抵消中间项后，仅剩$\sqrt{220}-1$
则原式$=(\sqrt{220}-1)(\sqrt{220}+1)$
利用平方差公式计算：
$=(\sqrt{220})^2 - 1^2=220-1=219$
【答案】
(1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$；$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(2) $219$
【知识点】
分母有理化；二次根式的运算；平方差公式
【点评】
本题重点考查分母有理化的方法和裂项相消的运算技巧，解题时先掌握分母为二次根式和的有理化规律，再利用规律化简复杂的求和式，最后结合平方差公式快速计算，是二次根式运算的典型题型。
【难度系数】
0.7

6.阅读下面的材料,并填空:
在某数学兴趣小组的“阅读与讨论”活动中,晓雯看到一个结论:

晓雯提议在小组里展开讨论,小组成员的共同疑惑是:这个结论成立吗?怎么能说明这个等式成立?经过思考,大家一致认为利用平方根的定义“如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根”来验证.
容易算出$(\sqrt{2})^2 = 2$,这说明$\sqrt{2}$是2的平方根,如何计算$(\sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}})^2$?
大家推荐小明执笔计算,小明想了想说:“我们可利用乘法公式进行计算.”过程如下:
$(\sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}})^2$
$= (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^2$
$ - 2·\sqrt{2+\sqrt{3}}·\sqrt{2-\sqrt{3}}$
$= (\_\_\_\_\_\_) + (\_\_\_\_\_\_)$
$ - 2\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= 2 + 2 - 2 = 2.$
验证成功,小组内响起了热烈的掌声.
此时晓雯又提出了新的想法:“既然利用平方根的定义验证是正确的,那么利用根式的性质$\sqrt{a}·\sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a(a＞0)$来验证也应该成立.”谁来计算?
这次小聪上阵了,计算过程如下:
$(\sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}})·\sqrt{2}$
$= \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}.$
怎么办?计算不下去了,小聪请大家帮忙.晓雯说:“把两个大根号去掉就好了.”受晓雯的启发,小聪想,莫非两个大根号内的式子都是完全平方式?
他试着往下写:
$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$
$= \sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1} - \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1}$
$= \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}$
$= (\_\_\_\_\_\_) - (\_\_\_\_\_\_) = 2.$
再次验证成功,大家都欢呼雀跃.
阅读以上内容之后,你有什么感悟?你从中学到了什么?说出来与同学共享.
请你尝试用上述方法验证下列等式成立:
(1) $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}.$
(2)当n为正整数时,

6. $2+\sqrt{3}$, $2-\sqrt{3}$, $\sqrt{3}+1$, $\sqrt{3}-1$.
感悟:① 要善于发现和提出问题.
② 要学会联想,遇到问题能联系所学知识.
③ 只有真正理解所学知识,才会灵活运用.
④ 善于把不会解决的问题转化为会解决的问题.
⑤ 要有团队意识,遇到问题会发挥集体智慧.
⑥ 解决问题之后要反思,反思是智慧的宝库.

【分析】
本题分为补全验证过程和谈感悟两部分。解题时首先回忆二次根式的相关性质：①$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可直接用于计算前两个空缺；②$\sqrt{a^2}=|a|$，结合根号内式子的正负性去绝对值就能得到后两个空缺。感悟部分结合材料中小组探究的过程、用旧知识解决新问题的思路、转化思想等角度总结即可。
【解析】
1. 补全空缺：
计算$(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2$时，根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得结果为$2+\sqrt{3}$；同理$(\sqrt{2-\sqrt{3}})^2=2-\sqrt{3}$，因此前两个空依次填$2+\sqrt{3}$、$2-\sqrt{3}$。
化简$\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}$时，$\sqrt{3}+1＞0$，根据$\sqrt{a^2}=|a|=a(a≥0)$，可得结果为$\sqrt{3}+1$；化简$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$时，$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，即$\sqrt{3}-1＞0$，因此结果为$\sqrt{3}-1$，后两个空依次填$\sqrt{3}+1$、$\sqrt{3}-1$。
2. 感悟：结合探究过程可从问题意识、知识联想、转化思想、合作探究、解题反思等角度总结，合理即可。
【答案】
填空依次为$\boldsymbol{2+\sqrt{3}}$，$\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$，$\boldsymbol{\sqrt{3}+1}$，$\boldsymbol{\sqrt{3}-1}$；
感悟：① 要善于发现和提出问题；② 要学会联想，遇到问题能联系所学知识；③ 只有真正理解所学知识，才会灵活运用；④ 善于把不会解决的问题转化为会解决的问题；⑤ 要有团队意识，遇到问题会发挥集体智慧；⑥ 解决问题之后要反思，反思是智慧的宝库。（合理即可）
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，平方根的定义
【点评】
本题以数学小组探究活动为载体，既考查了二次根式化简、完全平方公式应用等基础知识点，又引导学生体会探究学习的方法，培养转化思想和合作探究意识，兼顾知识考查和能力素养的提升。
【难度系数】
0.7