18. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB= 8cm$,$CD= 9cm$,$E$,$F$,$G$,$H分别是AD$,$BC$,$BD$,$AC$的中点,求四边形$EGFH$的周长。

【解析】：在四边形$ABCD$中，$E$，$G$分别是$AD$，$BD$的中点，根据三角形中位线定理，$EG$是$\triangle ABD$的中位线，所以$EG=\dfrac{1}{2}AB$。已知$AB = 8cm$，则$EG=\dfrac{1}{2}×8 = 4cm$。
同理，$H$，$F$分别是$AC$，$BC$的中点，$HF$是$\triangle ABC$的中位线，所以$HF=\dfrac{1}{2}AB = 4cm$。
$E$，$H$分别是$AD$，$AC$的中点，$EH$是$\triangle ADC$的中位线，所以$EH=\dfrac{1}{2}CD$。已知$CD = 9cm$，则$EH=\dfrac{1}{2}×9 = 4.5cm$。
$G$，$F$分别是$BD$，$BC$的中点，$GF$是$\triangle BCD$的中位线，所以$GF=\dfrac{1}{2}CD = 4.5cm$。
四边形$EGFH$的周长为$EG + GF + FH + HE=4 + 4.5 + 4 + 4.5=17cm$。
【答案】：17cm

19. 如图$,\triangle ABC$中,AB= 8厘米,AC= 16厘米,点P从点A出发,以每秒2厘米的速度向点B运动,点Q从点C同时出发,以每秒3厘米的速度向点A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A,P,Q为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似时,运动时间是。

【解析】：设运动时间为 $ t $ 秒。
点 $ P $ 从 $ A $ 向 $ B $ 运动，速度为 2 cm/s，则 $ AP = 2t $ cm，运动到 $ B $ 需 $ 8 ÷ 2 = 4 $ 秒。
点 $ Q $ 从 $ C $ 向 $ A $ 运动，速度为 3 cm/s，则 $ CQ = 3t $ cm，$ AQ = AC - CQ = 16 - 3t $ cm，运动到 $ A $ 需 $ 16 ÷ 3 \approx 5.33 $ 秒。
由于一个动点停止时另一个也停止，故 $ t \leq 4 $ 秒（此时 $ AP = 8 $ cm，$ AQ = 16 - 12 = 4 $ cm）。
以 $ A $，$ P $，$ Q $ 为顶点的三角形与 $ \triangle ABC $ 相似，且 $ \angle A $ 为公共角，分两种情况：
1. $\triangle APQ \sim \triangle ABC$：
对应边成比例：$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$，
即 $\frac{2t}{8} = \frac{16 - 3t}{16}$，
解得 $ t = \frac{16}{7} $ 秒（约 2.29 秒，满足 $ t \leq 4 $）。
2. $\triangle AQP \sim \triangle ABC$：
对应边成比例：$\frac{AQ}{AB} = \frac{AP}{AC}$，
即 $\frac{16 - 3t}{8} = \frac{2t}{16}$，
解得 $ t = 4 $ 秒（此时 $ AP = 8 $ cm，$ AQ = 4 $ cm，满足 $ t \leq 4 $）。
综上，运动时间为 $ \frac{16}{7} $ 秒或 4 秒。
【答案】：$\frac{16}{7}$ 或 4

20. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ }$,$AB= 1$,$BC= \frac {1}{2}$,以点$C$为圆心、$CB为半径的弧交CA于点D$；以点$A$为圆心,$AD为半径的弧交AB于点E$。
(1)求$AE$的长度；
(2)分别以点$A$,$E$为圆心,以$AB$的长为半径画弧,两弧交于点$F$($F与C在AB$两侧),连接$AF$,$EF$,设$EF交弧DE所在的圆于点G$,连接$AG$,试猜想$\angle EAG$的大小,并说明理由。

【解析】：(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 1$，$BC=\frac{1}{2}$，根据勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
因为以点$C$为圆心、$CB$为半径的弧交$CA$于点$D$，所以$CD = CB=\frac{1}{2}$，则$AD=AC - CD=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又因为以点$A$为圆心，$AD$为半径的弧交$AB$于点$E$，所以$AE = AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(2)由题意可知，$AF = AB = 1$，$EF = AB = 1$，所以$\triangle AEF$是等边三角形（因为$AF = EF = AE + BE$，但$AE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，$BE=AB - AE=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\approx0.382$，通过计算可得$EF = 1$，$AF = 1$，$AE\approx0.618$，此时可通过余弦定理计算$\angle FAE$的度数，$\cos\angle FAE=\frac{AF^{2}+AE^{2}-EF^{2}}{2× AF× AE}=\frac{1^{2}+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}-1^{2}}{2×1×\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{\left(\frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}\right)}{\sqrt{5}-1}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2(\sqrt{5}-1)}=\frac{(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{2×4}=\frac{2\sqrt{5}-2}{8}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\approx0.309$，所以$\angle FAE\approx72^{\circ}$。
因为$AG = AE$（同圆半径相等），所以$\triangle AGE$是等腰三角形，又因为$\triangle AEF$是特殊三角形，可推出$\angle AEG = 72^{\circ}$，所以$\angle EAG=180^{\circ}-2×72^{\circ}=36^{\circ}$。
【答案】：(1)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；(2)$36^{\circ}$

(1)求证：$DG^{2}= FG\cdot BG$；
(2)若$AB= 14$,$BC= 24$,求线段$GH$的长度。

【解析】：(1)证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$AD = BC$，$BF = FD$（矩形对角线互相平分）。
∵$CE = BC$，∴$AD = CE$。
∵$AD// BE$（$AD// BC$，$E$在$BC$延长线上），
∴$\angle ADG=\angle EBG$，$\angle DAG=\angle BEG$，
∴$\triangle ADG\sim\triangle EBG$（AA相似），
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{AD}{BE}$。
∵$BE = BC + CE=2BC$，$AD = BC$，
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{1}{2}$，即$BG = 2DG$。
设$FG = x$，$DG = y$，则$BF = FD = FG + GD=x + y$，
∴$BG=BF + FG=x + y + x=2x + y$。
由$BG = 2DG$得$2x + y=2y$，即$y = 2x$，
∴$FD=x + y=3x$，$BG=2y = 4x$。
∵$FG\cdot BG=x\cdot4x = 4x^2$，$DG^2=y^2=(2x)^2 = 4x^2$，
∴$DG^2=FG\cdot BG$。
(2)解：
∵$AB = 14$，$BC = 24$，
∴$AD = 24$，$CD = AB = 14$，$BE=2BC = 48$。
由(1)知$\triangle ADG\sim\triangle EBG$，$\frac{AG}{EG}=\frac{AD}{BE}=\frac{1}{2}$，
设$AG = k$，则$EG = 2k$，$AE=3k$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AB = 14$，$BE = 48$，
∴$AE=\sqrt{AB^2 + BE^2}=\sqrt{14^2 + 48^2}=\sqrt{196 + 2304}=\sqrt{2500}=50$，
∴$3k = 50$，$k=\frac{50}{3}$，即$AG=\frac{50}{3}$。
∵$AD// CE$，
∴$\triangle ADH\sim\triangle ECH$（AA相似），
∴$\frac{DH}{CH}=\frac{AD}{CE}=1$（$AD = CE = 24$），
∴$DH = CH=\frac{CD}{2}=7$。
在$Rt\triangle ADH$中，$AH=\sqrt{AD^2 + DH^2}=\sqrt{24^2 + 7^2}=\sqrt{576 + 49}=\sqrt{625}=25$，
∴$GH=AH - AG=25-\frac{50}{3}=\frac{75 - 50}{3}=\frac{25}{3}$。
【答案】：(1)证明见解析；(2)$\frac{25}{3}$

1. 著名作家赵树理写过一篇农村旧话《挤三十》。文中说：“我的故乡,有一种简单的数学游戏,名曰‘挤三十’。其玩法是：两个人依次数一个月的天数,每人每次只许说一个或两个,不许说两个以上。例如甲说‘初一、初二’,乙可以接着说‘初三’或‘初三、初四’,轮到谁说三十谁输。”如果你参与这个游戏,你是选择先说还是后说？与你的家人或同学试一下,有什么取胜诀窍吗？

【解析】：要想在“挤三十”游戏中取胜，关键在于控制数字，避免自己说到三十。因为每人每次只能说1个或2个数字，所以两人一轮最少说1+1=2个数字，最多说2+2=4个数字，但更关键的规律是，若能保证每轮两人说的数字总数为3个（1+2或2+1），就能控制局面。从1到29共有29个数字，29除以3等于9轮余2个数字。如果自己先说，第一次说1、2，之后无论对方说1个还是2个数字，自己都说（3 - 对方说的个数）个数字，这样每轮共说3个数字，经过9轮后，会说到2 + 3×9 = 29，此时剩下的三十就会留给对方说，对方必输。所以选择先说有取胜的策略。
【答案】：选择先说。取胜诀窍是：先说“初一、初二”，之后对方说1个数，自己就说2个数；对方说2个数，自己就说1个数，保证每轮两人共说3个数，最后会让对方说到三十。