1. (2024·淮安)如图,用9个直角三角形拼成一个类似海螺的图形,其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为l,则下列整数与l最接近的是 (
A.14
B.13
C.12
D.11
B
)A.14
B.13
C.12
D.11
答案
1. B 解析：
∵ 易得第一个三角形的斜边长为$\sqrt{2}$；第二个三角形的斜边长为$\sqrt{3}$；⋯；第九个三角形的斜边长为$\sqrt{10}$，
∴ 这个图形的周长$l$为$1 + 1 × 9 + \sqrt{10} = 10 + \sqrt{10}$．
∵ 与$\sqrt{10}$最接近的整数是$3$，
∴ 与$10 + \sqrt{10}$最接近的整数是$13$．
∵ 易得第一个三角形的斜边长为$\sqrt{2}$；第二个三角形的斜边长为$\sqrt{3}$；⋯；第九个三角形的斜边长为$\sqrt{10}$，
∴ 这个图形的周长$l$为$1 + 1 × 9 + \sqrt{10} = 10 + \sqrt{10}$．
∵ 与$\sqrt{10}$最接近的整数是$3$，
∴ 与$10 + \sqrt{10}$最接近的整数是$13$．
2. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.如图②所示的图形是由“弦图”变化得到的,且由八个全等的直角三角形拼接而成.记正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$.若正方形 EFGH 的边长为4,则$S_{1}+S_{2}+S_{3}$的值为
48
.答案
2. 48 解析：设八个全等的直角三角形的长直角边的长为$a$，短直角边的长为$b$，则$S_1 = (a + b)^2$，$S_2 = 4^2 = 16$，$S_3 = (a - b)^2$．由题意，得$a^2 + b^2 = EF^2 = 16$，
∴ $S_1 + S_2 + S_3 = (a + b)^2 + 16 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) + 16 = 2 × 16 + 16 = 48$．
∴ $S_1 + S_2 + S_3 = (a + b)^2 + 16 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) + 16 = 2 × 16 + 16 = 48$．
3. 如图,将一张长方形纸片 ABCD 折叠,使顶点 A,C 重合,折痕为 FG.已知$AB=4,BC=8$,求$\triangle ABF$的面积.
答案
3. 由折叠的性质，得$AF = CF$．设$AF = CF = x$，则$BF = 8 - x$．在${\rm Rt}\triangle ABF$中，由勾股定理，得$AB^2 + BF^2 = AF^2$，即$4^2 + (8 - x)^2 = x^2$，解得$x = 5$．
∴ $BF = 8 - 5 = 3$，
∴ $S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2}BF · AB = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
∴ $BF = 8 - 5 = 3$，
∴ $S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2}BF · AB = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
4. 如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点 B 与点 C 之间的距离为5.如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 A 处爬到点 B 处,那么它需要爬行的最短路程为
25
.答案
4. 25
解析
解：将长方体表面展开，分三种情况计算：
情况1：展开前面和上面，此时AC=15+10=25，BC=20-5=15，路程$\sqrt{25^2 + 15^2}=\sqrt{850}$；
情况2：展开前面和右面，此时AC=15，BC=10+(20-5)=25，路程$\sqrt{15^2 + 25^2}=\sqrt{850}$；
情况3：展开左面和上面，此时AC=10，BC=15+(20-5)=30，路程$\sqrt{10^2 + 30^2}=\sqrt{1000}$；
比较得最短路程为$\sqrt{625}=25$。
25
情况1：展开前面和上面，此时AC=15+10=25，BC=20-5=15，路程$\sqrt{25^2 + 15^2}=\sqrt{850}$；
情况2：展开前面和右面，此时AC=15，BC=10+(20-5)=25，路程$\sqrt{15^2 + 25^2}=\sqrt{850}$；
情况3：展开左面和上面，此时AC=10，BC=15+(20-5)=30，路程$\sqrt{10^2 + 30^2}=\sqrt{1000}$；
比较得最短路程为$\sqrt{625}=25$。
25
5. 如图,E 是正方形纸片 ABCD 的边 BC 的中点,将正方形 ABCD 沿 AE 折叠,得到点 B 的对应点为 F,延长 EF,交边 DC 于点 P.如果$AB=6$,那么 DP 的长为
2
.答案
5. 2
解析
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠C=∠D=90°．
∵E是BC中点，
∴BE=EC=3．
由折叠性质得：AF=AB=6，EF=BE=3，∠AFE=∠B=90°，
∴∠AFP=90°．设DP=x，则PC=6-x．
在Rt△AFP和Rt△ADP中，AP=AP，AF=AD，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴FP=DP=x．
∴EP=EF+FP=3+x．
在Rt△ECP中，EC²+PC²=EP²，
即3²+(6-x)²=(3+x)²，解得x=2．
∴DP的长为2．
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠C=∠D=90°．
∵E是BC中点，
∴BE=EC=3．
由折叠性质得：AF=AB=6，EF=BE=3，∠AFE=∠B=90°，
∴∠AFP=90°．设DP=x，则PC=6-x．
在Rt△AFP和Rt△ADP中，AP=AP，AF=AD，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴FP=DP=x．
∴EP=EF+FP=3+x．
在Rt△ECP中，EC²+PC²=EP²，
即3²+(6-x)²=(3+x)²，解得x=2．
∴DP的长为2．
