1. (2023·吉林)一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的根的判别式的值是 ()

A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt {17}$

C

对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其根的判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
对于方程 $x^{2} - 5x + 2 = 0$，有 $a = 1, b = -5, c = 2$。
代入判别式公式，得 $\Delta = (-5)^{2} - 4 × 1 × 2 = 25 - 8 = 17$。

2. 下列一元二次方程中,没有实数根的是 ()

A.$x^{2}-2x-3=0$
B.$x^{2}+3x+2=0$
C.$x^{2}-2x+1=0$
D.$x^{2}+2x+3=0$

D

对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，根的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
A. 方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$，$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (-3) = 4 + 12 = 16 ＞ 0$，有两个不等实数根。
B. 方程 $x^2 + 3x + 2 = 0$，$\Delta = 3^2 - 4 × 1 × 2 = 9 - 8 = 1 ＞ 0$，有两个不等实数根。
C. 方程 $x^2 - 2x + 1 = 0$，$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × 1 = 4 - 4 = 0$，有两个相等实数根。
D. 方程 $x^2 + 2x + 3 = 0$，$\Delta = 2^2 - 4 × 1 × 3 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$，没有实数根。

3. (2024·昆山期中改编)一元二次方程$x^{2}+3x-2=0$的根的情况为 ()

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

A

对于一元二次方程 $x^{2} + 3x - 2 = 0$，其判别式 $\Delta$ 为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$，
其中，$a = 1, b = 3, c = -2$。
代入得：
$\Delta = 3^{2} - 4 × 1 × (-2) = 9 + 8 = 17$，
由于 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。

4. 关于x的方程$x^{2}-x-m=0$有实数根,则实数m的取值范围是 ()

A.$m＜\frac {1}{4}$
B.$m≤\frac {1}{4}$
C.$m≥-\frac {1}{4}$
D.$m＞-\frac {1}{4}$

C

关于 $x$ 的方程 $x^2 - x - m = 0$ 有实数根，必须满足判别式 $\Delta \geq 0$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 × 1 × (-m) = 1 + 4m$，
要求 $\Delta \geq 0$，即 $1 + 4m \geq 0$，
解得 $m \geq -\frac{1}{4}$。

5. (2024·徐州)关于x的方程$x^{2}+kx+1=0$有两个相等的实数根,则k的值为.

$k=\pm 2$（（题目原题为填空题直接填$\pm 2$）

由于方程 $x^{2} + kx + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，根据判别式的性质，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac = k^{2} - 4 × 1 × 1 = 0$，
即 $k^{2} - 4 = 0$，
解这个方程，得到 $k = \pm 2$。

6. (2024·云南)若一元二次方程$x^{2}-2x+c=0$没有实数根,则实数c的取值范围是.

$c＞1$（或写为“$c$ 的取值范围是 $c ＞ 1$”）

对于一元二次方程 $x^{2} - 2x + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
其中，$a = 1, b = -2, c$ 为未知数。
代入得：$\Delta = (-2)^{2} - 4(1)(c) = 4 - 4c$。
由题意，方程没有实数根，所以 $\Delta ＜ 0$。
即：$4 - 4c ＜ 0$。
解这个不等式，得到：$c ＞ 1$。

7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2a+1)x+a^{2}=0$.
(1) 当a满足什么条件时,方程有两个相等的实数根?
(2) 当a满足什么条件时,方程有两个实数根?
(3) 当a满足什么条件时,方程没有实数根?

(1) 方程 $x^{2} - (2a + 1)x + a^{2} = 0$ 的判别式为：
$\Delta = (2a + 1)^{2} - 4 × 1 × a^{2} = 4a^{2} + 4a + 1 - 4a^{2} = 4a + 1$，
当方程有两个相等的实数根时，$\Delta = 0$，
即：$4a + 1 = 0$，
解得：$a = -\frac{1}{4}$。
(2) 当方程有两个实数根时，$\Delta \geq 0$，
即：$4a + 1 \geq 0$，
解得：$a \geq -\frac{1}{4}$。
(3) 当方程没有实数根时，$\Delta ＜ 0$，
即：$4a + 1 ＜ 0$，
解得：$a ＜ -\frac{1}{4}$。

8. (易错题)(2024·广安)若关于x的一元二次方程$(m+1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ()

A.$m＜0$且$m≠-1$
B.$m≥0$
C.$m≤0$且$m≠-1$
D.$m＜0$

A

根据题意，方程 $(m + 1)x^2 - 2x + 1 = 0$ 为一元二次方程，因此二次项系数 $m + 1 \neq 0$，即 $m \neq -1$。
方程有两个不相等的实数根，所以判别式 $\Delta ＞ 0$。
计算判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4(m + 1) × 1 = 4 - 4(m + 1) = 4 - 4m - 4 = -4m$，
由 $\Delta ＞ 0$，得 $-4m ＞ 0$，即 $m ＜ 0$。
综合以上条件，得 $m ＜ 0$ 且 $m \neq -1$。

9. (新考法·新定义题)(2023·遂宁)我们规定:对于任意实数a、b、c、d,有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$.其中,等式的右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$.若关于x的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,则m的取值范围是 ()

A.$m＜\frac {1}{4}$且$m≠0$
B.$m≤\frac {1}{4}$
C.$m≤\frac {1}{4}$且$m≠0$
D.$m≥\frac {1}{4}$

C

根据定义$[a,b]*[c,d]=ac - bd$，方程$[x,2x - 1]*[mx + 1,m] = 0$可转化为：
$x(mx + 1)-(2x - 1)m = 0$，
展开式子得$mx^{2}+x - 2mx + m = 0$，
即$mx^{2}+(1 - 2m)x + m = 0$。
因为方程有两个实数根，所以该方程为一元二次方程且判别式$\Delta\geqslant0$。
一元二次方程二次项系数$m\neq0$，
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，
在方程$mx^{2}+(1 - 2m)x + m = 0$中，$a = m$，$b = 1 - 2m$，$c = m$，
则$\Delta=(1 - 2m)^{2}-4m× m\geqslant0$，
展开$(1 - 2m)^{2}-4m× m$得$1 - 4m+4m^{2}-4m^{2}\geqslant0$，
即$1 - 4m\geqslant0$，
解得$m\leqslant\frac{1}{4}$。
结合$m\neq0$，所以$m$的取值范围是$m\leqslant\frac{1}{4}$且$m\neq0$。