活动一 牧民饮马问题
1. 如图,直线$m$表示一条河,点$M$,$N$表示两个村庄,欲在$m$上的某处修建一个供水站,向两个村庄供水,现有如图所示的四种铺设管道的方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的方案是()

2. 如图,$△ABC$是等边三角形,$E是AC$的中点,$AD⊥BC于点D$,点$P是AD$上一动点.若$AB= 2$,$AD= \sqrt {3}$,则$PE+PC$的最小值为____.



3. 在如图的平面直角坐标系中,点$A(-2,4)$,$B(4,2)$,在$x轴上取一点P$,使点$P到点A和点B$的距离之和最小,则点$P$的坐标为____.
4. 如图,在平面直角坐标系中,$A(-2,2)$,$B(-1,-4)$,在$y轴上画出一个点P$,使$PA+PB$最小,则点$P$的坐标为____.
5. 如图,小镇$A与B在公路l$的同侧,$A到公路的距离为45$里,要在公路边建一个货站,使货站到$A$、$B$的两条乡道总长最短,经计算,两条乡道总长最短为$140$里,此时两条乡道的夹角为$120^{\circ }$,则小镇$B$到公路的距离为____里.



活动二 牧民饮马问题的拓展
6. 如图,在$△ABC$中,$AB⊥AC$,$AB= 3$,$BC= 5$,$AC= 4$,$EF为BC$的垂直平分线,$P为直线EF$上的任意一点,则$△ABP$周长的最小值为____.
7. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,$BC= 4$,$S_{△ABC}= 16$,$AC的垂直平分线EF分别交AC$,$AB边于点E$,$F$,若$D为BC$边的中点,$M为线段EF$上一动点,则$△CDM$的周长的最小值为____.
8. 如图,牧马人从$A$地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮水,然后回到$B$处,请画出最短路径.

9. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,$AB的垂直平分线交AB于点N$,交$AC于点M$.连接$MB$.若$BC= 6$,$△MBC的周长为14$.
(1)求$△ABC$的周长;
(2)若$P是直线MN$上一个动点,则$PB+PC$的最小值是____.
10. 如图,$∠AOB= 30^{\circ }$,$P为∠AOB$内的一点,$OP= 10$,点$M$,$N分别在OA$,$OB$上,求$△PMN$周长的最小值.

活动三 造桥选址问题
11. 河的两岸成平行线,$A$,$B$是位于河两岸的两个车间(如图),要在河上造一座桥$CD$,使桥垂直于河岸,并且使$A$,$B$间的路程最短.确定桥的位置的方法是:从$A$作河岸的垂线,分别交河岸$PQ$,$MN于点F$,$G$.在$AG上取AE= $____,连接$EB$,$EB交MN于点D$.在$D$处作____于点$C$,那么$DC$就是造桥的位置.
12. 在平面直角坐标系中,$A(1,3)$,$B(7,-1)$两点分别代表两个村庄,$x$轴代表河的南岸,过点$(0,1)作y轴的垂线l$代表河的北岸,河宽为$1$个单位长度.现在要在河上造一座桥$MN$,桥造在何处才能使从$A到B的路径AMNB$最短? 画出桥$MN$,并直接写出点$M$,$N$的坐标.

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