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3. (2024 固原期末)自行车有公路自行车、山地自行车及休闲自行车。公路自行车是指在公路路面(或人为硬化道路,或沙石路)上使用的自行车车种,可用于公路自行车竞赛。为了使骑行达到高速,要求车身质量较小且风阻较小。某品牌公路自行车的质量为21.6 kg,其中橡胶占总体积的$\frac{1}{3}$,其余部分为铝合金。已知自行车所用铝合金的质量为18 kg,求:
(1)铝合金的体积。
(2)橡胶的密度。
(3)若将所用的铝合金换为碳纤维材料,则自行车的质量为多少。
(1)铝合金的体积。
(2)橡胶的密度。
(3)若将所用的铝合金换为碳纤维材料,则自行车的质量为多少。
答案
(1)铝合金的体积: $V_{铝合金}=\frac{m_{铝合金}}{\rho_{铝合金}}=\frac{18\ \mathrm{kg}}{3.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$。
(2)橡胶的体积: $V_{橡胶}=\frac{1}{2}V_{铝合金}=\frac{1}{2}×6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=3×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，
橡胶的质量: $m_{橡胶}=m_{总}-m_{铝合金}=21.6\ \mathrm{kg}-18\ \mathrm{kg}=3.6\ \mathrm{kg}$，
则橡胶的密度: $\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{3.6\ \mathrm{kg}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m^3}}=1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
(3)若将所用的铝合金换为碳纤维材料，
$V_{碳纤维}=V_{铝合金}=6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，
其质量 $m_{碳纤维}=\rho_{碳纤维}V_{碳纤维}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=9.6\ \mathrm{kg}$，
则自行车的质量: $m_{总2}=m_{碳纤维}+m_{橡胶}=9.6\ \mathrm{kg}+3.6\ \mathrm{kg}=13.2\ \mathrm{kg}$。
(2)橡胶的体积: $V_{橡胶}=\frac{1}{2}V_{铝合金}=\frac{1}{2}×6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=3×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，
橡胶的质量: $m_{橡胶}=m_{总}-m_{铝合金}=21.6\ \mathrm{kg}-18\ \mathrm{kg}=3.6\ \mathrm{kg}$，
则橡胶的密度: $\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{3.6\ \mathrm{kg}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m^3}}=1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
(3)若将所用的铝合金换为碳纤维材料，
$V_{碳纤维}=V_{铝合金}=6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，
其质量 $m_{碳纤维}=\rho_{碳纤维}V_{碳纤维}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=9.6\ \mathrm{kg}$，
则自行车的质量: $m_{总2}=m_{碳纤维}+m_{橡胶}=9.6\ \mathrm{kg}+3.6\ \mathrm{kg}=13.2\ \mathrm{kg}$。
解析
【分析】
本题考查密度公式的应用，解题思路如下：
1. 求铝合金体积：已知铝合金的质量和表格中对应的密度，直接利用密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$计算；
2. 求橡胶密度：先根据“橡胶占总体积的$\frac{1}{3}$，其余为铝合金”得出橡胶体积与铝合金体积的关系，再用总质量减去铝合金质量得到橡胶质量，最后用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算橡胶密度；
3. 换碳纤维后的质量：替换时体积不变（即碳纤维体积等于原铝合金体积），先计算碳纤维质量，再加上橡胶质量得到新的总质量。
【解析】
(1) 由表格可知，铝合金的密度$\rho_{铝合金}=3.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，铝合金质量$m_{铝合金}=18\ \mathrm{kg}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得铝合金的体积：
$V_{铝合金}=\frac{m_{铝合金}}{\rho_{铝合金}}=\frac{18\ \mathrm{kg}}{3.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；
(2) 由题意，橡胶占总体积的$\frac{1}{3}$，铝合金占总体积的$\frac{2}{3}$，因此橡胶体积：
$V_{橡胶}=\frac{1}{2}V_{铝合金}=\frac{1}{2}×6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=3×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；
橡胶的质量：
$m_{橡胶}=m_{总}-m_{铝合金}=21.6\ \mathrm{kg}-18\ \mathrm{kg}=3.6\ \mathrm{kg}$；
则橡胶的密度：
$\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{3.6\ \mathrm{kg}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m^3}}=1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；
(3) 将铝合金换为碳纤维时，体积不变，即$V_{碳纤维}=V_{铝合金}=6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；
由表格知碳纤维密度$\rho_{碳纤维}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，因此碳纤维的质量：
$m_{碳纤维}=\rho_{碳纤维}V_{碳纤维}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=9.6\ \mathrm{kg}$；
此时自行车的总质量：
$m_{总2}=m_{碳纤维}+m_{橡胶}=9.6\ \mathrm{kg}+3.6\ \mathrm{kg}=13.2\ \mathrm{kg}$；
【答案】
(1) $6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；(2) $1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；(3) $13.2\ \mathrm{kg}$
【知识点】
密度公式应用；质量体积密度关系
【点评】
本题是密度公式的基础应用题，关键是理清各部件的体积、质量关系，熟练运用密度公式的变形进行计算，属于密度计算的常规题型，注重对基础公式的掌握。
【难度系数】
0.6
本题考查密度公式的应用，解题思路如下：
1. 求铝合金体积：已知铝合金的质量和表格中对应的密度，直接利用密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$计算；
2. 求橡胶密度：先根据“橡胶占总体积的$\frac{1}{3}$，其余为铝合金”得出橡胶体积与铝合金体积的关系，再用总质量减去铝合金质量得到橡胶质量，最后用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算橡胶密度；
3. 换碳纤维后的质量：替换时体积不变（即碳纤维体积等于原铝合金体积），先计算碳纤维质量，再加上橡胶质量得到新的总质量。
【解析】
(1) 由表格可知，铝合金的密度$\rho_{铝合金}=3.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，铝合金质量$m_{铝合金}=18\ \mathrm{kg}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得铝合金的体积：
$V_{铝合金}=\frac{m_{铝合金}}{\rho_{铝合金}}=\frac{18\ \mathrm{kg}}{3.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；
(2) 由题意，橡胶占总体积的$\frac{1}{3}$，铝合金占总体积的$\frac{2}{3}$，因此橡胶体积：
$V_{橡胶}=\frac{1}{2}V_{铝合金}=\frac{1}{2}×6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=3×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；
橡胶的质量：
$m_{橡胶}=m_{总}-m_{铝合金}=21.6\ \mathrm{kg}-18\ \mathrm{kg}=3.6\ \mathrm{kg}$；
则橡胶的密度：
$\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{3.6\ \mathrm{kg}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m^3}}=1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；
(3) 将铝合金换为碳纤维时，体积不变，即$V_{碳纤维}=V_{铝合金}=6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；
由表格知碳纤维密度$\rho_{碳纤维}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，因此碳纤维的质量：
$m_{碳纤维}=\rho_{碳纤维}V_{碳纤维}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=9.6\ \mathrm{kg}$；
此时自行车的总质量：
$m_{总2}=m_{碳纤维}+m_{橡胶}=9.6\ \mathrm{kg}+3.6\ \mathrm{kg}=13.2\ \mathrm{kg}$；
【答案】
(1) $6×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；(2) $1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；(3) $13.2\ \mathrm{kg}$
【知识点】
密度公式应用；质量体积密度关系
【点评】
本题是密度公式的基础应用题，关键是理清各部件的体积、质量关系，熟练运用密度公式的变形进行计算，属于密度计算的常规题型，注重对基础公式的掌握。
【难度系数】
0.6
4. (2025大连瓦房店期末)某品牌大包装可乐瓶上标注有“净含量:2 L”字样。冰镇饮料时,人们通常用冰块,冰块往往预制成正方体;但为了防止因为冰的熔化而影响饮料的口感,同时也可以重复使用,人们发明了冰的替代品——不锈钢“冰块”(图 M-4-2),使用前将其放入冰箱冷冻室内降温,使用时再将其取出放在杯子中,然后倒入饮料即可。求:($\rho_{可乐}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$, $\rho_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$, $\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
(1)2 L可乐的质量是多少。
(2)边长为3 cm的正方体冰块熔化成水之后,水的体积是多大。
(3)某同学为了测量不锈钢“冰块”的密度,增加了玻璃杯和厨房用电子秤,设计了一个可以测出不锈钢“冰块”密度的办法。先测出一块不锈钢“冰块”的质量为234 g,再测出装满水的玻璃杯和水的总质量为580 g,取下杯子,再将不锈钢“冰块”小心放入杯中,溢出水后,再次测量杯子、水、不锈钢“冰块”的总质量为784 g。则不锈钢“冰块”的密度是多少。
图 M-4-2
(1)2 L可乐的质量是多少。
(2)边长为3 cm的正方体冰块熔化成水之后,水的体积是多大。
(3)某同学为了测量不锈钢“冰块”的密度,增加了玻璃杯和厨房用电子秤,设计了一个可以测出不锈钢“冰块”密度的办法。先测出一块不锈钢“冰块”的质量为234 g,再测出装满水的玻璃杯和水的总质量为580 g,取下杯子,再将不锈钢“冰块”小心放入杯中,溢出水后,再次测量杯子、水、不锈钢“冰块”的总质量为784 g。则不锈钢“冰块”的密度是多少。
图 M-4-2
答案
(1)2 L可乐的质量: $m=\rho_{可乐}V_{可乐}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×2×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=2.1\ \mathrm{kg}$。
(2)冰块的体积: $V_{冰}=3\ \mathrm{cm}×3\ \mathrm{cm}×3\ \mathrm{cm}=27\ \mathrm{cm^3}$，
冰块的质量: $m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×27×10^{-6}\ \mathrm{m^3}=2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，
水的质量: $m_{水}=m_{冰}=2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，
水的体积: $V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=2.43×10^{-5}\ \mathrm{m^3}$。
(3)不锈钢“冰块”排开水的质量: $m_{排}=234\ \mathrm{g}+580\ \mathrm{g}-784\ \mathrm{g}=30\ \mathrm{g}$，
不锈钢“冰块”的体积: $V=V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{水}}=\frac{30\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm^3}}=30\ \mathrm{cm^3}$，
不锈钢“冰块”的密度: $\rho_{钢}=\frac{m_{钢}}{V_{钢}}=\frac{234\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm^3}}=7.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
(2)冰块的体积: $V_{冰}=3\ \mathrm{cm}×3\ \mathrm{cm}×3\ \mathrm{cm}=27\ \mathrm{cm^3}$，
冰块的质量: $m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×27×10^{-6}\ \mathrm{m^3}=2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，
水的质量: $m_{水}=m_{冰}=2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，
水的体积: $V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=2.43×10^{-5}\ \mathrm{m^3}$。
(3)不锈钢“冰块”排开水的质量: $m_{排}=234\ \mathrm{g}+580\ \mathrm{g}-784\ \mathrm{g}=30\ \mathrm{g}$，
不锈钢“冰块”的体积: $V=V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{水}}=\frac{30\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm^3}}=30\ \mathrm{cm^3}$，
不锈钢“冰块”的密度: $\rho_{钢}=\frac{m_{钢}}{V_{钢}}=\frac{234\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm^3}}=7.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
解析
【分析】
本题围绕密度公式的应用展开，分三个小问逐步求解：
1. 第一问：已知可乐的体积和密度，利用密度公式变形$m=\rho V$计算质量，需先将体积单位转换为国际单位；
2. 第二问：先计算正方体冰块的体积，再根据冰的密度算出冰块质量，冰熔化成水后质量不变，再利用水的密度计算水的体积；
3. 第三问：利用溢水法，通过放入不锈钢冰块前后的总质量变化算出排开水的质量，排开水的体积等于不锈钢冰块的体积，最后用密度公式计算不锈钢的密度。
【解析】
(1) 转换体积单位：$V_{可乐}=2\ \mathrm{L}=2×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，根据密度公式$m=\rho V$，2L可乐的质量：
$m_{可乐}=\rho_{可乐}V_{可乐}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×2×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=2.1\ \mathrm{kg}$。
(2) 正方体冰块的体积：$V_{冰}=a^3=(3\ \mathrm{cm})^3=27\ \mathrm{cm^3}=27×10^{-6}\ \mathrm{m^3}$，
冰块的质量：$m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×27×10^{-6}\ \mathrm{m^3}=2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，
冰熔化成水后质量不变，即$m_{水}=m_{冰}=2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，
水的体积：$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=2.43×10^{-5}\ \mathrm{m^3}$。
(3) 不锈钢“冰块”排开水的质量：$m_{排}=234\ \mathrm{g}+580\ \mathrm{g}-784\ \mathrm{g}=30\ \mathrm{g}$，
不锈钢“冰块”的体积等于排开水的体积：$V_{钢}=V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{水}}=\frac{30\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm^3}}=30\ \mathrm{cm^3}$，
不锈钢“冰块”的密度：$\rho_{钢}=\frac{m_{钢}}{V_{钢}}=\frac{234\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm^3}}=7.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) $2.1\ \mathrm{kg}$；(2) $2.43×10^{-5}\ \mathrm{m^3}$；(3) $7.8\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
密度公式应用、质量体积计算、溢水法测密度
【点评】
本题结合生活实例考查密度的基础计算，涵盖单位转换、质量不变特性、溢水法测体积等知识点，注重公式的灵活运用，属于密度部分的常规应用题型。
【难度系数】
0.6
本题围绕密度公式的应用展开，分三个小问逐步求解：
1. 第一问：已知可乐的体积和密度，利用密度公式变形$m=\rho V$计算质量，需先将体积单位转换为国际单位；
2. 第二问：先计算正方体冰块的体积，再根据冰的密度算出冰块质量，冰熔化成水后质量不变，再利用水的密度计算水的体积；
3. 第三问：利用溢水法，通过放入不锈钢冰块前后的总质量变化算出排开水的质量，排开水的体积等于不锈钢冰块的体积，最后用密度公式计算不锈钢的密度。
【解析】
(1) 转换体积单位：$V_{可乐}=2\ \mathrm{L}=2×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，根据密度公式$m=\rho V$，2L可乐的质量：
$m_{可乐}=\rho_{可乐}V_{可乐}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×2×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=2.1\ \mathrm{kg}$。
(2) 正方体冰块的体积：$V_{冰}=a^3=(3\ \mathrm{cm})^3=27\ \mathrm{cm^3}=27×10^{-6}\ \mathrm{m^3}$，
冰块的质量：$m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×27×10^{-6}\ \mathrm{m^3}=2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，
冰熔化成水后质量不变，即$m_{水}=m_{冰}=2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，
水的体积：$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{2.43×10^{-2}\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=2.43×10^{-5}\ \mathrm{m^3}$。
(3) 不锈钢“冰块”排开水的质量：$m_{排}=234\ \mathrm{g}+580\ \mathrm{g}-784\ \mathrm{g}=30\ \mathrm{g}$，
不锈钢“冰块”的体积等于排开水的体积：$V_{钢}=V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{水}}=\frac{30\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm^3}}=30\ \mathrm{cm^3}$，
不锈钢“冰块”的密度：$\rho_{钢}=\frac{m_{钢}}{V_{钢}}=\frac{234\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm^3}}=7.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) $2.1\ \mathrm{kg}$；(2) $2.43×10^{-5}\ \mathrm{m^3}$；(3) $7.8\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
密度公式应用、质量体积计算、溢水法测密度
【点评】
本题结合生活实例考查密度的基础计算，涵盖单位转换、质量不变特性、溢水法测体积等知识点，注重公式的灵活运用，属于密度部分的常规应用题型。
【难度系数】
0.6
