【例3】如图30－4，PA是$\odot O$的切线，切点为A，AC是$\odot O$的直径，连接OP交$\odot O$于点E，过A点作$AB⊥ PO$于点D，交$\odot O$于点B，连接BC，PB.求证：
(1)PB是$\odot O$的切线；
(2)点E为$△ PAB$的内心.
证明：(1)如图30－5，连接OB.
$\because AO=BO,AB⊥ PO,$
$\therefore ∠ AOP=∠ POB.$
又$PO=PO,AO=BO,$
$\therefore △ AOP≌△ BOP(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ OBP=∠ OAP.$
$\because PA$为$\odot O$的切线，$\therefore ∠ OAP=90°.$
$\therefore ∠ OBP=90°,$即$OB⊥ PB.$
又$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore PB$是$\odot O$的切线.
(2)如图30－5，连接AE.
由(1)知$∠ OAP=90°,$
$\therefore ∠ PAE+∠ OAE=90°.$
$\because AD⊥ ED,\therefore ∠ EAD+∠ AED=90°.$
$\because OE=OA,\therefore ∠ OAE=∠ AED.$

证明：(1) 连接OB.
$\because AO=BO,AB⊥ PO,$
$\therefore ∠ AOP=∠ POB.$
又$PO=PO,AO=BO,$
$\therefore △ AOP≌△ BOP(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ OBP=∠ OAP.$
$\because PA$为$\odot O$的切线，$\therefore ∠ OAP=90°.$
$\therefore ∠ OBP=90°,$即$OB⊥ PB.$
又$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore PB$是$\odot O$的切线.
(2) 连接AE.
由(1)知$∠ OAP=90°,$
$\therefore ∠ PAE+∠ OAE=90°.$
$\because AD⊥ ED,\therefore ∠ EAD+∠ AED=90°.$
$\because OE=OA,\therefore ∠ OAE=∠ AED.$
$\therefore ∠PAE=∠EAD$，即AE平分$∠PAB$.
∵PA、PB都是$\odot O$的切线，
∴OP平分$∠APB$，即PE平分$∠APB$.
∴点E在$∠PAB$和$∠APB$的角平分线上，
∴点E为$△PAB$的内心.

【分析】
(1) 要证明PB是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证$OB⊥ PB$且$OB$为$\odot O$的半径。已知$PA$是$\odot O$的切线，可得$∠ OAP=90°$，因此可通过证明$△ AOP≌△ BOP$，推导$∠ OBP=∠ OAP=90°$。首先连接$OB$，利用等腰三角形三线合一的性质得到$∠ AOP=∠ POB$，结合公共边$PO$、半径$AO=BO$即可证明三角形全等。
(2) 三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需证明点$E$是$△ PAB$两个内角的角平分线交点即可。连接$AE$，通过等角的余角相等可证$AE$平分$∠ PAB$；再结合切线长定理，$PA、PB$都是$\odot O$的切线，可得$OP$平分$∠ APB$，即$PE$平分$∠ APB$，由此可证结论。
【解析】
(1) 连接$OB$.
$\because AO=BO,AB⊥ PO,$
$\therefore ∠ AOP=∠ POB.$
又$PO=PO,AO=BO,$
$\therefore △ AOP≌△ BOP(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ OBP=∠ OAP.$
$\because PA$为$\odot O$的切线，$\therefore ∠ OAP=90°.$
$\therefore ∠ OBP=90°,$即$OB⊥ PB.$
又$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore PB$是$\odot O$的切线.
(2) 连接$AE$.
由(1)知$∠ OAP=90°,$
$\therefore ∠ PAE+∠ OAE=90°.$
$\because AD⊥ ED,\therefore ∠ EAD+∠ AED=90°.$
$\because OE=OA,\therefore ∠ OAE=∠ AED.$
$\therefore ∠ PAE=∠ EAD$，即$AE$平分$∠ PAB$.
$\because PA、PB$都是$\odot O$的切线，
$\therefore OP$平分$∠ APB$，即$PE$平分$∠ APB$.
$\therefore$点$E$在$∠ PAB$和$∠ APB$的角平分线上，
$\therefore$点$E$为$△ PAB$的内心.
【答案】
(1) 连接$OB$，证明$△ AOP≌△ BOP$得$∠ OBP=90°$，结合$OB$是$\odot O$的半径，可证$PB$是$\odot O$的切线；
(2) 连接$AE$，证明$AE$平分$∠ PAB$、$PE$平分$∠ APB$，即可证点$E$为$△ PAB$的内心，完整证明过程见上述解析。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形内心的定义
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线判定规则、三角形内心的定义，通过合理添加辅助线，利用全等变换和角的等量代换即可完成推导，能有效锻炼几何证明的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.65