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7.一个不透明的箱内有50个白球和10个红球，它们除颜色外都相同。小慧打算从箱内抽球31次，每次从箱内随机抽出一球，若抽出白球则将白球放回箱内，若抽出红球则不将红球放回箱内。已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次，则她第31次抽球时抽出红球的概率是（
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{3}{28}$
D
）A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{3}{28}$
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先要明确抽球规则：抽出白球放回，抽出红球不放回。第一步先根据前30次的抽球结果，计算第31次抽球前箱内剩余的红球数量：原有红球10个，抽出4个不放回，剩余红球为10-4=6个；第二步确定白球数量：因为白球抽出后放回，所以白球数量始终为50个；第三步计算此时箱内总球数，再根据“随机事件概率=所求情况数÷总情况数”的公式即可算出第31次抽中红球的概率。
【解析】
1. 计算剩余红球数量：原有红球10个，前30次共抽出4个红球且不放回，因此剩余红球数为 $ 10 - 4 = 6 $ 个；
2. 确定白球数量：由于抽出白球后会放回箱内，因此白球数量始终为初始的50个；
3. 计算第31次抽球前箱内总球数：$ 50 + 6 = 56 $ 个；
4. 根据概率公式，第31次抽出红球的概率为剩余红球数除以总球数，即 $ P(\mathrm{抽中红球}) = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} $。
【答案】
D
【知识点】
简单事件概率，概率计算公式，不放回抽样规则
【点评】
本题核心考查概率公式的灵活应用，解题的关键是准确梳理抽球规则对箱内球数的影响，不要被前30次的抽球次数干扰，仅需计算抽球前剩余的总球数和符合条件的红球数即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确抽球规则：抽出白球放回，抽出红球不放回。第一步先根据前30次的抽球结果，计算第31次抽球前箱内剩余的红球数量：原有红球10个，抽出4个不放回，剩余红球为10-4=6个；第二步确定白球数量：因为白球抽出后放回，所以白球数量始终为50个；第三步计算此时箱内总球数，再根据“随机事件概率=所求情况数÷总情况数”的公式即可算出第31次抽中红球的概率。
【解析】
1. 计算剩余红球数量：原有红球10个，前30次共抽出4个红球且不放回，因此剩余红球数为 $ 10 - 4 = 6 $ 个；
2. 确定白球数量：由于抽出白球后会放回箱内，因此白球数量始终为初始的50个；
3. 计算第31次抽球前箱内总球数：$ 50 + 6 = 56 $ 个；
4. 根据概率公式，第31次抽出红球的概率为剩余红球数除以总球数，即 $ P(\mathrm{抽中红球}) = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} $。
【答案】
D
【知识点】
简单事件概率，概率计算公式，不放回抽样规则
【点评】
本题核心考查概率公式的灵活应用，解题的关键是准确梳理抽球规则对箱内球数的影响，不要被前30次的抽球次数干扰，仅需计算抽球前剩余的总球数和符合条件的红球数即可正确求解。
【难度系数】
0.7
8.如图,一只蚂蚁从A点出发到D,E,F处寻觅食物。假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处,也可以向右下到达C处,其中A,B,C都是岔路口)。那么,蚂蚁从A出发到达E处的概率是
$\frac{1}{2}$
。答案
8. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算蚂蚁到达E处的概率，首先需明确蚂蚁在每个岔路口的选择是等可能的，所以可以用列举法梳理所有行走路径：先列全从A出发每一步的所有选择，得到所有等可能的结果，再统计终点是E的结果数量，最后代入等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
首先列举蚂蚁从A出发的所有等可能行走路径：
① 从A向左下到B，再从B向左下到D，终点为D；
② 从A向左下到B，再从B向右下到E，终点为E；
③ 从A向右下到C，再从C向左下到E，终点为E；
④ 从A向右下到C，再从C向右下到F，终点为F。
综上，共有4种等可能的结果，其中终点为E的结果有2种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{到达E处})=\frac{\mathrm{到达E的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，解题关键是按顺序列举路径，做到不重不漏，只要掌握列举法和概率的基本计算公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.75
要计算蚂蚁到达E处的概率，首先需明确蚂蚁在每个岔路口的选择是等可能的，所以可以用列举法梳理所有行走路径：先列全从A出发每一步的所有选择，得到所有等可能的结果，再统计终点是E的结果数量，最后代入等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
首先列举蚂蚁从A出发的所有等可能行走路径：
① 从A向左下到B，再从B向左下到D，终点为D；
② 从A向左下到B，再从B向右下到E，终点为E；
③ 从A向右下到C，再从C向左下到E，终点为E；
④ 从A向右下到C，再从C向右下到F，终点为F。
综上，共有4种等可能的结果，其中终点为E的结果有2种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{到达E处})=\frac{\mathrm{到达E的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，解题关键是按顺序列举路径，做到不重不漏，只要掌握列举法和概率的基本计算公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.75
9. 下图(见右栏)是创新小组设计的一款小程序的界面示意图,程序规则为:每点击一次按钮,“
”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“
”位于格子A时,小明连续点击两次按钮,“
”回到格子A的概率是
…E—D——B—C… (第9题)
”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“”位于格子A时,小明连续点击两次按钮,“”回到格子A的概率是$\frac{1}{2}$
。…E—D——B—C… (第9题)
答案
9. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是两步随机事件的概率计算问题，解题核心是先梳理所有等可能的移动结果，再筛选出符合“两次点击后回到格子A”的结果，最后用概率公式计算。思考时首先明确：初始位于A时，第一次点击有向左、向右2种等可能的移动方向；第二次点击时，每个位置同样有2种移动方向，我们可以通过枚举或树状图法列出所有情况，避免漏算。
【解析】
解：根据题意，每次移动有向左、向右2种等可能的选择，用树状图分析两次移动的所有结果：
1. 第一次点击（从A出发）：共有2种等可能结果：①向左移动到左相邻格子；②向右移动到右相邻格子。
2. 第二次点击：
若第一次移动到左相邻格子，有2种等可能结果：继续向左移动、向右移动（回到A）；
若第一次移动到右相邻格子，有2种等可能结果：向左移动（回到A）、继续向右移动。
因此两次点击的所有等可能结果共$2×2=4$种，其中能回到格子A的结果有2种（第一次左+第二次右、第一次右+第二次左）。
根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 简单事件概率计算
2. 树状图法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是理清两次移动的所有等可能情况，熟练掌握枚举或树状图法梳理事件结果即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是两步随机事件的概率计算问题，解题核心是先梳理所有等可能的移动结果，再筛选出符合“两次点击后回到格子A”的结果，最后用概率公式计算。思考时首先明确：初始位于A时，第一次点击有向左、向右2种等可能的移动方向；第二次点击时，每个位置同样有2种移动方向，我们可以通过枚举或树状图法列出所有情况，避免漏算。
【解析】
解：根据题意，每次移动有向左、向右2种等可能的选择，用树状图分析两次移动的所有结果：
1. 第一次点击（从A出发）：共有2种等可能结果：①向左移动到左相邻格子；②向右移动到右相邻格子。
2. 第二次点击：
若第一次移动到左相邻格子，有2种等可能结果：继续向左移动、向右移动（回到A）；
若第一次移动到右相邻格子，有2种等可能结果：向左移动（回到A）、继续向右移动。
因此两次点击的所有等可能结果共$2×2=4$种，其中能回到格子A的结果有2种（第一次左+第二次右、第一次右+第二次左）。
根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 简单事件概率计算
2. 树状图法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是理清两次移动的所有等可能情况，熟练掌握枚举或树状图法梳理事件结果即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 一个盒子里装有5个除颜色外其他都相同的球，其中红球3个，白球2个。现从盒子里不放回地任意摸出2个球。
(1)求摸出两球的所有可能的结果。
(2)求摸出的球恰好相同颜色的概率。
(1)求摸出两球的所有可能的结果。
(2)求摸出的球恰好相同颜色的概率。
答案
10. (1)将3个红球编号为红1、红2、红3，2个白球编号为白1、白2。不放回地任意摸出2个球，所有可能的结果有10种：(红1,红2)、(红1,红3)、(红2,红3)、(红1,白1)、(红1,白2)、(红2,白1)、(红2,白2)、(红3,白1)、(红3,白2)、(白1,白2)
(2)$\frac{2}{5}$
(2)$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
(1) 要列出摸出两球的所有可能结果，因为同色球除颜色外完全相同，为了保证列举的结果等可能且不重复，先对红球、白球分别编号，再按不放回、不考虑摸球顺序的规则，用枚举法逐一列出所有组合即可。
(2) 求恰好同色的概率属于简单随机事件概率计算，先从第一问列出的所有结果中找出两球颜色相同的结果数，再根据概率公式“$P(事件)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$”代入计算即可。
【解析】
(1) 先将3个红球编号为红1、红2、红3，2个白球编号为白1、白2。
不放回摸出2个球，不考虑摸球的先后顺序，所有等可能的结果如下：
(红1,红2)、(红1,红3)、(红2,红3)、(红1,白1)、(红1,白2)、(红2,白1)、(红2,白2)、(红3,白1)、(红3,白2)、(白1,白2)，共10种。
(2) 从上述10种结果中，找出两球颜色相同的结果：(红1,红2)、(红1,红3)、(红2,红3)、(白1,白2)，共4种。
根据概率公式可得：
$P(恰好相同颜色)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$
【答案】
(1) 所有可能的结果共10种：(红1,红2)、(红1,红3)、(红2,红3)、(红1,白1)、(红1,白2)、(红2,白1)、(红2,白2)、(红3,白1)、(红3,白2)、(白1,白2)
(2) $\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 枚举法列样本空间
2. 简单随机事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是通过对同色球编号保证列举的所有结果等可能，列举时要注意不重复、不遗漏，熟练掌握概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要列出摸出两球的所有可能结果，因为同色球除颜色外完全相同，为了保证列举的结果等可能且不重复，先对红球、白球分别编号，再按不放回、不考虑摸球顺序的规则，用枚举法逐一列出所有组合即可。
(2) 求恰好同色的概率属于简单随机事件概率计算，先从第一问列出的所有结果中找出两球颜色相同的结果数，再根据概率公式“$P(事件)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$”代入计算即可。
【解析】
(1) 先将3个红球编号为红1、红2、红3，2个白球编号为白1、白2。
不放回摸出2个球，不考虑摸球的先后顺序，所有等可能的结果如下：
(红1,红2)、(红1,红3)、(红2,红3)、(红1,白1)、(红1,白2)、(红2,白1)、(红2,白2)、(红3,白1)、(红3,白2)、(白1,白2)，共10种。
(2) 从上述10种结果中，找出两球颜色相同的结果：(红1,红2)、(红1,红3)、(红2,红3)、(白1,白2)，共4种。
根据概率公式可得：
$P(恰好相同颜色)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$
【答案】
(1) 所有可能的结果共10种：(红1,红2)、(红1,红3)、(红2,红3)、(红1,白1)、(红1,白2)、(红2,白1)、(红2,白2)、(红3,白1)、(红3,白2)、(白1,白2)
(2) $\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 枚举法列样本空间
2. 简单随机事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是通过对同色球编号保证列举的所有结果等可能，列举时要注意不重复、不遗漏，熟练掌握概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. 现有长分别为1,2,3,4,5的木条各一根,从这5根木条中任取3根,能构成三角形的概率是
$\frac{3}{10}$
。答案
11. $\frac{3}{10}$
解析
【分析】
要计算能构成三角形的概率，属于古典概型问题，解题分三步：第一步先计算从5根木条中任取3根的所有等可能情况总数；第二步根据“三角形任意两边之和大于第三边”（简便判断方法：较短两边之和大于最长边），筛选出能构成三角形的情况数；第三步根据概率公式：概率=符合条件的情况数÷总情况数，计算最终结果。
【解析】
1. 计算总情况数：从5根长度不同的木条中任取3根，不考虑顺序，枚举所有等可能的组合：
(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)，共10种。
2. 筛选能构成三角形的组合：根据三角形三边关系，较短两边之和大于最长边逐一判断：
仅(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)这3种组合满足较短两边之和大于最长边，可构成三角形。
3. 计算概率：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{10}$
【答案】
$\frac{3}{10}$
【知识点】
三角形三边关系、列举法计数、概率公式
【点评】
本题重点考查古典概型概率的计算和三角形三边关系的应用，解题核心是准确枚举所有取法，再用三边判定规则筛选符合要求的情况，注意枚举时要按顺序避免漏数或重复计数，掌握简化的三边判定方法可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
要计算能构成三角形的概率，属于古典概型问题，解题分三步：第一步先计算从5根木条中任取3根的所有等可能情况总数；第二步根据“三角形任意两边之和大于第三边”（简便判断方法：较短两边之和大于最长边），筛选出能构成三角形的情况数；第三步根据概率公式：概率=符合条件的情况数÷总情况数，计算最终结果。
【解析】
1. 计算总情况数：从5根长度不同的木条中任取3根，不考虑顺序，枚举所有等可能的组合：
(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)，共10种。
2. 筛选能构成三角形的组合：根据三角形三边关系，较短两边之和大于最长边逐一判断：
仅(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)这3种组合满足较短两边之和大于最长边，可构成三角形。
3. 计算概率：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{10}$
【答案】
$\frac{3}{10}$
【知识点】
三角形三边关系、列举法计数、概率公式
【点评】
本题重点考查古典概型概率的计算和三角形三边关系的应用，解题核心是准确枚举所有取法，再用三边判定规则筛选符合要求的情况，注意枚举时要按顺序避免漏数或重复计数，掌握简化的三边判定方法可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
12.下图(见下页)所示的为$9×7$的正方形点阵,其水平方向和竖直方向的两格点间的长度都为1个单位,以这些点为顶点的三角形称为格点三角形。请通过画图分析,探究下
列问题:
(1)请在图中画出以AB为边且面积为2的一个格点三角形。
(2)任取该点阵中能与A,B构成三角形的一点M,求以点A,B,M为顶点的三角形的面积为2的概率。
(3)任取该点阵中能与A,B构成三角形的一点M,求以点A,B,M为顶点的三角形为直角三角形的概率。
列问题:
(1)请在图中画出以AB为边且面积为2的一个格点三角形。
(2)任取该点阵中能与A,B构成三角形的一点M,求以点A,B,M为顶点的三角形的面积为2的概率。
(3)任取该点阵中能与A,B构成三角形的一点M,求以点A,B,M为顶点的三角形为直角三角形的概率。
答案
12. (1)图略
(2)以A,B,M为顶点的三角形的面积为2的概率为$\frac{12}{63-7}=\frac{3}{14}$
(3)以A,B,M为顶点的三角形为直角三角形的概率为$\frac{12+2}{63-7}=\frac{1}{4}$
(2)以A,B,M为顶点的三角形的面积为2的概率为$\frac{12}{63-7}=\frac{3}{14}$
(3)以A,B,M为顶点的三角形为直角三角形的概率为$\frac{12+2}{63-7}=\frac{1}{4}$
解析
【分析】
(1) 要画出以AB为边、面积为2的格点三角形，先根据三角形面积公式求出AB边上对应的高，再找到符合该高度要求的格点作为第三个顶点，连线即可得到所求图形。
(2) 先计算点阵总点数，减去与A、B共线、无法构成三角形的点数，得到可取点M的总个数；再数出能使△ABM面积为2的点M的个数，代入概率公式计算即可。
(3) 按直角顶点的位置分三类讨论：直角在A、直角在B、直角在M，分别数出每类对应的点M的个数求和，再代入概率公式计算结果。
【解析】
该点阵为9列7行，总点数为$9×7=63$个。
观察AB所在直线，其斜率为1，沿直线延长后点阵中在该直线上的点共7个，这7个点与A、B共线，无法构成三角形，因此可取的点M总个数为$63-7=56$个。
(1) 计算得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，设AB边上的高为$h$，由$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× AB× h=2$，解得$h=\sqrt{2}$。任取点阵中到AB的距离为$\sqrt{2}$的格点作为M，连接AM、BM即可得到符合要求的三角形（画图略）。
(2) 经计数，点阵中到AB的距离为$\sqrt{2}$且不与AB共线的格点共12个，即能使△ABM面积为2的点M有12个，因此所求概率为$\frac{12}{56}=\frac{3}{14}$。
(3) 分类计数符合要求的直角三角形：①直角顶点为A，过A作AB的垂线，垂线上符合要求的格点共5个；②直角顶点为B，过B作AB的垂线，垂线上符合要求的格点共5个；③直角顶点为M，满足∠AMB为直角的格点共4个。合计符合要求的点M共14个，因此所求概率为$\frac{14}{56}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 图略
(2) $\frac{3}{14}$
(3) $\frac{1}{4}$
【知识点】
格点图形计算，概率公式，直角三角形性质
【点评】
本题结合格点图形考查概率求解，解题的关键是先排除无法构成三角形的共线点，求解直角三角形个数时需用到分类讨论思想，避免漏数或多数，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
(1) 要画出以AB为边、面积为2的格点三角形，先根据三角形面积公式求出AB边上对应的高，再找到符合该高度要求的格点作为第三个顶点，连线即可得到所求图形。
(2) 先计算点阵总点数，减去与A、B共线、无法构成三角形的点数，得到可取点M的总个数；再数出能使△ABM面积为2的点M的个数，代入概率公式计算即可。
(3) 按直角顶点的位置分三类讨论：直角在A、直角在B、直角在M，分别数出每类对应的点M的个数求和，再代入概率公式计算结果。
【解析】
该点阵为9列7行，总点数为$9×7=63$个。
观察AB所在直线，其斜率为1，沿直线延长后点阵中在该直线上的点共7个，这7个点与A、B共线，无法构成三角形，因此可取的点M总个数为$63-7=56$个。
(1) 计算得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，设AB边上的高为$h$，由$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× AB× h=2$，解得$h=\sqrt{2}$。任取点阵中到AB的距离为$\sqrt{2}$的格点作为M，连接AM、BM即可得到符合要求的三角形（画图略）。
(2) 经计数，点阵中到AB的距离为$\sqrt{2}$且不与AB共线的格点共12个，即能使△ABM面积为2的点M有12个，因此所求概率为$\frac{12}{56}=\frac{3}{14}$。
(3) 分类计数符合要求的直角三角形：①直角顶点为A，过A作AB的垂线，垂线上符合要求的格点共5个；②直角顶点为B，过B作AB的垂线，垂线上符合要求的格点共5个；③直角顶点为M，满足∠AMB为直角的格点共4个。合计符合要求的点M共14个，因此所求概率为$\frac{14}{56}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 图略
(2) $\frac{3}{14}$
(3) $\frac{1}{4}$
【知识点】
格点图形计算，概率公式，直角三角形性质
【点评】
本题结合格点图形考查概率求解，解题的关键是先排除无法构成三角形的共线点，求解直角三角形个数时需用到分类讨论思想，避免漏数或多数，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
