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1. 如图，点O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠A=
20
°。答案
1. 20
解析
【分析】
要求∠A的度数，我们可以结合三角形内心的性质推导：首先，三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。先在△BOC中利用三角形内角和定理求出∠OBC与∠OCB的和，再根据角平分线的倍分关系得到∠ABC与∠ACB的和，最后在△ABC中用内角和定理即可算出∠A的度数。
【解析】
∵点O是△ABC的内心
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BOC中，$∠ BOC=100°$，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ OBC+∠ OCB=180°-∠ BOC=180°-100°=80°$
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ OBC+∠ OCB)=2×80°=160°$
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-160°=20°$
【答案】
20
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用三角形内心是角平分线交点的性质，建立两个三角形内角之间的数量关系，熟练掌握基础定义和定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要求∠A的度数，我们可以结合三角形内心的性质推导：首先，三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。先在△BOC中利用三角形内角和定理求出∠OBC与∠OCB的和，再根据角平分线的倍分关系得到∠ABC与∠ACB的和，最后在△ABC中用内角和定理即可算出∠A的度数。
【解析】
∵点O是△ABC的内心
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BOC中，$∠ BOC=100°$，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ OBC+∠ OCB=180°-∠ BOC=180°-100°=80°$
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ OBC+∠ OCB)=2×80°=160°$
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-160°=20°$
【答案】
20
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用三角形内心是角平分线交点的性质，建立两个三角形内角之间的数量关系，熟练掌握基础定义和定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,点O是$△ ABC$的内心,连接OA,OC,若$△ OCA$的高$OD=3$,则点O到边AB的距离为
3
.答案
2. 3
解析
【分析】
解题的核心是利用三角形内心的性质推导距离关系。首先回忆相关知识点：三角形的内心是三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形内心到三边的距离都相等。已知OD是点O到AC边的距离，长度为3，要求点O到AB边的距离，直接应用内心的等距性质即可快速求解。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的内心
∴点O是△ABC三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等
∵OD是△OCA的高，即OD⊥AC，且OD=3
∴点O到AC边的距离为3
∴点O到AB边的距离与点O到AC边的距离相等，即为3
【答案】
3
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，无需复杂计算，只要熟练掌握三角形内心到三边距离相等的性质，就能快速得出答案，是对基础知识点掌握情况的直接考查。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用三角形内心的性质推导距离关系。首先回忆相关知识点：三角形的内心是三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形内心到三边的距离都相等。已知OD是点O到AC边的距离，长度为3，要求点O到AB边的距离，直接应用内心的等距性质即可快速求解。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的内心
∴点O是△ABC三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等
∵OD是△OCA的高，即OD⊥AC，且OD=3
∴点O到AC边的距离为3
∴点O到AB边的距离与点O到AC边的距离相等，即为3
【答案】
3
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，无需复杂计算，只要熟练掌握三角形内心到三边距离相等的性质，就能快速得出答案，是对基础知识点掌握情况的直接考查。
【难度系数】
0.8
3. 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形 （
A.三边高所在直线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
B
）A.三边高所在直线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：三角形内面积最大的圆是它的内切圆，该圆与三角形三边都相切。根据切线的性质，圆心到三边的距离都等于半径，因此我们需要找到三角形中到三边距离相等的点。结合已学的角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可推导出到三边距离相等的点是三个角平分线的交点，再逐一区分其他选项对应的特殊点性质即可得出答案。
【解析】
首先，三角形内截得的面积最大的圆为三角形的内切圆，该圆与三角形的三条边均相切。
根据切线的性质，圆心到任意一条切线的距离等于圆的半径，因此内切圆的圆心到三角形三边的距离相等。
结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得三角形三个角的平分线的交点到三边的距离均相等，该点就是内切圆的圆心。
再逐一分析选项：
A. 三边高所在直线的交点是三角形的垂心，不符合要求；
B. 三个角的平分线的交点是三角形的内心，即内切圆圆心，符合要求；
C. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，到三个顶点的距离相等，是外接圆圆心，不符合要求；
D. 三边中线的交点是三角形的重心，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形的内切圆与内心
2. 角平分线的性质
3. 三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊线段交点的性质，牢记各类特殊点的定义和适用场景即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确：三角形内面积最大的圆是它的内切圆，该圆与三角形三边都相切。根据切线的性质，圆心到三边的距离都等于半径，因此我们需要找到三角形中到三边距离相等的点。结合已学的角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可推导出到三边距离相等的点是三个角平分线的交点，再逐一区分其他选项对应的特殊点性质即可得出答案。
【解析】
首先，三角形内截得的面积最大的圆为三角形的内切圆，该圆与三角形的三条边均相切。
根据切线的性质，圆心到任意一条切线的距离等于圆的半径，因此内切圆的圆心到三角形三边的距离相等。
结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得三角形三个角的平分线的交点到三边的距离均相等，该点就是内切圆的圆心。
再逐一分析选项：
A. 三边高所在直线的交点是三角形的垂心，不符合要求；
B. 三个角的平分线的交点是三角形的内心，即内切圆圆心，符合要求；
C. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，到三个顶点的距离相等，是外接圆圆心，不符合要求；
D. 三边中线的交点是三角形的重心，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形的内切圆与内心
2. 角平分线的性质
3. 三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊线段交点的性质，牢记各类特殊点的定义和适用场景即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$(a-4)^2 + (\sqrt{b-1} - 2)^2 + |c-3| = 0$，则$△ ABC$的内切圆半径长为（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4. A
解析
【分析】
首先，观察到等式左边是三个非负项（平方项、绝对值项）的和为0，根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，据此可列方程分别求出a、b、c的长度。得到三边长后，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再结合三角形内切圆半径的计算方法求解即可。
【解析】
解：
∵ 平方和绝对值均为非负数，且$(a-4)^2 + (\sqrt{b-1} - 2)^2 + |c-3| = 0$
∴ 每一项的值都为0，即：
$\begin{cases}a-4=0 \\\sqrt{b-1}-2=0 \\c-3=0\end{cases}$
分别解得：
$a=4$，
由$\sqrt{b-1}=2$两边平方得$b-1=4$，即$b=5$，
$c=3$。
∵ $3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$c^2+a^2=b^2$
∴ △ABC是直角三角形，直角边为3和4，斜边为5。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{两直角边之和-斜边}{2}$，代入得：
$r=\frac{3+4-5}{2}=1$
也可通过面积法验证：三角形面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，又$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r=\frac{1}{2}×(3+4+5)r=6r$，解得$r=1$。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；勾股定理逆定理；三角形内切圆半径计算
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质求出三角形三边长，再判断三角形形状后计算内切圆半径，需要熟练掌握相关基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
首先，观察到等式左边是三个非负项（平方项、绝对值项）的和为0，根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，据此可列方程分别求出a、b、c的长度。得到三边长后，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再结合三角形内切圆半径的计算方法求解即可。
【解析】
解：
∵ 平方和绝对值均为非负数，且$(a-4)^2 + (\sqrt{b-1} - 2)^2 + |c-3| = 0$
∴ 每一项的值都为0，即：
$\begin{cases}a-4=0 \\\sqrt{b-1}-2=0 \\c-3=0\end{cases}$
分别解得：
$a=4$，
由$\sqrt{b-1}=2$两边平方得$b-1=4$，即$b=5$，
$c=3$。
∵ $3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$c^2+a^2=b^2$
∴ △ABC是直角三角形，直角边为3和4，斜边为5。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{两直角边之和-斜边}{2}$，代入得：
$r=\frac{3+4-5}{2}=1$
也可通过面积法验证：三角形面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，又$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r=\frac{1}{2}×(3+4+5)r=6r$，解得$r=1$。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；勾股定理逆定理；三角形内切圆半径计算
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质求出三角形三边长，再判断三角形形状后计算内切圆半径，需要熟练掌握相关基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图,四边形ABCD的各边与$\odot O$都相切.若$∠ AOB=70°$,则$∠ COD=$ (
A.$110°$
B.$125°$
C.$140°$
D.$145°$
A
)A.$110°$
B.$125°$
C.$140°$
D.$145°$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先明确：四边形ABCD是⊙O的外切四边形，圆心O是四边形的内心，即O为四个内角的角平分线交点。我们先结合角平分线性质推导∠AOB与∠A、∠B的数量关系，再推导∠COD与∠C、∠D的数量关系，最后结合四边形内角和为360°，即可得到∠AOB和∠COD的和为180°，代入已知角度即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的各边都与⊙O相切
∴OA平分∠BAD，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC
∴$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$
在$△ AOB$中，由三角形内角和得：
$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ABC)$ ①
同理，在$△ COD$中：
$∠ COD=180°-(∠ OCD+∠ ODC)=180°-\frac{1}{2}(∠ BCD+∠ ADC)$ ②
将①+②得：
$∠ AOB+∠ COD=360°-\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD+∠ ADC)$
∵四边形内角和为$360°$，即$∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD+∠ ADC=360°$
∴$∠ AOB+∠ COD=360°-\frac{1}{2}×360°=180°$
已知$∠ AOB=70°$，则$∠ COD=180°-70°=110°$
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，四边形内角和，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆外切四边形的性质，解题关键是掌握外切四边形的圆心是各内角角平分线的交点，结合三角形和四边形内角和即可快速求解，是内切圆相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：四边形ABCD是⊙O的外切四边形，圆心O是四边形的内心，即O为四个内角的角平分线交点。我们先结合角平分线性质推导∠AOB与∠A、∠B的数量关系，再推导∠COD与∠C、∠D的数量关系，最后结合四边形内角和为360°，即可得到∠AOB和∠COD的和为180°，代入已知角度即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的各边都与⊙O相切
∴OA平分∠BAD，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC
∴$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$
在$△ AOB$中，由三角形内角和得：
$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ABC)$ ①
同理，在$△ COD$中：
$∠ COD=180°-(∠ OCD+∠ ODC)=180°-\frac{1}{2}(∠ BCD+∠ ADC)$ ②
将①+②得：
$∠ AOB+∠ COD=360°-\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD+∠ ADC)$
∵四边形内角和为$360°$，即$∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD+∠ ADC=360°$
∴$∠ AOB+∠ COD=360°-\frac{1}{2}×360°=180°$
已知$∠ AOB=70°$，则$∠ COD=180°-70°=110°$
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，四边形内角和，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆外切四边形的性质，解题关键是掌握外切四边形的圆心是各内角角平分线的交点，结合三角形和四边形内角和即可快速求解，是内切圆相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，点E,F,G,H分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE. 若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径长为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6. B
解析
【分析】
解题首先从正方形性质入手，设相等的线段长为未知数，可表示出Rt△AEF的两条直角边长，结合已知EF的长度，用勾股定理列方程求出未知数的值，即可得到Rt△GCH的两条直角边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果。
【解析】
设$AF=BG=CH=DE=x$，
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=17$，
∴$∠ A=∠ C=90°$，$BF=CG=DH=AE=17-x$，
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得$AE^2+AF^2=EF^2$，
代入数据得：$x^2+(17-x)^2=13^2$，
整理得：$x^2-17x+60=0$，
因式分解得$(x-5)(x-12)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=12$，
即$Rt△ GCH$的两条直角边长为5和12，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{5^2+12^2}=13$，
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、直角三角形内切圆计算
【点评】
本题是基础综合题，将正方形性质、勾股定理、三角形内切圆知识点结合考查，解题关键是先求出直角三角形的三边长，再套用内切圆公式求解，解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
解题首先从正方形性质入手，设相等的线段长为未知数，可表示出Rt△AEF的两条直角边长，结合已知EF的长度，用勾股定理列方程求出未知数的值，即可得到Rt△GCH的两条直角边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果。
【解析】
设$AF=BG=CH=DE=x$，
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=17$，
∴$∠ A=∠ C=90°$，$BF=CG=DH=AE=17-x$，
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得$AE^2+AF^2=EF^2$，
代入数据得：$x^2+(17-x)^2=13^2$，
整理得：$x^2-17x+60=0$，
因式分解得$(x-5)(x-12)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=12$，
即$Rt△ GCH$的两条直角边长为5和12，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{5^2+12^2}=13$，
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、直角三角形内切圆计算
【点评】
本题是基础综合题，将正方形性质、勾股定理、三角形内切圆知识点结合考查，解题关键是先求出直角三角形的三边长，再套用内切圆公式求解，解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
7. 勾股容圆记载于《九章算术》,是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究.刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式,其方法是将4个如图①所示的全等的直角三角形(直角边分别为a,b,斜边为c)沿其内切圆圆心与顶点、切点的连线裁开,拼成如图②所示的矩形(无缝隙、不重叠),再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d(用含a,b,c的式子表示)为 (
A.$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}$
B.$d=\dfrac{ab}{a+b+c}$
C.$d=\dfrac{ab}{2(a+b+c)}$
D.$d=\dfrac{2c}{a+b+c}$
A
)A.$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}$
B.$d=\dfrac{ab}{a+b+c}$
C.$d=\dfrac{ab}{2(a+b+c)}$
D.$d=\dfrac{2c}{a+b+c}$
答案
7. A
解析
【分析】
本题可利用等积法求解，核心是抓住直角三角形面积的两种表示方法相等建立等式。首先回忆三角形内切圆的相关性质：任意三角形的面积等于半周长与内切圆半径的乘积；其次直角三角形的面积也可以用两直角边乘积的一半计算，联立两个面积表达式，即可推导出内切圆直径d的表达式。
【解析】
设直角三角形的内切圆半径为$r$，则内切圆直径$d=2r$。
直角三角形的面积有两种计算方式：
1. 由直角边直接计算：$S=\frac{1}{2}ab$
2. 由内切圆半径和周长计算：三角形周长为$a+b+c$，根据三角形面积与内切圆半径的关系，可得$S=\frac{1}{2}×(a+b+c)× r$
联立两个面积表达式可得：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
两边同时约去$\frac{1}{2}$，得$ab=(a+b+c)r$
将$r=\frac{d}{2}$代入上式：
$ab=(a+b+c)×\frac{d}{2}$
整理得：$d=\frac{2ab}{a+b+c}$
【答案】
A
【知识点】
三角形内切圆性质；等积变换；直角三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学研究成果“勾股容圆”设计题目，既渗透了数学文化，又考查了三角形内切圆相关知识的应用，解题的关键是灵活运用面积法建立等式，推导过程简单易懂。
【难度系数】
0.7
本题可利用等积法求解，核心是抓住直角三角形面积的两种表示方法相等建立等式。首先回忆三角形内切圆的相关性质：任意三角形的面积等于半周长与内切圆半径的乘积；其次直角三角形的面积也可以用两直角边乘积的一半计算，联立两个面积表达式，即可推导出内切圆直径d的表达式。
【解析】
设直角三角形的内切圆半径为$r$，则内切圆直径$d=2r$。
直角三角形的面积有两种计算方式：
1. 由直角边直接计算：$S=\frac{1}{2}ab$
2. 由内切圆半径和周长计算：三角形周长为$a+b+c$，根据三角形面积与内切圆半径的关系，可得$S=\frac{1}{2}×(a+b+c)× r$
联立两个面积表达式可得：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
两边同时约去$\frac{1}{2}$，得$ab=(a+b+c)r$
将$r=\frac{d}{2}$代入上式：
$ab=(a+b+c)×\frac{d}{2}$
整理得：$d=\frac{2ab}{a+b+c}$
【答案】
A
【知识点】
三角形内切圆性质；等积变换；直角三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学研究成果“勾股容圆”设计题目，既渗透了数学文化，又考查了三角形内切圆相关知识的应用，解题的关键是灵活运用面积法建立等式，推导过程简单易懂。
【难度系数】
0.7
