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【例2】小明绘制的某比赛用场地设计图如图所示，该场地由$\odot O$和扇形$OBC$组成，$OB$，$OC$分别与$\odot O$交于点$A$，$D$。若$OA=1$，$OB=10$，$∠ AOD=40°$，则阴影部分的面积为（
A.$11π$
B.$\frac{100π}{9}$
C.$\frac{π}{9}$
D.$12π$
A
）A.$11π$
B.$\frac{100π}{9}$
C.$\frac{π}{9}$
D.$12π$
答案
A
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分是大扇形OBC减去小扇形OAD的差，两个扇形的圆心角相同，均为40°，半径分别为OB=10和OA=1，我们可以利用扇形面积公式，分别计算两个扇形的面积，再作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
扇形面积公式为$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360} $（其中$ n $为扇形圆心角度数，$ r $为扇形半径）。
由图可知$ ∠ BOC=∠ AOD=40° $，阴影部分面积等于大扇形OBC的面积减去小扇形OAD的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{\mathrm{扇形}OAD}\\&=\frac{40π×10^2}{360}-\frac{40π×1^2}{360}\\&=\frac{40π}{360}×(100-1)\\&=\frac{1}{9}×99π\\&=11π\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题解题关键是识别出阴影面积为两个同圆心角扇形的面积差，熟练掌握扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分是大扇形OBC减去小扇形OAD的差，两个扇形的圆心角相同，均为40°，半径分别为OB=10和OA=1，我们可以利用扇形面积公式，分别计算两个扇形的面积，再作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
扇形面积公式为$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360} $（其中$ n $为扇形圆心角度数，$ r $为扇形半径）。
由图可知$ ∠ BOC=∠ AOD=40° $，阴影部分面积等于大扇形OBC的面积减去小扇形OAD的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{\mathrm{扇形}OAD}\\&=\frac{40π×10^2}{360}-\frac{40π×1^2}{360}\\&=\frac{40π}{360}×(100-1)\\&=\frac{1}{9}×99π\\&=11π\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题解题关键是识别出阴影面积为两个同圆心角扇形的面积差，熟练掌握扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.已知一个扇形的面积是$240π$，半径是24，则这个扇形的弧长是（
A.10
B.$10π$
C.20
D.$20π$
D
）A.10
B.$10π$
C.20
D.$20π$
答案
D
解析
【分析】
本题要求扇形的弧长，已知扇形面积和半径，我们学过扇形面积有两种常用计算公式：①和圆心角相关的$S=\frac{nπ R^2}{360}$，②和弧长相关的$S=\frac{1}{2}lR$（$l$为弧长，$R$为半径）。如果使用第一个公式需要先计算圆心角，再代入弧长公式求解，步骤更繁琐，因此直接选择第二个公式，代入已知量即可直接求出弧长，解题更简便。
【解析】
设该扇形的弧长为$l$，已知扇形面积$S=240π$，半径$R=24$。
根据扇形面积和弧长的关系公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$，代入已知数值可得：
$240π=\frac{1}{2} × l × 24$
化简后得：$240π=12l$
解得：$l=240π÷12=20π$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积公式、弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查扇形面积相关公式的灵活运用，选择适配的公式可以减少计算步骤，提升解题的效率和准确率。
【难度系数】
0.8
本题要求扇形的弧长，已知扇形面积和半径，我们学过扇形面积有两种常用计算公式：①和圆心角相关的$S=\frac{nπ R^2}{360}$，②和弧长相关的$S=\frac{1}{2}lR$（$l$为弧长，$R$为半径）。如果使用第一个公式需要先计算圆心角，再代入弧长公式求解，步骤更繁琐，因此直接选择第二个公式，代入已知量即可直接求出弧长，解题更简便。
【解析】
设该扇形的弧长为$l$，已知扇形面积$S=240π$，半径$R=24$。
根据扇形面积和弧长的关系公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$，代入已知数值可得：
$240π=\frac{1}{2} × l × 24$
化简后得：$240π=12l$
解得：$l=240π÷12=20π$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积公式、弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查扇形面积相关公式的灵活运用，选择适配的公式可以减少计算步骤，提升解题的效率和准确率。
【难度系数】
0.8
【例3】如图，在矩形$ABCD$中，$AB=2$，连接$AC$，$∠ ACB=30°$，以点$C$为圆心，$CB$长为半径画弧，交$AC$于点$E$；以点$A$为圆心，$AD$长为半径画弧，交$AC$于点$F$，则图中阴影部分的面积为（
A.$2\sqrt{3}-π$
B.$4\sqrt{3}-2π$
C.$2\sqrt{3}-\dfrac{2π}{3}$
D.$4\sqrt{3}-\dfrac{4π}{3}$
B
）A.$2\sqrt{3}-π$
B.$4\sqrt{3}-2π$
C.$2\sqrt{3}-\dfrac{2π}{3}$
D.$4\sqrt{3}-\dfrac{4π}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要求阴影部分的总面积，观察图形可将其转化为规则图形面积的和差计算：阴影部分面积等于矩形ABCD的面积减去两个扇形的面积之和。首先利用矩形性质和含30°角的直角三角形的性质，求出矩形的边长、两个扇形的圆心角及半径，再分别计算矩形和两个扇形的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC，AB=CD=2，$S_{△ ABC}=S_{△ CDA}$。
在$Rt△ ABC$中，∠ACB=30°，AB=2，
∴ $AC=2AB=4$（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半），
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $AD=BC=2\sqrt{3}$，由AD//BC得∠DAC=∠ACB=30°。
分别计算各规则图形面积：
1. 矩形ABCD的面积：$S_{矩形}=AB× BC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；
2. 扇形CBE的面积：圆心角∠ACB=30°，半径$r_1=BC=2\sqrt{3}$，
$S_{扇形CBE}=\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}=π$；
3. 扇形ADF的面积：圆心角∠DAC=30°，半径$r_2=AD=2\sqrt{3}$，
$S_{扇形ADF}=\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}=π$。
∴ 阴影部分面积$=S_{矩形}-S_{扇形CBE}-S_{扇形ADF}=4\sqrt{3}-π-π=4\sqrt{3}-2π$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；扇形面积计算；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，核心是将不规则图形转化为矩形、扇形等规则图形的面积和差，解题时要注意准确识别扇形的圆心角和半径。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的总面积，观察图形可将其转化为规则图形面积的和差计算：阴影部分面积等于矩形ABCD的面积减去两个扇形的面积之和。首先利用矩形性质和含30°角的直角三角形的性质，求出矩形的边长、两个扇形的圆心角及半径，再分别计算矩形和两个扇形的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC，AB=CD=2，$S_{△ ABC}=S_{△ CDA}$。
在$Rt△ ABC$中，∠ACB=30°，AB=2，
∴ $AC=2AB=4$（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半），
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $AD=BC=2\sqrt{3}$，由AD//BC得∠DAC=∠ACB=30°。
分别计算各规则图形面积：
1. 矩形ABCD的面积：$S_{矩形}=AB× BC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；
2. 扇形CBE的面积：圆心角∠ACB=30°，半径$r_1=BC=2\sqrt{3}$，
$S_{扇形CBE}=\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}=π$；
3. 扇形ADF的面积：圆心角∠DAC=30°，半径$r_2=AD=2\sqrt{3}$，
$S_{扇形ADF}=\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}=π$。
∴ 阴影部分面积$=S_{矩形}-S_{扇形CBE}-S_{扇形ADF}=4\sqrt{3}-π-π=4\sqrt{3}-2π$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；扇形面积计算；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，核心是将不规则图形转化为矩形、扇形等规则图形的面积和差，解题时要注意准确识别扇形的圆心角和半径。
【难度系数】
0.6
3.如图,在扇形AOB中,∠AOB=30°,OA=2√3,点C在OB上,且OC=AC.延长CB到D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作ACDE,则图中阴影部分的面积为
$3\sqrt{3}-π$
.(结果保留π)答案
$3\sqrt{3}-π$
解析
【分析】
解题思路如下：①首先根据等腰三角形等边对等角的性质，得出△OAC中∠OAC=∠AOB=30°，进而求出∠ACO和∠ACH的度数，结合OA的长度，通过直角三角形30°角的性质求出AC、OC的长度，同时求出A到OB的垂线段长度（即平行四边形的高）；②分别计算△OAC的面积、平行四边形ACDE的面积、扇形AOB的面积；③观察图形通过割补法可得，阴影部分面积=△OAC面积 + 平行四边形ACDE面积 - 扇形AOB面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
1. 求线段长度与高：
在△OAC中，
∵OC=AC，∠AOB=30°，
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACO=180°-30°-30°=120°，则∠ACH=180°-120°=60°。
过点A作AH⊥OB于点H，
在Rt△AOH中，AH=OA·sin30°=2√3 × 1/2 = √3。
在Rt△ACH中，∠CAH=90°-60°=30°，设CH=x，则AC=2x，AH=√3 x，
∵AH=√3，
∴√3 x=√3，解得x=1，
∴AC=2x=2，又
∵OC=AC、CD=CA，
∴OC=CD=2。
2. 计算各部分面积：
①$S_{△ OAC} = \frac{1}{2} × OC × AH = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$；
②平行四边形ACDE的高为AH=√3，底CD=2，
∴$S_{\mathrm{平行四边形}ACDE} = 底 × 高 = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$；
③扇形AOB中，圆心角∠AOB=30°，半径OA=2√3，
∴$S_{\mathrm{扇形}AOB} = \frac{n}{360°} × π r^2 = \frac{30°}{360°} × π × (2\sqrt{3})^2 = π$。
3. 计算阴影面积：
观察图形可知，阴影部分面积 = $S_{△ OAC} + S_{\mathrm{平行四边形}ACDE} - S_{\mathrm{扇形}AOB}$，
代入得：$S_{\mathrm{阴影}} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - π = 3\sqrt{3} - π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时要注意角度的推导和直角三角形性质的运用，计算扇形面积时不要记错圆心角和半径的数值。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①首先根据等腰三角形等边对等角的性质，得出△OAC中∠OAC=∠AOB=30°，进而求出∠ACO和∠ACH的度数，结合OA的长度，通过直角三角形30°角的性质求出AC、OC的长度，同时求出A到OB的垂线段长度（即平行四边形的高）；②分别计算△OAC的面积、平行四边形ACDE的面积、扇形AOB的面积；③观察图形通过割补法可得，阴影部分面积=△OAC面积 + 平行四边形ACDE面积 - 扇形AOB面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
1. 求线段长度与高：
在△OAC中，
∵OC=AC，∠AOB=30°，
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACO=180°-30°-30°=120°，则∠ACH=180°-120°=60°。
过点A作AH⊥OB于点H，
在Rt△AOH中，AH=OA·sin30°=2√3 × 1/2 = √3。
在Rt△ACH中，∠CAH=90°-60°=30°，设CH=x，则AC=2x，AH=√3 x，
∵AH=√3，
∴√3 x=√3，解得x=1，
∴AC=2x=2，又
∵OC=AC、CD=CA，
∴OC=CD=2。
2. 计算各部分面积：
①$S_{△ OAC} = \frac{1}{2} × OC × AH = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$；
②平行四边形ACDE的高为AH=√3，底CD=2，
∴$S_{\mathrm{平行四边形}ACDE} = 底 × 高 = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$；
③扇形AOB中，圆心角∠AOB=30°，半径OA=2√3，
∴$S_{\mathrm{扇形}AOB} = \frac{n}{360°} × π r^2 = \frac{30°}{360°} × π × (2\sqrt{3})^2 = π$。
3. 计算阴影面积：
观察图形可知，阴影部分面积 = $S_{△ OAC} + S_{\mathrm{平行四边形}ACDE} - S_{\mathrm{扇形}AOB}$，
代入得：$S_{\mathrm{阴影}} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - π = 3\sqrt{3} - π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时要注意角度的推导和直角三角形性质的运用，计算扇形面积时不要记错圆心角和半径的数值。
【难度系数】
0.6
