1.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转$120°$得到△$AB'C'$.若点$C,B,C'$共线，则$∠B'C'C$的度数为（）

A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$15°$
（第1题）

1.A

【分析】
解决本题首先要用到旋转的性质，先明确旋转后对应边相等、对应角相等、旋转角相等：由△ABC绕点A顺时针旋转120°得△AB'C'，可得AC=AC'，旋转角∠CAC'=120°，∠AC'B'=∠ACB。接下来先判断△ACC'是顶角为120°的等腰三角形，利用三角形内角和算出它的底角度数，再结合对应角相等，将两个底角相加即可得到∠B'C'C的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB'C'，
∴AC=AC'，∠CAC'=120°，∠AC'B'=∠ACB。
在△ACC'中，AC=AC'，
∴∠AC'C=∠ACC'=$\frac{180°-∠CAC'}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴∠AC'B'=∠ACC'=30°，
∴∠B'C'C=∠AC'B'+∠AC'C=30°+30°=60°。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题型，解题核心是抓住旋转前后的等量关系，结合等腰三角形的角度计算方法求解，思路比较直接。
【难度系数】
0.8

2.如图，在$△ ABC$中，$∠ CAB=62°$，将$△ ABC$绕点A旋转到$△ AB'C'$的位置，使得$CC'// AB$，则$∠ BAB'$的度数为（）

A.$64°$
B.$52°$
C.$62°$
D.$56°$

2.D

【分析】
解题时先结合旋转的性质确定对应边、旋转角的关系：旋转后对应边$AC=AC'$，旋转角$∠BAB'=∠C'AC$；再利用$CC'// AB$的平行关系，得到内错角$∠C'CA=∠CAB=62°$；接着由$AC=AC'$判定$△ACC'$为等腰三角形，得到两底角相等，结合三角形内角和求出顶角$∠C'AC$的度数，即可得到$∠BAB'$的度数。
【解析】
解：
∵$△ABC$绕点A旋转得到$△AB'C'$，
∴$AC=AC'$，$∠BAB'=∠C'AC$（旋转前后对应边相等，旋转角相等）。
∵$CC'// AB$，
∴$∠C'CA=∠CAB=62°$（两直线平行，内错角相等）。
∵$AC=AC'$，
∴$△ACC'$为等腰三角形，$∠AC'C=∠ACC'=62°$。
在$△ACC'$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠C'AC=180°-∠ACC'-∠AC'C=180°-62°-62°=56°$，
∴$∠BAB'=∠C'AC=56°$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质应用的基础题，需要结合平行线、等腰三角形、三角形内角和的相关知识求解，解题核心是抓住旋转角相等的性质，通过等腰三角形的角度计算得到结果，是旋转类考题的常见题型。
【难度系数】
0.7

3.如图,将$Rt△ ABC$绕直角顶点C按顺时针方向旋转$90°$,得到$Rt△ A'B'C$,点$A'$落在BC的延长线上.若$AC=8$,$BC=6$,点$M$,$M'$分别是$AB$,$A'B'$的中点,则$MM'$的长是.

3.$5\sqrt{2}$

【分析】
解题时先连接CM、CM'，首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到CM和CM'的长度；接着根据旋转的性质可知，旋转前后对应线段的夹角等于旋转角，即∠MCM'=90°，由此可得△MCM'是等腰直角三角形，最后用勾股定理计算MM'的长度即可。
【解析】
解：连接$CM$、$CM'$。
在$Rt△ ABC$中，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵ $M$是$Rt△ ABC$斜边$AB$的中点，
∴ $CM=\frac{1}{2}AB=5$。
由旋转的性质可得：$A'B'=AB=10$，$∠ ACA'=90°$，$M'$是$Rt△ A'B'C$斜边$A'B'$的中点，
∴ $CM'=\frac{1}{2}A'B'=5$，且线段$CM$旋转$90°$得到$CM'$，即$∠ MCM'=90°$。
∴ $△ MCM'$是等腰直角三角形，
∴ $MM'=\sqrt{CM^2+CM'^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质；直角三角形斜边中线的性质；勾股定理
【点评】
本题是旋转性质应用的典型题，解题的关键是通过连接斜边中线构造等腰直角三角形，将所求线段转化到特殊三角形中求解，较好地考查了几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6

4.把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转$45°$得到正方形$AB'C'D'$，边BC与$D'C'$交于点O，则四边形$ABOD'$的周长是.
【补充设问】
四边形$ABOD'$的面积为.

4.$10\sqrt{2}$
【补充设问】$25\sqrt{2}-25$

【分析】
解题时先结合旋转的性质，明确旋转前后正方形边长不变，均为5。再利用正方形对角线平分内角、旋转角为45°的特点，可判断出旋转后边AD'刚好落在原正方形的对角线AC上，由此先求出CD'的长度。接着判断△CD'O为等腰直角三角形，得到D'O与OC的长度，进而求出BO的长度，即可计算四边形周长。求面积时，用△ACD的面积减去等腰直角△CD'O的面积即可得到结果。
【解析】
已知正方形ABCD边长为5，由正方形性质得：AB=AD=BC=5，∠C=90°，对角线$AC=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$，∠DAC=45°。
根据旋转的性质，旋转后正方形AB'C'D'的边$AD'=AD=5$，$∠ AD'C'=90°$，且旋转角为45°，因此点D'落在对角线AC上，可得：
$CD'=AC-AD'=5\sqrt{2}-5$。
在$△ CD'O$中，$∠ C=45°$，$∠ CD'O=180°-∠ AD'C'=90°$，故$△ CD'O$是等腰直角三角形，因此：
$D'O=CD'=5\sqrt{2}-5$，$OC=\sqrt{2}· CD'=\sqrt{2}(5\sqrt{2}-5)=10-5\sqrt{2}$，
则$BO=BC-OC=5-(10-5\sqrt{2})=5\sqrt{2}-5$。
计算周长：
四边形$ABOD'$的周长$=AB+BO+OD'+D'A$
$=5+(5\sqrt{2}-5)+(5\sqrt{2}-5)+5=10\sqrt{2}$。
计算面积：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$，
$S_{△ CD'O}=\frac{1}{2}× CD'× D'O=\frac{1}{2}×(5\sqrt{2}-5)^2=\frac{75-50\sqrt{2}}{2}$，
因此四边形$ABOD'$的面积$=S_{△ ACD}-S_{△ CD'O}=\frac{25}{2}-\frac{75-50\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}-25$。
【答案】
$10\sqrt{2}$；$25\sqrt{2}-25$
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质应用的典型题，解题核心是结合旋转角度和正方形内角的特点，判断出旋转后点的位置，再结合特殊三角形的边长关系求解，能很好地考查图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65

5. 能力训练点·探究建模 【问题背景】如图①，设P是等边三角形ABC内的一点，$PA=6$，$PB=8$，$PC=10$，求$∠APB$的度数. 小君研究这个问题的思路是：将$△ ACP$绕点A逆时针旋转$60°$得到$△ ABP'$，易证$△ APP'$是等边三角形，$△ PBP'$是直角三角形，所以$∠APB=∠APP'+∠BPP'=150°$.

【简单应用】
（1）如图②，在等腰直角三角形ABC中，$∠ACB=90°$，P为$△ ABC$内一点，且$PA=5$，$PB=3$，$PC=2\sqrt{2}$，则$∠BPC=$°；
（2）如图③，在等边三角形ABC中，P为$△ ABC$内的一点，且$PA=5$，$PB=12$，$∠APB=150°$，求PC的长；
【拓展延伸】
（3）如图④，等腰直角三角形ABC（$∠ABC=90°$）与$\mathrm{Rt}△ ADC$（$∠ADC=90°$）在AC的同侧，若$AD=2$，$DC=4$，连接BD，直接写出BD的长度.

5.解: (1)135 (2)$PC=13$. (3)$\sqrt{2}$

【分析】
本题利用旋转的性质求解，核心思路是通过旋转将分散的已知边、角条件集中到同一个三角形中，结合特殊三角形的性质计算：
（1）等腰直角三角形中旋转90°，构造等腰直角三角形和直角三角形，推导∠BPC的度数；
（2）等边三角形中旋转60°，构造等边三角形和直角三角形，利用勾股定理求PC长度；
（3）通过旋转构造等腰直角三角形，结合角的关系得到三点共线，推导BD长度。
【解析】
（1）将△ACP绕点C逆时针旋转90°，使AC与BC重合，得到△BCP'，连接PP'。
由旋转性质得：$CP=CP'=2\sqrt{2}$，$P'B=PA=5$，$∠ PCP'=90°$，
∴△PCP'为等腰直角三角形，$∠ CPP'=45°$，$PP'=\sqrt{2}PC=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$。
在△PBP'中，$PB=3$，$PP'=4$，$P'B=5$，满足$3^2+4^2=5^2$，即$PB^2+PP'^2=P'B^2$，
∴△PBP'是直角三角形，$∠ P'PB=90°$，
∴$∠ BPC=∠ CPP'+∠ P'PB=45°+90°=135°$。
（2）将△ABP绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，得到△ACP'，连接PP'。
由旋转性质得：$AP=AP'=5$，$P'C=PB=12$，$∠ PAP'=60°$，$∠ AP'C=∠ APB=150°$，
∴△APP'为等边三角形，$PP'=AP=5$，$∠ AP'P=60°$，
∴$∠ PP'C=∠ AP'C-∠ AP'P=150°-60°=90°$。
在Rt△PP'C中，由勾股定理得：$PC=\sqrt{PP'^2+P'C^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
（3）将△ABD绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，得到△CBE，连接DE。
由旋转性质得：$BD=BE$，$∠ DBE=90°$，$CE=AD=2$，$∠ BCE=∠ BAD$，
∵$∠ ADC=∠ ABC=90°$，四边形内角和为$360°$，
∴$∠ BAD+∠ BCD=360°-90°-90°=180°$，
∴$∠ BCE+∠ BCD=180°$，即D、C、E三点共线，
∴$DE=DC-CE=4-2=2$。
∵△DBE为等腰直角三角形，
∴$DE=\sqrt{2}BD$，
∴$BD=\frac{DE}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$\boxed{135}$；（2）$\boxed{13}$；（3）$\boxed{\sqrt{2}}$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；特殊三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转性质的典型应用题型，通过旋转实现边角的转移，将分散的条件整合到特殊三角形中求解，是几何中处理三角形内一点相关线段、角度问题的常用方法，需熟练掌握旋转的性质和特殊三角形的边角计算规律。
【难度系数】
0.6