七年级(1)班“综合与实践”小组计划利用一张边长为20 cm的正方形纸板制成一个无盖的长方体纸盒.他们经过讨论决定,按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小、边长为x cm的小正方形,再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒,如图2.根据实践过程,解答以下的问题(纸板厚度及接缝处忽略不计).
【问题一】
(1)制成的长方体盒子中,长方体的高(即剪下的小正方形的边长)为x cm,则长方体的容积为 cm³.

【问题二】
(2)为了使纸盒底面更加牢固且剪下的纸张不浪费,将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面,若既不重叠又恰好铺满,则剪下的小正方形的边长x cm的值为.
【问题三】
(3)如果剪去的小正方形的边长x cm的值按整数值依次增大,制成的无盖的长方体盒子的容积随之变化,其变化情况如下表:

①计算表中的m与n的值,并补全如图3所示的折线统计图.
②观察折线统计图,说明随着剪去的小正方形的边长x cm的值增大,长方体盒子的容积怎样变化;观察表格和折线统计图,说明当x为何值时,所得到的无盖长方体盒子的容积最大.

(1) $x(20-2x)^2$
(2) 5 cm
(3) ①当 $x=3$ 时, $m=(20-2×3)^2×3=196×3=588$; 当 $x=5$ 时, $n=(20-2×5)^2×5=100×5=500$. 补全折线统计图略.
②当 x 从 1 到 3 时,长方体盒子的容积随小正方形边长 x 的增大而增大;当 x 从 3 到 9 时,长方体盒子的容积随小正方形边长 x 的增大而减小;当 $x=3$ 时,长方体盒子的容积最大,最大值为 $588\ \mathrm{cm}^3$.

【分析】
本题围绕制作无盖长方体纸盒的实际情境展开，各小问解题思路如下：
(1) 求长方体容积需用到公式：容积=长×宽×高。折成的无盖长方体的高是剪去的小正方形边长x cm，原正方形边长为20 cm，四角各剪去边长为x的小正方形后，底面的长和宽均为(20-2x) cm，代入公式即可列出容积的代数式。
(2) 抓住“四个小正方形平铺在底面既不重叠又恰好铺满”的条件，可得四个小正方形的总面积等于长方体底面的面积，分别表示出两个面积列方程求解，舍去不符合实际的解即可。
(3) ①直接将x=3、x=5代入第(1)问得到的容积代数式计算，即可得到m、n的值，补全折线图只需描出对应点后连线即可；②观察折线的升降趋势即可总结容积随x的变化规律，折线最高点对应的x值就是容积最大的取值。
【解析】
(1) 折成的无盖长方体的长、宽均为(20-2x) cm，高为x cm，根据长方体容积公式可得：
容积 = 长×宽×高 = $x(20-2x)^2$ cm³。
(2) 由题意得：四个小正方形的总面积 = 长方体底面面积
四个小正方形总面积为$4x^2$ cm²，长方体底面面积为$(20-2x)^2$ cm²，列方程：
$(20-2x)^2=4x^2$
因为边长为正数，所以$20-2x=2x$，解得$x=5$，符合实际意义。
(3) ①将x=3代入容积公式：
$m=3×(20-2×3)^2=3×14^2=3×196=588$
将x=5代入容积公式：
$n=5×(20-2×5)^2=5×10^2=5×100=500$
补全折线统计图：在坐标系中描出点(3,588)、(5,500)，依次连接相邻点即可（过程略）。
②观察折线统计图可得：x从1增大到3时，折线上升，容积随x增大而增大；x从3增大到9时，折线下降，容积随x增大而减小；折线最高点对应x=3，此时容积最大。
【答案】
(1) $x(20-2x)^2$
(2) 5 cm
(3) ①$m=588$，$n=500$，补全折线统计图略；②当 x 从 1 到 3 时,长方体盒子的容积随小正方形边长 x 的增大而增大;当 x 从 3 到 9 时,长方体盒子的容积随小正方形边长 x 的增大而减小;当 $x=3$ 时,长方体盒子的容积最大,最大值为 $588\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
列代数式，代数式求值，方程实际应用
【点评】
本题结合生活实践情境考查代数知识的应用，既锻炼了基础列式、计算能力，也考查了从图表中提取变化规律的分析能力，有助于提升用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7