例 如图,在锐角三角形ABC中,E是AB边上一点,BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与CE交于点G.
(1)求证△AEG为等腰三角形;
(2)若GD=5,G为CE的中点,求AG的长.

分析:(1)利用等角的余角相等和对顶角相等可得∠BAD=∠CGD=∠AGE,继而证明△AEG为等腰三角形即可;
(2)作EH⊥AD,垂足为H,证明△EHG≌△CDG,结合等腰三角形“三线合一”的性质可得AH=HG=GD=5,继而得到AG的长.
(1)证明:∵ AD⊥BC于点D,
∴ ∠ADB=∠GDC=90°.
∴ ∠B+∠BAD=90°,
∠DCG+∠CGD=90°.
∵ BE=CE,
∴ ∠B=∠DCG.
∴ ∠BAD=∠CGD.
又 ∠CGD=∠AGE,
∴ ∠BAD=∠AGE.
∴ AE=EG.
∴ △AEG为等腰三角形.
(2)解:如图,过点E作
EH⊥AD,垂足为H.
∵ EH⊥AD,AD⊥BC,
∴ ∠EHG=∠CDG=90°.
∵ G为CE的中点,
∴ EG=CG.
在△EHG和△CDG中,
$\{\begin{array}{l}∠EHG=∠CDG,\\∠EGH=∠CGD,\\EG=CG,\end{array} $
∴ △EHG≌△CDG(AAS).
∴ HG=DG.
∵ AE=EG,EH⊥AD,
∴ AH=HG.
∴ HG=DG=AH=5.
∴ AG=10.
方法点拨 本题考查了等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键.

(1) 证明：
∵ $AD ⊥ BC$ 于点 $D$，
∴ $∠ ADB = ∠ GDC = 90°$，
∴ $∠ B + ∠ BAD = 90°$，$∠ DCG + ∠ CGD = 90°$。
∵ $BE = CE$，
∴ $∠ B = ∠ DCG$，
∴ $∠ BAD = ∠ CGD$。
又∵ $∠ CGD = ∠ AGE$，
∴ $∠ BAD = ∠ AGE$，
∴ $AE = EG$，
∴ $△ AEG$ 为等腰三角形。
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(2) 解：
过点 $E$ 作 $EH ⊥ AD$，垂足为 $H$。
∵ $EH ⊥ AD$，$AD ⊥ BC$，
∴ $∠ EHG = ∠ CDG = 90°$。
∵ $G$ 为 $CE$ 的中点，
∴ $EG = CG$。
在 $△ EHG$ 和 $△ CDG$ 中，
$\begin{cases}∠ EHG = ∠ CDG \\∠ EGH = ∠ CGD \\EG = CG\end{cases}$
∴ $△ EHG ≌ △ CDG (\mathrm{AAS})$，
∴ $HG = DG$。
由(1)得 $AE = EG$，又∵ $EH ⊥ AD$，
∴ $AH = HG$（等腰三角形三线合一），
∴ $AH = HG = GD = 5$，
∴ $AG = AH + HG = 10$。

【分析】
(1) 要证明△AEG为等腰三角形，需依据“等角对等边”证明其有两个内角相等。首先由AD⊥BC可得∠B与∠BAD互余、∠DCG与∠CGD互余，再结合BE=CE推出∠B=∠DCG，利用等角的余角相等得到∠BAD=∠CGD，最后通过对顶角相等将∠CGD替换为∠AGE，即可得到∠BAD=∠AGE，完成等腰三角形的判定。
(2) 求AG的长度时，已知GD=5且G为CE中点，可作EH⊥AD构造全等三角形，先通过AAS证明△EHG≌△CDG得到HG=GD；再结合(1)的结论AE=EG，利用等腰三角形“三线合一”的性质推出AH=HG，即可得AH=HG=GD=5，进而求出AG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD ⊥ BC$ 于点 $D$，
∴ $∠ ADB = ∠ GDC = 90°$，
∴ $∠ B + ∠ BAD = 90°$，$∠ DCG + ∠ CGD = 90°$。
∵ $BE = CE$，
∴ $∠ B = ∠ DCG$，
∴ $∠ BAD = ∠ CGD$。
又
∵ $∠ CGD = ∠ AGE$，
∴ $∠ BAD = ∠ AGE$，
∴ $AE = EG$，
∴ $△ AEG$ 为等腰三角形。
(2) 解：
过点 $E$ 作 $EH ⊥ AD$，垂足为 $H$。
∵ $EH ⊥ AD$，$AD ⊥ BC$，
∴ $∠ EHG = ∠ CDG = 90°$。
∵ $G$ 为 $CE$ 的中点，
∴ $EG = CG$。
在 $△ EHG$ 和 $△ CDG$ 中，
$\begin{cases}∠ EHG = ∠ CDG \\∠ EGH = ∠ CGD \\EG = CG\end{cases}$
∴ $△ EHG ≌ △ CDG (\mathrm{AAS})$，
∴ $HG = DG$。
由(1)得 $AE = EG$，又
∵ $EH ⊥ AD$，
∴ $AH = HG$（等腰三角形三线合一），
∴ $AH = HG = GD = 5$，
∴ $AG = AH + HG = 10$。
【答案】
(1) △AEG为等腰三角形，证明成立；
(2) $AG=10$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等
【点评】
本题是三角形相关性质的基础综合应用题，第一问侧重考查角的等量转换逻辑，第二问需要合理构造辅助线，能有效锻炼学生的几何推理能力和对核心定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7