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6. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE是△ABD的中线,DF是△ACD的中线.求证DE=DF. 
答案
6.
∵ AB=AC,D为BC的中点,
∴ AD平分∠BAC.
∴ ∠EAD=∠FAD.
∵ DE是△ABD的中线,DF是△ACD的中线,
∴ $AE=\frac{1}{2}AB,AF=\frac{1}{2}AC$.
∴ AE=AF.
在△ADE和△ADF中,
$\begin{cases}AD=AD,\\∠EAD=∠FAD,\\AE=AF,\end{cases}$
∴ △ADE≌△ADF.
∴ DE=DF.
∵ AB=AC,D为BC的中点,
∴ AD平分∠BAC.
∴ ∠EAD=∠FAD.
∵ DE是△ABD的中线,DF是△ACD的中线,
∴ $AE=\frac{1}{2}AB,AF=\frac{1}{2}AC$.
∴ AE=AF.
在△ADE和△ADF中,
$\begin{cases}AD=AD,\\∠EAD=∠FAD,\\AE=AF,\end{cases}$
∴ △ADE≌△ADF.
∴ DE=DF.
解析
【分析】
要证明DE=DF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，即证明△ADE≌△ADF。首先结合等腰三角形ABC和D是BC中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，得到一组对应角相等；再根据三角形中线的定义，结合AB=AC可推导出AE=AF，得到一组对应边相等；最后结合公共边AD，即可通过SAS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠EAD=∠FAD。
∵DE是△ABD的中线，DF是△ACD的中线，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$AF=\frac{1}{2}AC$（三角形中线的定义）。
又
∵AB=AC，
∴AE=AF。
在△ADE和△ADF中：
$\begin{cases}AD=AD\quad (\mathrm{公共边}) \\∠EAD=∠FAD\quad (\mathrm{已证}) \\AE=AF\quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
【答案】
DE=DF
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中线的定义
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心解题思路是将线段相等的证明转化为三角形全等的证明，解题时需要理清已知条件和待证结论之间的逻辑关系，熟练运用等腰三角形性质、中线定义和全等判定定理即可完成求解。
【难度系数】
0.8
要证明DE=DF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，即证明△ADE≌△ADF。首先结合等腰三角形ABC和D是BC中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，得到一组对应角相等；再根据三角形中线的定义，结合AB=AC可推导出AE=AF，得到一组对应边相等；最后结合公共边AD，即可通过SAS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠EAD=∠FAD。
∵DE是△ABD的中线，DF是△ACD的中线，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$AF=\frac{1}{2}AC$（三角形中线的定义）。
又
∵AB=AC，
∴AE=AF。
在△ADE和△ADF中：
$\begin{cases}AD=AD\quad (\mathrm{公共边}) \\∠EAD=∠FAD\quad (\mathrm{已证}) \\AE=AF\quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
【答案】
DE=DF
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中线的定义
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心解题思路是将线段相等的证明转化为三角形全等的证明，解题时需要理清已知条件和待证结论之间的逻辑关系，熟练运用等腰三角形性质、中线定义和全等判定定理即可完成求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE平分∠ADB,DF平分∠ADC. 求证DE=DF.
变式:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE是∠ADB的三等分线$(∠BDE=\frac{1}{3}∠ADB)$,DF是∠ADC的三等分线$(∠CDF=\frac{1}{3}∠ADC)$. 求证DE=DF.
变式:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE是∠ADB的三等分线$(∠BDE=\frac{1}{3}∠ADB)$,DF是∠ADC的三等分线$(∠CDF=\frac{1}{3}∠ADC)$. 求证DE=DF.
答案
7.
∵ AB=AC,D为BC的中点,
∴ ∠B=∠C,BD=CD,AD⊥BC.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,
∴ $∠BDE=\frac{1}{2}∠ADB,∠CDF=\frac{1}{2}∠ADC$.
∴ ∠BDE=∠CDF.
在△BDE和△CDF中,
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\BD=CD,\\∠B=∠C,\end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF.
∴ DE=DF.
变式:
∵ AB=AC,D为BC的中点,
∴ ∠B=∠C,BD=CD,AD⊥BC.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ $∠BDE=\frac{1}{3}∠ADB,∠CDF=\frac{1}{3}∠ADC$,
∴ ∠BDE=∠CDF.
在△BDE和△CDF中,
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\BD=CD,\\∠B=∠C,\end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF.
∴ DE=DF.
∵ AB=AC,D为BC的中点,
∴ ∠B=∠C,BD=CD,AD⊥BC.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,
∴ $∠BDE=\frac{1}{2}∠ADB,∠CDF=\frac{1}{2}∠ADC$.
∴ ∠BDE=∠CDF.
在△BDE和△CDF中,
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\BD=CD,\\∠B=∠C,\end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF.
∴ DE=DF.
变式:
∵ AB=AC,D为BC的中点,
∴ ∠B=∠C,BD=CD,AD⊥BC.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ $∠BDE=\frac{1}{3}∠ADB,∠CDF=\frac{1}{3}∠ADC$,
∴ ∠BDE=∠CDF.
在△BDE和△CDF中,
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\BD=CD,\\∠B=∠C,\end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF.
∴ DE=DF.
解析
【分析】
要证明DE=DF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先结合等腰三角形的性质，已知AB=AC、D是BC中点，根据等腰三角形三线合一可得到∠B=∠C、BD=CD，且AD⊥BC即∠ADB=∠ADC=90°；再根据角平分线（或三等分线）的定义，可推出∠BDE=∠CDF，此时即可用“角边角”判定△BDE和△CDF全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
原题证明：
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ ∠B=∠C，BD=CD，AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
∵ DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴ $∠BDE=\frac{1}{2}∠ADB$，$∠CDF=\frac{1}{2}∠ADC$，
∴ ∠BDE=∠CDF。
在△BDE和△CDF中：
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\BD=CD,\\∠B=∠C,\end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF（ASA），
∴ DE=DF。
变式证明：
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ ∠B=∠C，BD=CD，AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
∵ $∠BDE=\frac{1}{3}∠ADB$，$∠CDF=\frac{1}{3}∠ADC$，
∴ ∠BDE=∠CDF。
在△BDE和△CDF中：
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\BD=CD,\\∠B=∠C,\end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF（ASA），
∴ DE=DF。
【答案】
原题和变式均得证DE=DF。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角等分线定义
【点评】
本题是几何基础证明题，核心思路是通过证明三角形全等来推导线段相等，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到全等所需的边、角相等条件；无论是角平分线还是三等分线的设置，本质都是构造相等的对应角，解题方法具有通用性。
【难度系数】
0.8
要证明DE=DF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先结合等腰三角形的性质，已知AB=AC、D是BC中点，根据等腰三角形三线合一可得到∠B=∠C、BD=CD，且AD⊥BC即∠ADB=∠ADC=90°；再根据角平分线（或三等分线）的定义，可推出∠BDE=∠CDF，此时即可用“角边角”判定△BDE和△CDF全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
原题证明：
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ ∠B=∠C，BD=CD，AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
∵ DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴ $∠BDE=\frac{1}{2}∠ADB$，$∠CDF=\frac{1}{2}∠ADC$，
∴ ∠BDE=∠CDF。
在△BDE和△CDF中：
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\BD=CD,\\∠B=∠C,\end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF（ASA），
∴ DE=DF。
变式证明：
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ ∠B=∠C，BD=CD，AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
∵ $∠BDE=\frac{1}{3}∠ADB$，$∠CDF=\frac{1}{3}∠ADC$，
∴ ∠BDE=∠CDF。
在△BDE和△CDF中：
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\BD=CD,\\∠B=∠C,\end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF（ASA），
∴ DE=DF。
【答案】
原题和变式均得证DE=DF。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角等分线定义
【点评】
本题是几何基础证明题，核心思路是通过证明三角形全等来推导线段相等，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到全等所需的边、角相等条件；无论是角平分线还是三等分线的设置，本质都是构造相等的对应角，解题方法具有通用性。
【难度系数】
0.8
