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例1 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE// AB$交AC于点E，$DF// AC$交AB于点F，EF交AD于点O。试问DO是否为$△ DEF$的角平分线？并说明理由。
解:$DO$是$△ DEF$的角平分线.
理由:$\because \ AD$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore \ ∠ 1=∠ 2$.
$\because \ DE// AB,DF// AC$,
$\therefore \ ∠ 3=∠ 2,∠ 4=∠ 1$.
$\therefore \ ∠ 3=∠ 4$.
$\therefore \ DO$是$△ DEF$的角平分线.
方法点拨 要判断$DO$是否为$△ DEF$的角平分线，需要考虑$∠ 3$与$∠ 4$是否相等.
解:$DO$是$△ DEF$的角平分线.
理由:$\because \ AD$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore \ ∠ 1=∠ 2$.
$\because \ DE// AB,DF// AC$,
$\therefore \ ∠ 3=∠ 2,∠ 4=∠ 1$.
$\therefore \ ∠ 3=∠ 4$.
$\therefore \ DO$是$△ DEF$的角平分线.
方法点拨 要判断$DO$是否为$△ DEF$的角平分线，需要考虑$∠ 3$与$∠ 4$是否相等.
答案
解：DO是△DEF的角平分线。
理由：∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1=∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠3=∠2。
∵ DF//AC，
∴ ∠4=∠1。
∴ ∠3=∠4。
∴ DO是△DEF的角平分线。
理由：∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1=∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠3=∠2。
∵ DF//AC，
∴ ∠4=∠1。
∴ ∠3=∠4。
∴ DO是△DEF的角平分线。
解析
【分析】
要判断DO是否为△DEF的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明DO将∠EDF分成两个相等的角，即证∠3=∠4即可。首先由AD是△ABC的角平分线可得∠1=∠2；再结合DE//AB、DF//AC的条件，根据平行线的性质可分别推出∠3=∠2、∠4=∠1；最后通过等量代换得到∠3=∠4，即可得出结论。
【解析】
DO是△DEF的角平分线，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1=∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠3=∠2。
∵ DF//AC，
∴ ∠4=∠1。
∴ ∠3=∠4，
∴ DO是△DEF的角平分线。
【答案】
DO是△DEF的角平分线。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是明确角平分线的判定标准，结合已知的平行条件推导角的等量关系，能够帮助巩固基础几何证明的逻辑推导思路。
【难度系数】
0.8
要判断DO是否为△DEF的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明DO将∠EDF分成两个相等的角，即证∠3=∠4即可。首先由AD是△ABC的角平分线可得∠1=∠2；再结合DE//AB、DF//AC的条件，根据平行线的性质可分别推出∠3=∠2、∠4=∠1；最后通过等量代换得到∠3=∠4，即可得出结论。
【解析】
DO是△DEF的角平分线，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1=∠2。
∵ DE//AB，
∴ ∠3=∠2。
∵ DF//AC，
∴ ∠4=∠1。
∴ ∠3=∠4，
∴ DO是△DEF的角平分线。
【答案】
DO是△DEF的角平分线。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是明确角平分线的判定标准，结合已知的平行条件推导角的等量关系，能够帮助巩固基础几何证明的逻辑推导思路。
【难度系数】
0.8
例2 如图，$AE ⊥ EC$于点E，$CD ⊥ AD$于点D，AD交EC于点B。
(1) $△ ABC$的边BC上的高为，边AB上的高为；
(2) 若$AB = 5$，$BC = 2$，$CD = \frac{9}{5}$，则$AE =$。
分析:(1) $△ ABC$是钝角三角形，由三角形高的定义和钝角三角形高的位置可知，边BC上的高为AE，边AB上的高为CD。
(2) ∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}AB· CD$，
∴ $\frac{1}{2}×2×AE=\frac{1}{2}×5×\frac{9}{5}$。
∴ $AE=\frac{9}{2}$。
答案:(1) AE CD (2) $\frac{9}{2}$
方法点拨 (1)紧扣“三角形高的定义”进行判断。
(2)面积法是一种常见的、重要的数学解题方法，它利用同一图形面积相等、等底等高的三角形面积相等、三角形的中线分三角形为面积相等的两部分、分割后的各图形面积之和等于原图形面积等性质解决有关数学问题。本题利用同一个三角形面积的两种表示方法，分别以BC，AB为底计算$△ ABC$的面积，列式求解。
(1) $△ ABC$的边BC上的高为，边AB上的高为；
(2) 若$AB = 5$，$BC = 2$，$CD = \frac{9}{5}$，则$AE =$。
分析:(1) $△ ABC$是钝角三角形，由三角形高的定义和钝角三角形高的位置可知，边BC上的高为AE，边AB上的高为CD。
(2) ∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}AB· CD$，
∴ $\frac{1}{2}×2×AE=\frac{1}{2}×5×\frac{9}{5}$。
∴ $AE=\frac{9}{2}$。
答案:(1) AE CD (2) $\frac{9}{2}$
方法点拨 (1)紧扣“三角形高的定义”进行判断。
(2)面积法是一种常见的、重要的数学解题方法，它利用同一图形面积相等、等底等高的三角形面积相等、三角形的中线分三角形为面积相等的两部分、分割后的各图形面积之和等于原图形面积等性质解决有关数学问题。本题利用同一个三角形面积的两种表示方法，分别以BC，AB为底计算$△ ABC$的面积，列式求解。
答案
(1) $AE$；$CD$ (2) $\frac{9}{2}$
解析
【分析】
(1) 确定三角形某条边上的高需紧扣高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。对于△ABC的边BC，对应顶点是A，已知AE⊥EC，即AE垂直BC所在直线，因此BC边上的高为AE；边AB的对应顶点是C，已知CD⊥AD，AD是AB所在的直线，因此AB边上的高为CD。
(2) 求AE的长度可使用面积法：同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高计算，两种计算方式得到的面积相等，据此列等式即可求解未知线段长度。
【解析】
(1) 根据三角形高的定义判断：
边BC的对应顶点为A，AE垂直BC所在直线，因此BC边上的高为AE；
边AB的对应顶点为C，CD垂直AB所在直线，因此AB边上的高为CD。
(2) 由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AE = \frac{1}{2} × AB × CD$
将$AB = 5$，$BC = 2$，$CD = \frac{9}{5}$代入等式：
$\frac{1}{2} × 2 × AE = \frac{1}{2} × 5 × \frac{9}{5}$
化简计算得：$AE = \frac{9}{2}$
【答案】
(1) $AE$；$CD$
(2) $\frac{9}{2}$
【知识点】
三角形的高的定义，三角形面积计算，面积法应用
【点评】
本题为基础类题目，重点考查三角形高的识别和面积法的应用，解题的关键是准确判断钝角三角形外部的高，掌握用同一图形面积的不同表示形式建立等式求解线段的方法，该方法在几何计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.75
(1) 确定三角形某条边上的高需紧扣高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。对于△ABC的边BC，对应顶点是A，已知AE⊥EC，即AE垂直BC所在直线，因此BC边上的高为AE；边AB的对应顶点是C，已知CD⊥AD，AD是AB所在的直线，因此AB边上的高为CD。
(2) 求AE的长度可使用面积法：同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高计算，两种计算方式得到的面积相等，据此列等式即可求解未知线段长度。
【解析】
(1) 根据三角形高的定义判断：
边BC的对应顶点为A，AE垂直BC所在直线，因此BC边上的高为AE；
边AB的对应顶点为C，CD垂直AB所在直线，因此AB边上的高为CD。
(2) 由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AE = \frac{1}{2} × AB × CD$
将$AB = 5$，$BC = 2$，$CD = \frac{9}{5}$代入等式：
$\frac{1}{2} × 2 × AE = \frac{1}{2} × 5 × \frac{9}{5}$
化简计算得：$AE = \frac{9}{2}$
【答案】
(1) $AE$；$CD$
(2) $\frac{9}{2}$
【知识点】
三角形的高的定义，三角形面积计算，面积法应用
【点评】
本题为基础类题目，重点考查三角形高的识别和面积法的应用，解题的关键是准确判断钝角三角形外部的高，掌握用同一图形面积的不同表示形式建立等式求解线段的方法，该方法在几何计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.75
