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3. 小天利用一面墙(长度不限)和长为$24\ \mathrm{m}$的篱笆进行园林设计，设计图由五段篱笆组成，如图1所示，每一段篱笆所在的直线与墙平行或垂直. 已知整体设计图(图2)可以分割成两个矩形图案($AB＞BC$)，且其中一个矩形可以由另一个矩形绕某一点旋转得到，设$AB=x$，$FE=y$.
(1)求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；
(2)求这个设计图的花圃面积 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式；
(3)小河认为小天设计的花圃面积不能达到 $90\ \mathrm{m}^2$，试通过计算判断小河的结论是否正确.
(1)求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；
(2)求这个设计图的花圃面积 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式；
(3)小河认为小天设计的花圃面积不能达到 $90\ \mathrm{m}^2$，试通过计算判断小河的结论是否正确.
答案
3. (1)依题意，得 $AB=DE=x$，$BC=FE=y$，$CD=x-y$，$\therefore x+y+x-y+x+y=24$，解得 $y=24-3x$.
(2)由(1)可知，$S=2AB · FE=2xy=2x(24-3x)=48x-6x^2$.
(3)正确. 理由如下：令 $S=90$，则 $48x-6x^2=90$，即 $x^2-8x+15=0$，解得 $x_1=3$，$x_2=5$. 又 $\because AB＞BC$，$\therefore x＞24-3x$，即 $x＞6$. 所以花圃面积不能达到 $90\ \mathrm{m}^2$，小河的结论是正确的.
(2)由(1)可知，$S=2AB · FE=2xy=2x(24-3x)=48x-6x^2$.
(3)正确. 理由如下：令 $S=90$，则 $48x-6x^2=90$，即 $x^2-8x+15=0$，解得 $x_1=3$，$x_2=5$. 又 $\because AB＞BC$，$\therefore x＞24-3x$，即 $x＞6$. 所以花圃面积不能达到 $90\ \mathrm{m}^2$，小河的结论是正确的.
解析
【分析】
(1) 首先根据旋转的性质可知，两个可通过旋转得到的矩形全等，对应边相等，据此写出各段篱笆的长度表达式；再结合篱笆总长度为24m，将所有篱笆长度相加列方程，化简后即可得到y关于x的函数解析式。
(2) 花圃面积为两个全等矩形的面积之和，单个矩形面积为长乘宽，即$xy$，因此总面积$S=2xy$，将(1)中得到的y的表达式代入，即可得到S关于x的函数解析式。
(3) 先假设花圃面积能达到$90\ \mathrm{m}^2$，令$S=90$得到一元二次方程，求解得到x的可能值；再根据题目给出的$AB＞BC$的条件，求出x的取值范围，判断方程的解是否在该范围内，即可验证小河的结论是否正确。
【解析】
(1) 由旋转的性质可得两个矩形全等，因此对应边相等：$AB=DE=x$，$BC=FE=y$，则$CD=AB-BC=x-y$。
已知篱笆总长为24m，因此所有篱笆长度和为：
$x + y + (x-y) + x + y =24$
化简得$3x+y=24$，即$y=24-3x$。
(2) 花圃面积为两个矩形的面积之和，因此：
$S=2· AB· FE=2xy$
将$y=24-3x$代入得：
$S=2x(24-3x)=48x-6x^2$
(3) 小河的结论正确，判断过程如下：
令$S=90$，则$48x-6x^2=90$，整理得：
$x^2-8x+15=0$
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
由题意$AB＞BC$，即$x＞y$，代入$y=24-3x$得：
$x＞24-3x$，解得$x＞6$。
由于$x_1=3$、$x_2=5$均小于6，不符合x的取值要求，因此花圃面积不能达到$90\ \mathrm{m}^2$，小河的结论正确。
【答案】
(1) $y=24-3x$
(2) $S=48x-6x^2$（或$S=-6x^2+48x$）
(3) 小河的结论正确。
【知识点】
旋转的性质，二次函数应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合旋转性质考查函数与方程的实际应用，解题时需先根据几何性质梳理边长关系，再结合已知条件列表达式，要注意题目给出的边长限制条件，避免漏看取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据旋转的性质可知，两个可通过旋转得到的矩形全等，对应边相等，据此写出各段篱笆的长度表达式；再结合篱笆总长度为24m，将所有篱笆长度相加列方程，化简后即可得到y关于x的函数解析式。
(2) 花圃面积为两个全等矩形的面积之和，单个矩形面积为长乘宽，即$xy$，因此总面积$S=2xy$，将(1)中得到的y的表达式代入，即可得到S关于x的函数解析式。
(3) 先假设花圃面积能达到$90\ \mathrm{m}^2$，令$S=90$得到一元二次方程，求解得到x的可能值；再根据题目给出的$AB＞BC$的条件，求出x的取值范围，判断方程的解是否在该范围内，即可验证小河的结论是否正确。
【解析】
(1) 由旋转的性质可得两个矩形全等，因此对应边相等：$AB=DE=x$，$BC=FE=y$，则$CD=AB-BC=x-y$。
已知篱笆总长为24m，因此所有篱笆长度和为：
$x + y + (x-y) + x + y =24$
化简得$3x+y=24$，即$y=24-3x$。
(2) 花圃面积为两个矩形的面积之和，因此：
$S=2· AB· FE=2xy$
将$y=24-3x$代入得：
$S=2x(24-3x)=48x-6x^2$
(3) 小河的结论正确，判断过程如下：
令$S=90$，则$48x-6x^2=90$，整理得：
$x^2-8x+15=0$
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
由题意$AB＞BC$，即$x＞y$，代入$y=24-3x$得：
$x＞24-3x$，解得$x＞6$。
由于$x_1=3$、$x_2=5$均小于6，不符合x的取值要求，因此花圃面积不能达到$90\ \mathrm{m}^2$，小河的结论正确。
【答案】
(1) $y=24-3x$
(2) $S=48x-6x^2$（或$S=-6x^2+48x$）
(3) 小河的结论正确。
【知识点】
旋转的性质，二次函数应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合旋转性质考查函数与方程的实际应用，解题时需先根据几何性质梳理边长关系，再结合已知条件列表达式，要注意题目给出的边长限制条件，避免漏看取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=2\sqrt{2}$，点D，E分别是边BC，AC的中点，点F是线段AD上任意一点.将线段EF绕点E顺时针旋转$90°$得到线段EP，连接AP，H是直线BC上一个动点，连接EH，将$△ BEH$沿EH翻折至$△ ABC$所在平面内，得到$△ QEH$，连接PQ.
(1)求线段BE的长；
(2)求线段PQ长度的最大值.
(1)求线段BE的长；
(2)求线段PQ长度的最大值.
答案
4. (1)在$△ ABC$ 中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=2\sqrt{2}$，$\because$ 点 $E$ 为 $AC$ 的中点，$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$. 在 $△ ABE$ 中，$∠ BAE=90°$，$AB=2\sqrt{2}$，$AE=\sqrt{2}$，$\therefore BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{10}$.
(2)$\because$ 将线段 $EF$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $EP$，$\therefore EF=PE$. 由折叠可知，$EQ=EB=\sqrt{10}$. $\because PQ ≤ EQ+EP$，$\therefore$ 当 $EP$ 最大时，$PQ$ 取得最大值，$\therefore$ 当 $E$ 与 $A$ 或 $D$ 重合时，$EF$ 最大，$\therefore$ 线段 $PQ$ 长度的最大值是 $\sqrt{10}+\sqrt{2}$.
(2)$\because$ 将线段 $EF$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $EP$，$\therefore EF=PE$. 由折叠可知，$EQ=EB=\sqrt{10}$. $\because PQ ≤ EQ+EP$，$\therefore$ 当 $EP$ 最大时，$PQ$ 取得最大值，$\therefore$ 当 $E$ 与 $A$ 或 $D$ 重合时，$EF$ 最大，$\therefore$ 线段 $PQ$ 长度的最大值是 $\sqrt{10}+\sqrt{2}$.
解析
【分析】
（1）求BE的长度时，首先观察到△ABE是直角三角形，∠BAE=90°，已知AB的长度，只需要先求出AE的长度，再利用勾股定理即可算出BE的长。已知E是AC中点，AC长度已知，可直接求出AE的长度。
（2）求PQ的最大值，先结合旋转和折叠的性质得到相等线段：旋转可得EP=EF，折叠可得EQ=BE，且EQ是固定值。再根据三角形三边关系可知PQ≤EP+EQ，当P、E、Q三点共线且E在P、Q之间时，PQ可取最大值，此时只需要找到EP的最大值也就是EF的最大值即可，F在线段AD上，求出EF的最大值就能得到PQ的最大值。
【解析】
（1）在$△ ABC$ 中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=2\sqrt{2}$，
∵ 点 $E$ 为 $AC$ 的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
在 $Rt△ ABE$ 中，$∠ BAE=90°$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}$。
（2）
∵ 将线段 $EF$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $EP$，根据旋转的性质，
∴ $EF=PE$。
由折叠的性质可知，$△BEH$沿EH翻折得到$△QEH$，
∴ $EQ=EB=\sqrt{10}$，为定值。
根据三角形三边关系，$PQ ≤ EP+EQ$，当且仅当P、E、Q三点共线，且点E位于P、Q两点之间时，等号成立，此时PQ取得最大值。
因此要使PQ最大，需使EP最大，即EF最大。
∵ 点F是线段AD上的点，当点F与点A重合时，EF取得最大值，等于AE的长度$\sqrt{2}$，即EP的最大值为$\sqrt{2}$，
∴ 线段PQ长度的最大值是 $\sqrt{10}+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{10}$；(2) $\sqrt{10}+\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，折叠的性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质、几何变换的性质以及线段最值的求解，解题的关键是熟练掌握旋转和折叠前后对应边相等的性质，结合三角形三边关系确定线段最值的取得条件，对几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
（1）求BE的长度时，首先观察到△ABE是直角三角形，∠BAE=90°，已知AB的长度，只需要先求出AE的长度，再利用勾股定理即可算出BE的长。已知E是AC中点，AC长度已知，可直接求出AE的长度。
（2）求PQ的最大值，先结合旋转和折叠的性质得到相等线段：旋转可得EP=EF，折叠可得EQ=BE，且EQ是固定值。再根据三角形三边关系可知PQ≤EP+EQ，当P、E、Q三点共线且E在P、Q之间时，PQ可取最大值，此时只需要找到EP的最大值也就是EF的最大值即可，F在线段AD上，求出EF的最大值就能得到PQ的最大值。
【解析】
（1）在$△ ABC$ 中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=2\sqrt{2}$，
∵ 点 $E$ 为 $AC$ 的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
在 $Rt△ ABE$ 中，$∠ BAE=90°$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}$。
（2）
∵ 将线段 $EF$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $EP$，根据旋转的性质，
∴ $EF=PE$。
由折叠的性质可知，$△BEH$沿EH翻折得到$△QEH$，
∴ $EQ=EB=\sqrt{10}$，为定值。
根据三角形三边关系，$PQ ≤ EP+EQ$，当且仅当P、E、Q三点共线，且点E位于P、Q两点之间时，等号成立，此时PQ取得最大值。
因此要使PQ最大，需使EP最大，即EF最大。
∵ 点F是线段AD上的点，当点F与点A重合时，EF取得最大值，等于AE的长度$\sqrt{2}$，即EP的最大值为$\sqrt{2}$，
∴ 线段PQ长度的最大值是 $\sqrt{10}+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{10}$；(2) $\sqrt{10}+\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，折叠的性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质、几何变换的性质以及线段最值的求解，解题的关键是熟练掌握旋转和折叠前后对应边相等的性质，结合三角形三边关系确定线段最值的取得条件，对几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
